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高三圆锥曲线定点定值问题

时间:2015-03-15


18.(本小题满分 16 分) 已知椭圆 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,离心率为 (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ) P ( 2, n) , Q(2,?n) 是椭圆 C 上两个定点,A、B 是椭圆 C 上位于直线 PQ 两侧的动 点。 ① 若直线 AB 的斜率为

1 ,短轴长为 4 3 。 2

1 ,求四边形 APBQ 面积的最大值; 2

② 当 A、B 两点在椭圆上运动,且满足∠APQ=∠BPQ 时,直线 AB 的斜率是否为定 值,说明理由。 y

P B O Q 18 题 x

A

x2 y2 18. 解:(Ⅰ)设 C 方程为 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) a b
由已知 b= 2 3 离心率 e ?

c 1 2 ? , a ? b2 ? c2 a 2

得a ? 4

所以,椭圆 C 的方程为

x2 y2 ? ?1 16 12

(Ⅱ)①由(Ⅰ)可求得占 P、Q 的坐标为 P(2,3) , Q(2,?3) ,则 | PQ |? 6 , 设 A ?x1 , y1 ?, B( x2 , y2 ),直线 AB 的方程为 y ?

1 x2 y2 x ? t ,代人 ? ?1 2 16 12

2 2 得 x ? tx ? t ? 12 ? 0 由△>0,解得 ? 4 ? t ? 4 ,由根与系数的关系得

? x1 ? x2 ? ?t 四边形 APBQ 的面积 ? 2 ? x1 x2 ? t ? 12
S? 1 ? 6 ? x1 ? x 2 ? 3 48 ? 3t 2 2

故,当 t ? 0, S max ? 12 3 ②∠APQ=∠BPQ 时,PA、PB 的斜率之和为 0,设直线 PA 的斜率为 k , 则 PB 的斜率为 ? k ,

PA 的直线方程为 y ? 3 ? k ( x ? 2) 与

x2 y2 ? ? 1 联立解得 16 12

(3 ? 4k 2 ) x 2 ? 8(3 ? 2k )kx ? 4(3 ? 2k ) 2 ? 48 ? 0 ,
x1 ? 2 ? 8(2k ? 3)k 3 ? 4k 2

同理 PB 的直线方程 y ? 3 ? ?k ( x ? 2) ,可得 x 2 ? 2 ?

8(2k ? 3) k 3 ? 4k 2

16k 2 ? 12 ? 48k , x1 ? x2 ? 所以 x1 ? x 2 ? 2 3 ? 4k 3 ? 4k 2

k AB ?

y1 ? y 2 k ( x1 ? 2) ? 3 ? k ( x2 ? 2) ? 3 ? x1 ? x2 x1 ? x2

16k 3 ? 12k ? 12k ? 16k 3 k ( x1 ? x2 ) ? 4k ? 24k 1 3 ? 4k 2 ? ? ? ? ? 48k x1 ? x2 ? 48k 2 3 ? 4k 2
所以直线 AB 的斜率为定值

1 2

19.在平面直角坐标系 xOy 中,设椭圆 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,短半轴长为 2,椭 圆 C 上的点到右焦点的距离的最小值为 5 ? 1 . (1)求椭圆 C 的方程; (2)设直线 l 与椭圆 C 相交于 A,B 两点,且 ?AOB ? π . 2 ①求证:原点 O 到直线 AB 的距离为定值; ②求 AB 的最小值. O
2 2

y l B A x

y 19、【解】(1)由题意,可设椭圆 C 的方程为 x 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ,焦 a b
距为 2c,离心率为 e. 于是 b ? 2 . 设椭圆的右焦点为 F,椭圆上点 P 到右准线距离为 d , 则 所
a ? c ? 5 ? 1 .……………………………………………………………………3 分

AF ? e ? AF ? e ? d ,于是当 d 最小即 P 为右顶点时,PF 取得最小值, d


?a ? c ? 5 ? 1 , ?a ? 5 , ? ? 因为 ?b ? 2 , ? ?b ? 2 , ? 2 ?c ? 1, 2 2 ?a ? b ? c ?
所 以 椭 圆 方 程 为

x2 y 2 ? ? 1 .………………………………………………………5 分 5 4
(2)①设原点 O 到直线 AB 的距离为 h,则由题设及面积公式知 h ? OA ? OB . AB
?OA ? 5 , ? ? ?OB ? 5 , 当直线 OA 的斜率不存在或斜率为 0 时, ? 或? ? ? ?OB ? 2 ?OA ? 2 .


d? 2 4?5 ? 3 5 .………………………………………………………………7 分



? x2 y 2 2 k 2 x2 ? ? ? 1, x 当直线 OA 的斜率 k 存在且不为 0 时,则 ? 5 ? ? ?1, 4 5 4 ? ? y ? kx
?x 2 ? 1 , ? A 1 ? k2 ? ? 5 4 ? 2 ? y A2 ? k 2 . 1?k ? ? 5 4 ?









1 , ?x 2 ? ? B 1? 1 ? 5 4k 2 ? ………………………………………9 分 ? 1 2 ? 2 k . ? yB ? 1 1 ? ? 2 5 4k ?

在 Rt△OAB 中, h2 ?

OA2 ? OB2 OA2 ? OB2 , ? AB2 OA2 ? OB2

1 k2 1 ? 1 1 k2 k2 1 ? ? ? 1 OA ? OB 1 1 5 4 ? 5 4k 2 ? 5 4 ? 5 4 则 2 ? ? ? ? 1 h OA2 ? OB2 OA2 OB2 1 ? k 2 1? k2 1? k2 1? 2 k
2 2

1?1 k ? 1?1 ? ? 4 5 ? ? 1 ? 1 ? 9 ,所以 h ? 2 5 . ? ? 4 5
2

1? k2

4

5

20

3











O





线

AB













2 5 .……………………………………11 分 3
另 解 :

1 ? 12 1? k2 ? k 1 ? k2 1 ? 1 ?1 ? k 2 ? 1 ? k12 2 2 5 4k 2 2 OA ? OB 5 4 h ? ? ? 1 OA2 ? OB 2 1 ? ? 1 ? 1 ? 12 ?1 ? k 2 ? 1 1? k2 ? k2 5 4k 2 k 1 ? k2 1 ? 1 5 4 5 4k 2

?

? ?

?

?

?k ?? 1 5 4?
2

1 ?2 9 2 5 k2 ,所以 h ? . ? ? 9 2 9 9 20 3 k ? ? 20 20k 2 10 k2 ?
②因为 h 为定值,于是求 AB 的最小值即求 OA ? OB 的最小值.
OA ? OB ?
2 2

1? 1 ?k ?1 5 4 ? ? 5 4k ?
2 2

?1 ? k ? ?
2

?1 ? k1 ?
2

k 2 ? 12 ? 2 k , ? 1 k 2 ? 1 ? 41 2 20 400 20k

令 t ? k2 ? 于
OA2 ? OB 2 ?

1 ,则 t≥ 2 , k2


t?2 1 t? 2

?2 ?

t? t?

?

??

t?

? , …………………14 分
0

4

0 2

因为 t ≥ 2 ,所以 OA2 ? OB2≥20 ? 1 ? 1 ? 1600 , 81 81 当 且 仅 当 t ? 2 , 即 k ? ?1 , OA ? OB 取 得 最 小 值

?

?

40 , 因而 9

ABmin

40 4 5 ? 9 ? 3 2 5 3
所 以

AB











4 5 .…………………………………………………………16 分 3

18.(本小题满分 16 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 E:

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右准线为直线 l,动直线 a 2 b2 y ? kx ? m (k ? 0,m ? 0) 交椭圆于 A,B 两点,线段 AB 的中点为 M,射线 OM 分别交

椭圆及直线 l 于 P,Q 两点,如图.若 A,B 两点分别是椭圆 E 的右顶点,上顶点时,

1 点 Q 的纵坐标为 (其中 e 为椭圆的离心率),且 OQ ? 5OM . e
(1)求椭圆 E 的标准方程;

(2)如果 OP 是 OM,OQ 的等比中项,那么 是,请说明理由.

m 是否为常数?若是,求出该常数;若不 k

y
l

18. 解:当 A,B 两点分别是椭圆 E 的右顶点和上顶点 时,则

B M
O

a b A(a,0) , B(0, b) , M ( , ) . 2 2
1 b a2 1 ∵ Q( , ) ,∴由 O,M,Q 三点共线,得 ? e2 , a a c e c
化简,得 b ? 1 .………2 分

P

Q

A

x

(第 18 题)

a2 ∵ OQ ? 5OM ,∴ c ? 5 ,化简,得 2a ? 5c . a 2
?a 2 ? b2 ? c 2, ? 由 ?b ? 1, ? ?2a ? 5c,
? a 2 ? 5, ? 解得 ? 2 ? ?c ? 4.

…………………………………………4 分

x2 ? y 2 ? 1 . …………………………………………6 分 5 x2 (2)把 y ? kx ? m(k ? 0, m ? 0) ,代入 ? y 2 ? 1 ,得 5
(1)椭圆 E 的标准方程为
(5k 2 ? 1) x2 ? 10mkx ? 5m2 ? 5 ? 0 .

……………………………………………8 分

当△ ? 0 , 5k 2 ? m2 ? 1 ? 0 时, xM ? ? 从而点 M (?

5mk m , yM ? 2 , 5k 2 ? 1 5k ? 1
……………………………………………10 分

5mk m , 2 ). 2 5k ? 1 5k ? 1 1 x. 5k

所以直线 OM 的方程 y ? ?
1 ? y ? ? x, ? ? 5k 由? 2 ? x ? y 2 ? 1, ? ?5

得 xP 2 ?

25k 2 . ……………………………………………12 分 5k 2 ? 1

∵OP 是 OM,OQ 的等比中项,∴ OP2 ? OM ? OQ , 从而 xP 2 ? xM xQ ? ? 由
25mk . 2(5k 2 ? 1)

……………………………………………14 分

25k 2 25mk m ?? ,得 m ? ?2k ,从而 ? ?2 ,满足△ ? 0 . ……………15 分 2 2 5k ? 1 2(5k ? 1) k



m 为常数 ?2 . k

………………………………………………………………16 分

18.在平面直角坐标系 xOy 中,已知过点 (1, ) 的椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点为 a 2 b2 F (1,0) ,过焦点 F 且与 x 轴不重合的直线与椭圆 C 交于 A , B 两点,点 B 关于坐标原点的

3 2

对称点为 P ,直线 PA , PB 分别交椭圆 C 的右准线 l 于 M , N 两点. (1)求椭圆 C 的标准方程;

8 3 3 ) ,试求直线 PA 的方程; (2)若点 B 的坐标为 ( , 5 5
(3)记 M , N 两点的纵坐标分别为 yM , yN ,试问 yM ? yN 是否为定值?若是,请求出该 定值;若不是,请说明理由.

1、(淮安、宿迁市 2014 届高三 11 月诊断)在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆

x2 y 2 C : 2 ? 2 ? 1(a > b > 0) 与直线 l : x ? m(m ? R ) . a b 1) , (3 , ? 1) ,(?2 2 , 四点 (3 , 0) , ( 3 , 3) 中有三个点在椭圆 C 上,剩余一个点在直线 l 上. (1)求椭圆 C 的方程; N 两点,使得 PM ? PN ,再过 P (2)若动点 P 在直线 l 上,过 P 作直线交椭圆 C 于 M , 作直线 l ? ? MN .证明:直线 l ? 恒过定点,并求出该定点的坐标.
解:(1)由题意有 3 个点在椭圆 C 上, 1) , (3 , ? 1) 一定在椭圆 C 上, 根据椭圆的对称性,则点 (3 ,

9 1 ……………………………………2 分 ? ? 1 ①, a 2 b2 若点 (?2 2 , 0) 在椭圆 C 上,则点 (?2 2 , 0) 必为 C 的左顶点,
即 而 3>2 2 ,则点 (?2 2 , 0) 一定不在椭圆 C 上, 故点 ( 3 , 3) 在椭圆 C 上,点 (?2 2 , 0) 在直线 l 上, 所以 …………………………4 分

3 3 ? ?1 a 2 b2

②,

联立①②可解得 a 2 ? 12 ,b2 ? 4 , 所以椭圆 C 的方程为

x2 y2 ? ? 1; 12 4

……………………………………6 分

y0 ) , y0 ? ( ? (2)由(1)可得直线 l 的方程为 x ? ?2 2 ,设 P (?2 2 ,

2 3 2 3 , ), 3 3

y1 ) , N ( x2 , y2 ) ,显然 x1 ? x2 , 当 y0 ? 0 时,设 M ( x1 ,

? x12 y12 ? ? 1, ? x12 ? x2 2 y12 ? y2 2 y ? y2 1 x ?x ? 4 ? ? 0 ,即 1 ?? ? 1 2 , 联立 ? 12 则 2 2 12 4 x1 ? x2 3 y1 ? y2 ? x2 ? y2 ? 1, ? 4 ? 12 又 PM ? PN ,即 P 为线段 MN 的中点, 1 ?2 2 2 2 故直线 MN 的斜率为 ? ? , ……………………………………10 分 ? 3 y0 3 y0 3y 又 l ? ? MN ,所以直线 l ? 的方程为 y ? y0 ? ? 0 ( x ? 2 2) , …………………13 分 2 2 3y 4 2 ), 即 y ? ? 0 (x ? 3 2 2 4 2 , 0) ; 显然 l ? 恒过定点 ( ? ………………………………………15 分 3 4 2 , 0) ; 当 y0 ? 0 时,直线 MN 即 x ? ?2 2 ,此时 l ? 为 x 轴亦过点 ( ? 3 4 2 , 0) . 综上所述, l ? 恒过定点 ( ? ……………………………………16 分 3
19.(本小题满分 16 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C: x2 y2 + =1. m 8-m

(1)若椭圆 C 的焦点在 x 轴上,求实数 m 的取值范围;

(2)若 m=6, ①P 是椭圆 C 上的动点, M 点的坐标为(1,0),求 PM 的最小值及对应的点 P 的 坐标; ②过椭圆 C 的右焦点 F 作与坐标轴不垂直的直线,交椭圆 C 于 A,B 两点,线段 AB AB 的垂直平分线 l 交 x 轴于点 N,证明: 是定值,并求出这个定值. FN 19.解(1)由题意得,m>8-m>0,解得 4<m<8. 即实数 m 的取值范围是(4,8). x2 y2 (2)因为 m=6,所以椭圆 C 的方程为 + =1. 6 2 x2 y2 ①设点 P 坐标为(x,y),则 + =1. 6 2 因为点 M 的坐标为(1,0),所以 x2 2x2 PM2=(x-1)2+y2=x2-2x+1+2- = -2x+3 3 3 2 3 3 = (x- )2+ ,x∈[- 6, 6]. 3 2 2 ……………………… 4 分 ……………………… 2 分

3 6 3 5 所以当 x= 时,PM 的最小值为 ,此时对应的点 P 坐标为( ,± ). 2 2 2 2 ……………………… 6 分 ②由 a2=6,b2=2,得 c2=4,即 c=2, 从而椭圆 C 的右焦点 F 的坐标为(2,0),右准线方程为 x=3,离心率 e= 设 A(x1,y1),B(x2,y2),AB 的中点 H(x0,y0),则 x12 y12 x22 y22 + =1, + =1, 6 2 6 2 x12-x22 y12-y22 y1-y2 x0 所以 + =0,即 kAB= =- . 6 2 3y0 x1-x2 ……………………… 9 分 6 . 3

1 令 k=kAB,则线段 AB 的垂直平分线 l 的方程为 y-y0=- (x-x0). k 2 令 y=0,则 xN=ky0+x0= x0. 3 2 因为 F(2,0),所以 FN=|xN-2|= |x0-3|. 3 2 6 因为 AB=AF+BF=e(3-x1)+e(3-x2)= |x0-3|. 3 故 AB 2 6 3 = × = 6. FN 3 2 ……………………… 12 分



AB 为定值 6. FN

……………………… 16 分

2 y2 0) ,离心 18.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 x 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点为 F (1, a b

率为 2 . 2 分别过 O , F 的两条弦 AB , CD 相交于点 E (异于 A , C 两点),且 OE ? EF . (1)求椭圆的方程; (2)求证:直线 AC , BD 的斜率之和为定值. (1)解:由题意,得 c ? 1 , e ? c ? 2 ,故 a ? 2 , a 2 从而 b2 ? a 2 ? c 2 ? 1 , 所以椭圆的方程为 x ? y 2 ? 1 . 2
2

y
C

A E
O

F

D

x



B

(2)证明:设直线 AB 的方程为 y ? kx , 直 ③ 线
CD

② 方 程 为

(第 18 题)



y ? ?k ( x ? 1)



………7 分 由①②得,点 A , B 的横坐标为 ? 由 ① ③ 得 , 点
C

2 , 2k 2 ? 1


D











2k 2 ? 2(k 2 ? 1) , 2k 2 ? 1

………9 分

kx1 ) , B( x2, kx2 ) , C ( x3, k (1 ? x3 )) , D( x4, k (1 ? x4 )) , 记 A( x1,

则直线 AC , BD 的斜率之和为

kx1 ? k (1 ? x3 ) kx2 ? k (1 ? x4 ) ? x1 ? x3 x2 ? x4 ?k? ( x1 ? x3 ? 1)( x2 ? x4 ) ? ( x1 ? x3 )( x2 ? x4 ? 1) ( x1 ? x3 )( x2 ? x4 )

?k?

2( x1 x2 ? x3 x4 ) ? ( x1 ? x2 ) ? ( x3 ? x4 ) ( x1 ? x3 )( x2 ? x4 )
2 ?2 ? 2(k ? 1) ? ? 0 ? 4k 2 2? ? 2 ? 2 2k 2 ? 1 ? k ? ? 2k ? 1 2 k ? 1 ? ( x1 ? x3 )( x2 ? x4 )

………13 分

?0.

………16 分

19.(本小题满分 16 分)在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C:

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 过点 a 2 b2

a a A( , ), B( 3,1) . 2 2
(1)求椭圆 C 的方程; (2)已知点 P( x0 , y0 ) 在椭圆 C 上,F 为椭圆的左焦点,直线的方程为 x0 x ? 3 y0 y ? 6 ? 0 . ①求证:直线与椭圆 C 有唯一的公共点; ②若点 F 关于直线的对称点为 Q,求证:当点 P 在椭圆 C 上运动时,直线 PQ 恒过定点,并 求出此定点的坐标.

18.(本小题满分 16 分) 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 E :
6 ). 2 (1) 求椭圆 E 的方程; ( 2,

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a ? b ? 0) 的焦距为 2 ,且过点

(2) 若点 A , B 分别是椭圆 E 的左、右顶点,直线 l 经过点 B 且垂直于 x 轴,点 P 是椭 圆上异于 A , B 的任意一点,直线 AP 交 l 于点 M . (ⅰ)设直线 OM 的斜率为 k 1 , 直线 BP 的斜率为 k 2 ,求证: k 1 k 2 为定值; (ⅱ)设过点 M 垂直于 PB 的直线为 m . 求证:直线 m 过定点,并求出定点的坐标. 18 . ⑴ 由 题 意 得 2c ? 2 , 所 以 c ?1 , 又

y P A
O

M

2 3 + 2 ? 1 ,…………………………………2 分 2 a 2b 消 去 a 可 得 , 2b4 ? 5b2 ? 3 ? 0 , 解 得 b 2 ? 3 或 1 b2 ? ? (舍去),则 a 2 ? 4 , 2 所 以 椭 圆 的 方 程 为 E x2 y2 ? ? 1 .…………………………………………… 4 3

B
x
l

m

………4 分 ⑵(ⅰ)设 P( x1 , y1 )( y1 ? 0) , M (2, y0 ) ,则 k1 ?

y1 y0 , k2 ? , x1 ? 2 2

因为 A, P, B 三点共线,所以 y0 ?

y0 y1 4 y12 4 y1 , 所以, k1k2 ? ,8 分 ? x1 ? 2 2( x1 ? 2) 2( x12 ? 4)

因为 P( x1 , y1 ) 在椭圆上,所以 y12 ? (4 ? x12 ) ,故 k1k2 ?

3 4

4 y12 3 ? ? 为定值.10 分 2( x12 ? 4) 2

(ⅱ)直线 BP 的斜率为 k2 ?

y1 2 ? x1 ,直线 m 的斜率为 km ? , x1 ? 2 y1

则直线 m 的方程为 y ? y0 ?

2 ? x1 ( x ? 2) ,…………………………………………12 分 y1

y?

2 ? x1 2( x12 ? 4) ? 4 y12 2 ? x1 2 ? x1 2(2 ? x1 ) 4 y1 ( x ? 2) ? y0 ? x? ? ? x? y1 y1 y1 x1 ? 2 y1 ( x1 ? 2) y1

?

2 ? x1 2( x12 ? 4) ? 12 ? 3x12 2 ? x1 2 ? x1 2 ? x1 x? ( x ? 1) , x? = = y1 y1 y1 y1 ( x1 ? 2) y1
………………………………………………………16 分

所以直线 m 过定点 (?1,0) .

19.(本小题满分 16 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 C:x2+y2=r2 和直线 l:x=a(其中 r 和 a 均为常数, 且 0 < r < a),M 为 l 上一动点,A1,A2 为圆 C 与 x 轴的两个交点,直线 MA1,MA2 与圆 C 的另一个交点分别为 P、Q. (1)若 r=2,M 点的坐标为(4,2),求直线 PQ 方程; (2)求证:直线 PQ 过定点,并求定点的坐标. 【解】(1)当 r=2,M(4,2),则 A1(-2,0),A2(2,0).
? x 2 ? y 2 ? 4, 直线 MA1 的方程:x-3y+2=0,解 ? 得 P 8 ,6 .……………………2 分 5 5 x ? 3 y ? 2 ? 0 ? ? x 2 ? y 2 ? 4, ? 2? . ……………………4 分 直线 MA2 的方程:x-y-2=0,解 ? 得 Q ? 0, ?x ? y ? 2 ? 0

? ?

由两点式,得直线 PQ 方程为:2x-y-2=0. ………………………………………6 分 (2)证法一:由题设得 A1(-r,0),A2(r,0) .设 M(a,t),

直线 MA1 的方程是:y =

t t (x+r),直线 MA1 的方程是:y = (x-r) .………8 分 a+r a-r

? x 2 ? y 2 ? r 2, r (a ? r )2 ? rt 2 2tr (a ? r ) ? P , 解? 得 .……………………10 分 2 2 t (a ? r ) ? t (a ? r ) 2 ? t 2 y? (x ? r) ? a?r ?

?

?

? x 2 ? y 2 ? r 2, rt 2 ? r (a ? r )2 2tr (a ? r ) ? Q ,? 解? 得 . ………………12 分 2 2 t ( a ? r ) ? t ( a ? r )2 ? t 2 y? (x ? r) ? a?r ?

?

?

于 是 直 线
y?

PQ

的 斜 率

kPQ =

2tr (a ? r ) r (a ? r )2 ? rt 2 2at ? x ? . ………………………………14 分 (a ? r ) 2 ? t 2 a 2 ? t 2 ? r 2 (a ? r ) 2 ? t 2

?

?

2at , 直 线 a2-t2-r2

PQ

的 方 程 为

上式中令 y = 0,得 x=

r2 , 是 一 个 与 t 无 关 的 常 数 . 故 直 线 PQ 过 定 点 a

? ra ,0? . …………………16 分
2

证法二:由题设得 A1(-r,0),A2(r,0) .设 M(a,t), t 直线 MA1 的方程是:y= (x+r),与圆 C 的交点 P 设为 P(x1,y1) . a+r t 直线 MA2 的方程是:y= (x-r);与圆 C 的交点 Q 设为 Q(x2,y2) . a-r 则 点 P(x1 , y1) , Q(x2 , y2) 在 曲 线 [ (a+r)y - t(x+r) ] [ (a - r)y - t(x - r) ] =0 上, …………………10 分 化简得 (a2-r2)y2-2ty(ax-r2)+t2(x2-r2)=0. ①

又有 P(x1,y1) ,Q(x2,y2)在圆 C 上,圆 C:x2+y2-r2=0.② ① -t2×②得 (a2-r2)y2-2ty(ax-r2)-t2(x2-r2) -t2( x2+y2-r2)=0,

化简得:(a2-r2)y-2t(ax-r2) -t2 y=0. 所以直线 PQ 的方程为(a2-r2)y-2t(ax-r2)-t2 y=0. 在③中令 y = 0 得 x = ③ ………………14 分

2 r2 ,故直线 PQ 过定点 r ,0 .………………………16 分 a a

?

?

1、(常州市 2013 届高三期末)如图,在平面直角坐标系 xoy 中,已知 F1 , F2 分别是椭

圆 E:

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点,A,B 分别是椭圆 E 的左、右顶点,且 a 2 b2

???? ? ???? ? ? AF2 ? 5BF2 ? 0 .
(1)求椭圆 E 的离心率; (2) 已知点 D ?1, 0 ? 为线段 OF2 的中点, M 为椭圆 E 上的动点 (异于点 A 、B ) , 连接 MF1

并延长交椭圆 E 于点 N ,连接 MD 、 ND 并分别延长交椭圆 E 于点 P 、 Q ,连接 PQ , 设直线 MN 、 PQ 的斜率存在且分别为 k1 、k2 ,试问是否存在常数 ? ,使得 k1 ? ? k2 ? 0 恒 成立?若存在,求出 ? 的值;若不存在,说明理由.

???? ? ???? ? ? ???? ? ???? ? 解:(1)? AF2 ? 5 BF2 ? 0 ,? AF2 ? 5F2 B .? a ? c ? 5 ? a ? c ? ,化简得 2a ? 3c ,
故椭圆 E 的离心率为
2 . 3

4 (2)存在满足条件的常数 ? , l ? ? .点 D ?1, 0 ? 为线段 OF2 的中点,? c ? 2 ,从 7

而 a ? 3 , b ? 5 ,左焦点 F1 ? ?2,0 ? ,椭圆 E 的方程为

x2 y 2 ? ? 1 .设 M ? x1 , y1 ? , N ? x2 , y2 ? , 9 5

P ? x3 , y3 ? , Q ? x4 , y4 ? ,则直线 MD 的方程为 x ?

x1 ? 1 x2 y 2 ? 1 ,整 y ? 1 ,代入椭圆方程 ? y1 9 5

理得,

y ? x ? 1? 5 ? x1 2 x1 ? 1 4 y1 5x ? 9 y ? y ? 4 ? 0 .? y1 ? y3 ? 1 1 , ? y3 ? .从而 x3 ? 1 ,故点 2 x1 ? 5 y1 y1 x1 ? 5 x1 ? 5

? 5 x ? 9 4 y1 ? ? 5 x2 ? 9 4 y2 ? y1 y2 ? , P? 1 , , ? .同理,点 Q ? ? .? 三点 M 、 F1 、 N 共线,? x1 ? 2 x2 ? 2 ? x1 ? 5 x1 ? 5 ? ? x2 ? 5 x2 ? 5 ?





x1 y2 ? x2 y1? 2 ? y1? y ?2

.





4 y1 4 y2 ? x y ? x2 y1 ? 5 ? y1 ? y2 ? 7 ? y1 ? y2 ? 7k1 y3 ? y4 x1 ? 5 x2 ? 5 4k k2 ? ? ? 1 2 ? ? .故 k1 ? 2 ? 0 ,从 x3 ? x4 5 x1 ? 9 5 x2 ? 9 4 ? x1 ? x2 ? 4 ? x1 ? x2 ? 4 7 ? x1 ? 5 x2 ? 5
4 而存在满足条件的常数 ? , l ? ? . 7

x2 y 2 2、(连云港市 2013 届高三期末)已知椭圆 C: 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)的上顶点为 A,左, a b 4 b 右焦点分别为 F1, F2,且椭圆 C 过点 P( , ),以 AP 为直径的圆恰好过右焦点 F2. 3 3 (1)求椭圆 C 的方程;

(2)若动直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点,试问:在 x 轴上是否存在两定点,使其 到直线 l 的距离之积为 1?若存在,请求出两定点坐标;若不存在,请说明理由.

y A P F1 O
1

F2

x

(第 18 题图)

4 b 16 1 解:(1)因为椭圆过点 P( , ),所以 2+ =1,解得 a2=2, 3 3 9a 9

………………2 分

b b 3 又以 AP 为直径的圆恰好过右焦点 F2.所以 AF2?F2P,即? ? =?1, b2=c(4?3c).……6 分 c4 ?c 3 而 b2=a2?c2=2?c2,所以 c2?2c+1=0,解得 c2=1, x2 故椭圆 C 的方程是 +y2=1. ………………………8 分 2 (2)①当直线 l 斜率存在时,设直线 l 方程为 y=kx+p,代入椭圆方程得 (1+2k2)x2+4kpx+2p2-2=0. 因为直线 l 与椭圆 C 有只有一个公共点,所以 △=16k2p2-4(1+2k2)(2p2-2)=8(1+2k2―p2)=0, 即 1+2k2=p2. …………………………………10 分

设在 x 轴上存在两点(s,0),(t,0),使其到直线 l 的距离之积为 1,则 |ks+p| |kt+p| |k2st+kp(s+t)+p2| ? 2 = =1, k2+1 k2+1 k +1 即(st+1)k+p(s+t)=0(*),或(st+3)k2+(s+t)kp+2=0 (**).
?st+1=0, ?s=1 ?s=?1 由(*)恒成立,得? 解得? ,或? , ?t=?1 ?t=1 ?s+t=0.

…………………………14 分

而(**)不恒成立. ②当直线 l 斜率不存在时,直线方程为 x=? 2时, 定点(-1,0)、F2(1,0)到直线 l 的距离之积 d1? d2=( 2-1)( 2+1)=1. 综上,存在两个定点(1,0),(?1,0),使其到直线 l 的距离之积为定值 1. ………16 分

3 、(南京市、盐城市 2013 届高三期末)如图 , 在平面直角坐标系 xOy 中 , 已知椭圆

C:

x2 y 2 2 2 , F1 、F2 分别是椭 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 经过点 M (3 2, 2) ,椭圆的离心率 e ? 2 a b 3

圆的左、右焦点. (1)求椭圆 C 的方程; (2)过点 M 作两直线与椭圆 C 分别交于相异两点 A 、 B . ①若直线 MA 过坐标原点 O , 试求 ?MAF2 外接圆的方程; ②若 ?AMB 的平分线与 y 轴平行, 试探究直线 AB 的斜率是否为定值?若是 , 请给予 证明;若不是, 请说明理由.

解: (1)由 e ? 分

x2 y 2 2 2 c2 a 2 ? b2 8 2 2 , 2 ? ,得 ,故椭圆方程为 ? ? ? 1 ………3 a ? 9b a a2 9 9b 2 b 2 3
18 2 ? 2 ? 1 , 解 得 b2 ? 4 , 所 以 椭 圆 的 方 程 为 2 9b b

又 椭 圆 过 点 M (3 2, 2) , 则

x2 y 2 ? ? 1 ………5 分 36 4
(2)①记 ?MF1 F2 的外接圆的圆心为 T .因为 kOM ?

1 ,所以 MA 的中垂线方程为 y ? ?3 x , 3

又由 M (3 2, 2) , F2 4 2, 0 ,得 MF1 的中点为 ? ?

?

?

?7 2 2? , ? ,而 kMF2 ? ?1 , 2 ? ? 2 ?

所以 MF2 的中垂线方程为 y ? x ? 3 2 ,由 ?
2

?3 2 9 2 ? ? ? y ? ?3 x ,得 T ? ? 4 ,? 4 ? ? …8 分 ? ?y ? x ?3 2 ? ?
2

? 3 2? ? 9 2? 5 5 所以圆 T 的半径为 ? 4 2 ? , ?? 0? ? ? ? ? ? ? ? 4 ? ? 4 ? 2 ?

? 3 2? ? 9 2 ? 125 10 故 ?MAF2 的外接圆的方程为 ? x ? ? y ? ? ? ? ? ? ? ? ? 4 ……………… 分 4 4 ? ? ? ?

2

2

(说明:该圆的一般式方程为 x 2 ?

3 2 9 2 x ? y2 ? y ? 20 ? 0 ) 2 2

(3)设直线 MA 的斜率为 k , A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,由题直线 MA 与 MB 的斜率互为相反

? y ? kx ? 2 ? 3 2k ? 数,直线 MB 的斜率为 ? k .联立直线 MA 与椭圆方程: ? x 2 y 2 , ?1 ? ? ? 36 4
整理得 9k ? 1 x ? 18 2k ?1 ? 3k ? x ? 162k ? 108k ? 18 ? 0 ,得 x ? 1
2 2 2

?

?

18 2 ? 3k 2 ? k ? 9k 2 ? 1

?3 2 ,

所以 x ? 2 分

18 2 ? 3k 2 ? k ? 9k 2 ? 1

? 3 2 ,整理得 x2 ? x1 ?

36 2k 108 2k 2 , x ? x ? ? 6 2 …13 2 1 9k 2 ? 1 9k 2 ? 1

又 y2 ? y1 ? ? kx2 ? 2 ? 3 2k ? kx2 ? 2 ? 3 2k ? ? k ? x2 ? x1 ? ? 6 2k

?

?

=

?108k 12 2k ,所以 k AB ? 12 2k ? 2 2 9k ? 1 9k ? 1
3

12 2k y2 ? y1 9k 2 ? 1 1 ? ? ? 为定值………………16 分 x2 ? x1 36 2k 3 9k 2 ? 1

4、(南通市 2013 届高三期末)已知左焦点为 F(-1,0)的椭圆过点 E(1, 2 3 ).过点 P(1, 3 1)分别作斜率为 k1,k2 的椭圆的动弦 AB,CD,设 M,N 分别为线段 AB,CD 的中点. (1)求椭圆的标准方程; (2)若 P 为线段 AB 的中点,求 k1; (3)若 k1+k2=1,求证直线 MN 恒过定点,并求出定点坐标. 解:依题设 c=1,且右焦点 F ? (1,0).
? ? 所以,2a= EF ? EF ? = (1 ? 1) 2 ? ? 2 3 ? ? 2 3 ? 2 3 ,b2=a2-c2=2, 3 3 ? ?
2 y2 ?1. 故所求的椭圆的标准方程为 x ? 3 2
2

………………………………4 分

(2)设 A( x1 , y1 ),B( x2 , y2 ),则 ②-①,得 所以,k1=

x12 y12 x2 y 2 ? ? 1 ①, 2 ? 2 ? 1 ②. 3 2 3 2

( x2 ? x1 )( x2 ? x1 ) ( y 2 ? y1 )( y 2 ? y1 ) ? ? 0. 3 2

y2 ? y1 2( x2 ? x1 ) 4x ?? ?? P ??2 . x2 ? x1 3( y2 ? y1 ) 6 yP 3

……………………………9 分

(3)依题设,k1≠k2.

设 M( xM , yM ),直线 AB 的方程为 y-1=k1(x-1),即 y=k1x+(1-k1),亦即 y=k1x+k2, 代入椭圆方程并化简得 于是, xM ? 同理, xN ?
2 (2 ? 3k12 ) x 2 ? 6k1k2 x ? 3k2 ? 6 ? 0.

?3k1k2 2k 2 , yM ? . 2 2 ? 3k1 2 ? 3k12 ?3k1k2 2k1 , yN ? . 2 2 2 ? 3k2 2 ? 3k2

………………………………11 分

当 k1k2≠0 时, 直线 MN 的斜率 k=
2 4 ? 6(k2 ? k2 k1 ? k12 ) 10 ? 6k2 k1 yM ? y N = .………………13 分 ? ?9k2 k1 (k2 ? k1 ) xM ? xN ?9k2 k1

直线 MN 的方程为 y ? 即 亦即
y?

2k 2 10 ? 6k2 k1 ?3k1k2 ? (x ? ), 2 ? 9 k k 2 ? 3k1 2 ? 3k12 2 1

10 ? 6k2 k1 10 ? 6k 2 k1 3k1k 2 2k 2 x?( ? ? ), ?9k2 k1 ?9k2 k1 2 ? 3k12 2 ? 3k12
10 ? 6k2 k1 x? 2 . ?9k2 k1 3

y?

此时直线过定点 (0, ? 2 ) . ………………………………………………………15 分 3 当 k1k2=0 时,直线 MN 即为 y 轴,此时亦过点 (0, ? 2 ) . 3 综上,直线 MN 恒过定点,且坐标为 (0, ? 2 ) . 3 ……………………………16 分
y C D B A O x

8 、 ( 扬 州 市 2013 届 高 三 期 末 ) 如 图 , 已 知 椭 圆 E1 方 程 为

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ,圆 E2 方程为 x 2 ? y 2 ? a 2 ,过椭圆的左 2 a b
顶点 A 作斜率为 k1 直线 l1 与椭圆 E1 和圆 E2 分别相交于 B、C.

(Ⅰ)若 k1 ? 1 时, B 恰好为线段 AC 的中点,试求椭圆 E1 的离心率 e ; (Ⅱ) 若椭圆 E1 的离心率 e =

1 ,F2 为椭圆的右焦点, 当 | BA | ? | BF2 |? 2a 时, 求 k1 的值; 2

k1 b 2 ? (Ⅲ)设 D 为圆 E2 上不同于 A 的一点,直线 AD 的斜率为 k2 ,当 时,试问直线 k2 a 2
BD 是否过定点?若过定点,求出定点坐标;若不过定点,请说明理由. 解:(Ⅰ)当 k1 ? 1 时,点 C 在 y 轴上,且 C (0, a ) ,则 B (?

a a , ) ,由点 B 在椭圆上, 2 2
…………………2 分

a a (? ) 2 ( ) 2 2 ? 2 ? 1, 得 a2 b2



b2 1 c2 b2 2 6 2 , . ? e ? ? 1 ? ? ,∴ e ? 2 2 2 3 3 3 a a a

…………………4 分

(Ⅱ)设椭圆的左焦点为 F1 ,由椭圆定义知, | BF1 | ? | BF2 |? 2a , ∴ | BF1 |?| BA | ,则点 B 在线段 AF1 的中垂线上,∴ xB ? ? 又e ?

a?c ,…………6 分 2

3 c 1 1 3a a ,∴ xB ? ? , ? ,∴ c ? a , b ? 2 a 2 2 4

代入椭圆方程得 yB ? ?

yB 7 21 21 =? .…………9 分 b=? a ,∴ k1 ? xB ? a 4 8 2

? y ? k1 ( x ? a ), x 2 ? a 2 k12 ( x ? a ) 2 ? 2 (Ⅲ)法一:由 ? x 2 得 ? ? 0, y a2 b2 ? 2 ? 2 ? 1, b ?a

a (b 2 ? k12 a 2 ) ∴ x ? ? a ,或 x ? , b 2 ? a 2 k12
∵ xB ? ? a ,∴ xB ?

a (b 2 ? k12 a 2 ) 2ab 2 k1 ,则 .……11 分 y ? k ( x ? a ) ? B 1 B b 2 ? a 2 k12 b 2 ? a 2 k12

由?

? y ? k2 ( x ? a ), ?x ? y ? a ,
2 2 2

2 得 x 2 ? a 2 ? k2 ( x ? a)2 ? 0 ,

2 2 2ak2 a (1 ? k2 ) a (1 ? k2 ) 得 x ? ? a ,或 x ? ,同理,得 xD ? , yD ? ,……13 分 2 2 2 1 ? k2 1 ? k2 1 ? k2

b4 2 a (b ? 2 k2 ) 2 k 2ab 2 k2 a(a 2 ? b 2 k2 ) b2 a y ? 当 1 ? 2 时, xB ? , , ? B 2 2 k2 a a 2 ? b 2 k2 b4 2 a 2 ? b 2 k2 2 b ? 2 k2 a
2

k BD

2ab 2 k2 2ak2 ? 2 2 a 2 ? b 2 k2 1 ? k2 1 ? ? ? ,∴ BD⊥AD,∵ E2 为圆, 2 2 2 2 k2 a (a ? b k2 ) a (1 ? k2 ) ? 2 2 2 2 a ? b k2 1 ? k2
∠ADB 所对圆 E2 的弦为直径,从而直线 BD 过定点(a,0). ……………16 分 …………………10 分



法二:直线 BD 过定点 (a, 0) , 证明如下: 设 P (a, 0) , B ( xB , yB ) ,则:

xB 2 y B 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) a2 b

2 yB yB yB a2 a2 a2 a 2 b2 k k ? ? ? ? ? ? ( ? ) ? ?1 , 1 PB 2 b2 b 2 xB ? a xB ? a b 2 x B ? a 2 b2 a 2 所以 PB ? AD ,又 PD ? AD 所以三点 P, B, D 共线,即直线 BD 过定点 P (a, 0) 。. …………………16 分

k AD k PB ?

9、 (镇江市 2013 届高三期末)已知椭圆 O 的中心在原点,长轴在 x 轴上,右顶点 A(2,0) 到 右焦点的距离与它到右准线的距离之比为

3 1 . 不过 A 点的动直线 y ? x ? m 交椭圆 2 2

O 于 P,Q 两点.
(1)求椭圆的标准方程; (2)证明 P,Q 两点的横坐标的平方和为定值; (3)过点 A,P,Q 的动圆记为圆 C,动圆 C 过不同于 A 的定点,请求出该定点坐标. 19.解:(1)设椭圆的标准方程为

3 x2 y2 .……2 分 ? 2 ? 1?a ? b ? 0 ? .由题意得 a ? 2, e ? 2 2 a b
?椭圆的标准方程为

? c ? 3 , b ? 1 , ……2 分
(2)证明:设点 P ( x1 , y1 ), Q ( x2 , y2 ) 将y?

x2 ? y 2 ? 1 .……4 分 4

1 1 x ? m 带入椭圆,化简得: x 2 ? 2mx ? 2(m 2 ? 1) ? 0 ○ 2
2 x1 x2 ? 2( m 2 ? 1) ,……6 分 ? x12 ? x2 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 2 x1 x2 ? 4 ,

? x1 ? x2 ? ?2m,

?P,Q 两点的横坐标的平方和为定值 4.……7 分
2 2 (3)(法一)设圆的一般方程为: x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 ,则圆心为( ?

D 2

,?

E 2

),

PQ 中点 M( ? m, 圆心( ?

m 3 ), PQ 的垂直平分线的方程为: y ? ?2 x ? m , ……8 分 2 2

E 3 D E 3 2 ,……9 分 ,? )满足 y ? ?2 x ? m ,所以 ? ? D? m○ 2 2 2 2 2

圆过定点(2,0),所以 4 ? 2 D ? F ? 0 ○ 3 ,……10 分

? x12 ? y12 ? Dx1 ? Ey1 ? F ? 0, 圆过 P ( x1 , y1 ), Q ( x2 , y 2 ) , 则 ? 2 两式相加得: 2 ? x2 ? y2 ? Dx2 ? Ey2 ? F ? 0,
x12 ? x2 2 ? y12 ? y2 2 ? Dx1 ? Dx2 ? Ey1 ? Ey 2 ? 2 F ? 0,
x1 ? x2 ? (1 ?
2 2

x1 4

2

) ? (1 ?

x2 4

2

) ? D ( x1 ? x2 ) ? E ( y1 ? y 2 ) ? 2 F ? 0 ,……11 分

? y1 ? y2 ? m ,

4 .……12 分 ? 5 ? 2mD ? mE ? 2 F ? 0 ○

因为动直线 y ?

1 2

x ? m 与椭圆 C 交与 P,Q(均不与 A 点重合)所以 m ? ?1 ,
3( m ? 1) 4 , E? 3 2 m? 3 2 , 3 5 F ? ? m ? , ……13 分 2 2

由○ 2 ○ 3 ○ 4 解得: D ?

3 3 3 5 x ? ( m ? )y ? m ? ? 0 , 4 2 2 2 2 3 3 5 3 3 3 整理得: ( x 2 ? y 2 ? x ? y ? ) ? m ( x ? y ? ) ? 0 ,……14 分 4 2 2 4 2 2
代入圆的方程为: x 2 ? y 2 ?
3 3 5 ? 2 x ? y 2 ? x ? y ? ? 0, ? ? 4 2 2 所以: ? ……15 分 3 3 3 ? x ? y ? ? 0, ? ? 4 2 2

3( m ? 1)

? x ? 0, ? x ? 2, 解得: ? 或? (舍). ? y ? 1, ? y ? 0

所以圆过定点(0,1).……16 分
2 2 (法二) 设圆的一般方程为: x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 ,将 y ?

1 x ? m 代入的圆的方程: 2

5 2 ? E? 5 .……8 分 x ? ? m ? D ? ? x ? m 2 ? mE ? F ? 0 ○ 4 2? ?
方程○ 1 与方程○ 5 为同解方程.

1 2m 2( m 2 ? 1) , ……11 分 ? ? 2 5 E m ? mE ? F m?D? 4 2

圆过定点(2,0),所以 4 ? 2 D ? F ? 0 , ……12 分 因为动直线 y ? 解得: D ?

1 x ? m 与椭圆 C 交与 P,Q(均不与 A 点重合)所以 m ? ?1 . 2

3( m ? 1) 3 3 3 5 , E ? m ? , F ? ? m ? ,……13 分 (以下相同) 4 2 2 2 2 【说明】本题考查圆锥曲线的基本量间关系、直线与圆锥曲线的位置关系;考查定点定值问 题;考查运算求解能力和推理论证能力.
19.(本小题满分 16 分) 如 图 , 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 椭 圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的 左 、 右 焦 点 分 别 为 a 2 b2
y B

F1 (?c,0), F2 (c,0) ,已知点 (1, e) 和 (e,

3 ) 都在椭圆上,其中 e 为椭圆的离心率。 2 A

(1)求椭圆的方程; (2)设 A、B 是椭圆上位于 x 轴上方的两点,且直线 AF1 与直线 BF2 平行, A F2 与 B F1 交于点 P。? ?(i)若 AF1 ? BF2 ?

P

F1

O

F2

x

6 ,求直线 AF1 的斜率; 2

(第 19 题)

(ii)求证: PF 1 ? PF 2 是定值。

[解析] 本小题主要考查求椭圆的定义、标准方程及几何性质、直线方程、两点间的距离 公式等基础知识,考查运算求解能力和推理论证的能力。满分 16 分。

c 2 ? ? 12 ( a ) ? 2 ? 2 ?1 a b ? c c 3 ? 2 2 解:(1)将点 (1, ) 和 ( , ) 的坐标代入椭圆方程,得: ?a ? b ? c 2 a a 2 ? ? ( c )2 ( 3 )2 ? a ? 2 ?1 ? b2 ? a2
解得: a2 ? 2, b2 ? 1, c ? 1 。

所以椭圆的方程为

x2 ? y 2 ? 1。 2

(2)(i)(解法一) 左焦点为 F1 (?1,0) ,设直线 AF1 的方程为: y ? k ( x ? 1) ,

x2 ? y 2 ? 1,化简,得: (1 ? 2k 2 ) x2 ? 4k 2 x ? 2(k 2 ?1) ? 0 , 代入椭圆的方程 2

?2k 2 ? 2(k 2 ? 1) 因为 A 是椭圆上位于 x 轴上方的点,所以 xA ? , 2k 2 ? 1
同理:设直线 BF2 的方程为: y ? k ( x ? 1) ,

代入椭圆的方程

x2 ? y 2 ? 1,化简,得: (1 ? 2k 2 ) x2 ? 4k 2 x ? 2(k 2 ?1) ? 0 , 2

因为 B 是椭圆上位于 x 轴上方的点,所以 xB ?

2k 2 ? 2(k 2 ? 1) , 2k 2 ? 1

又 AF1 ? BF2 ? e( xA ? 2) ? e(2 ? xB ) ?

2 6 ,得: xA ? xB ? 3 ( xA ? xB ) ? 2 2

故有: xA ? xB ?

?2k 2 ? 2(k 2 ? 1) 2k 2 ? 2(k 2 ? 1) 2 2(k 2 ? 1) + = ? 3 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1
2 2 2 2

化简,得: 12k ? 4k ? 5 ? 0,(2k ? 1)(6k ? 5) ? 0, k ?
4

1 2 ,k ? 。 2 2

(解法二)

(解法三)

(2)(i i) (解法 1)

(解法 2)

(解法 3)


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