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【原创精品】初高中数学衔接教材专题一1.1绝对值与绝对值不等式

时间:2018-12-03

初中升高中 衔接教材·数学

第一篇 初高中基础知识衔接 专题 1 数与式的运算 1.1 绝对值与绝对值不等式 【衔接目标】 绝对值不等式,初中没作要求,高中的要求比较高,因此通过本节的学习要掌握绝对值不 等式的解法。 ? 【课前·复习导引】 1、绝对值的意义 (1) 、绝对值的代数意义:正数的绝对值是它的本身,负数的绝对值是它的相反数, 零的绝对值仍是零.即

?a, a ? 0, ? | a |? ?0, a ? 0, ??a, a ? 0. ?
(2) 、绝对值的几何意义:一个数的绝对值,是数轴上表示它的点到原点的距离. (3) 、两个数的差的绝对值的几何意义: a ? b 表示在数轴上,数 a 和数 b 之间的距 离. 2、绝对值不等式 根据绝对值的意义可得到:

x ? a(a ? 0) ? x ? -a, 或x ? a ; x ? a(a ? 0) ? ?a ? x ? a 。
? 【课堂·典例探究】 类型一、绝对值的意义 【例 1】已知 x ? 2 ? y ? 2 ? 0 ,则 xy 的值为 【解析】 又

x ? 2 ? 0, y ? 2 ? 0

x ? 2 ? y ? 2 ? 0 ,? x ? 2 ? 0, y ? 2 ? 0

? x ? 2, y ? ?2, xy ? ?4
【答案】-4 【规律方法】实数 x 的绝对值 x 的几何意义是表示数轴上表示 x 的点与原点的距离,它是 一个大于等于 0 的实数。 【变式训练】 1.如果 ?2a ? ?2a ,则 a 的取值范围是 a ? 0 【解析】由绝对值的含义得 ?2a ? 0 ,? a ? 0 【答案】 a ? 0 类型二、绝对值不等式 【例 2】解关于 x 的不等式 x ? 2 ? 2 x ? 4 。 解法一、原不等式等价于

x?2? 0 ? x?2? 0 ? ,或 ? ? ?x ? 2 ? 2x ? 4 ??( x ? 2) ? 2 x ? 4 2 解得 x 的取值范围为 x ? ? 3 解法二、原不等式等价于 x ? 2 ? 2 x ? 4, 或x ? 2 ? ?(2 x ? 4) , 2 解得 x 的取值范围为 x ? ? 3 【规律方法】 (1) f ( x) ? g ( x) 解法: ? f ( x) ? 0 ? f ( x) ? 0 f ( x) ? g ( x) ? ? ,或? ? f ( x) ? g ( x), 或f ( x) ? ? g ( x) ; ? f ( x) ? g ( x) ?? f ( x ) ? g ( x ) (2) f ( x) ? g ( x) 解法: ? f ( x) ? 0 ? f ( x) ? 0 f ( x) ? g ( x ) ? ? ,或? ? ? g ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? f ( x) ? g ( x) ?? f ( x) ? g ( x)
解绝对值不等式的关键是去掉绝对值。 【变式训练】

1 ?x?7 3 【解析】原不等式等价于 ?( x ? 4) ? 3 ? 2 x ? x ? 4 , 1 ?? ? x ? 7 3
2.关于 x 的不等式 3 ? 2 x ? x ? 4 的解是 ? 【例 3】解不等式: x ?1 ? x ? 3 >4. 解法一:由 x ? 1 ? 0 ,得 x ? 1 ;由 x ? 3 ? 0 ,得 x ? 3 ; ① 若 x ? 1 ,不等式可变为 ?( x ? 1) ? ( x ? 3) ? 4 , 即 ?2 x ? 4 >4,解得 x<0, 又 x<1, ∴ x<0; ② 若 1 ? x ? 2 ,不等式可变为 ( x ? 1) ? ( x ? 3) ? 4 , 即 1>4, ∴ 不存在满足条件的 x; ③ 若 x ? 3 ,不等式可变为 ( x ? 1) ? ( x ? 3) ? 4 , 即 2 x ? 4 >4, 解得 x>4. 又 x≥3,∴ x>4. 综上所述,原不等式的解为 x<0,或 x>4. 解法二:如图 1.1-1, x ? 1 表示 x 轴上坐标为 x 的点 P 到坐标为 1 的点 A 之间的 距离|PA|,即|PA|=|x-1|;|x-3|表示 x 轴上点 P 到坐标为 2 的点 B 之间的距离|PB|,即|PB| =|x-3|. |x-3| 所以,不等式 x ?1 ? x ? 3 >4 的几何意义 即为 |PA|+|PB|>4. 由|AB|=2,可知点 P 在点 C(坐标为 0)的左 侧、或点 P 在点 D(坐标为 4)的右侧.所以 x<0, 或 x>4. 【规律方法】含有两个绝对值的不等式的常用解 P x C 0 |x-1| 图 1.1-1 A 1 B 3 D 4 x

法有根据绝对值的代数意义或几何意义去掉绝对值符号。 【变式训练】 3. 式子 x ?1 ? x ? 3 的最小值为 【解析】由本例解法二可知,当点 P 位于线段 AB 上时,式子有最小值|AB|=2。 【答案】2 【课堂强化】 1

【解析】 ? a 可以等于 0;两个数互为相反数时,它们的绝对值也相等;若 a ? b ,则

a ? ?b 。
【答案】D 2.

【解析】由于数 b 表示的点到 O 点的距离更大,所以选 D 【答案】D 3 若 x ? 5 ,则 x=____ ?5 _____;若 x ? ? 4 ,则 x=____ ?4 _____. 【答案】 ?5 , ?4 4.如果 a ? b ? 5 ,且 a ? ?1 ,则 b=________;若 1 ? c ? 2 ,则 c=________. 【解析】 b ? 5 ? a ? 4,?b ? ?4 ;由 1 ? c ? 2 得 1 ? c ? ?2,? c ? ?1 或 3 【答案】 ?4 ; ?1 或 3 5.解下列关于 x 的不等式 (1) 2 2x ?1 ? 1; (2) x ? 1 ? 2 ? x

? 4x ? 2 ? 1 , ?x ? 【解】 (1) 原不等式等价于 4x ? 2 ? 1, 或? 4 x ? 2 ? ?1 ,

1 3 , 或x? 4 4

(2)原不等式等价于 ?(2 ? x) ? x ? 1 ? 2 ? x ,? x ?

1 2

? 【课后·检测评价】 一、选择题 1.若 ?2 ? x ,则 x 的值为( ) A.2 B.-2 【答案】A 2. C. ?2 D. 2

【答案】C 3.下列叙述正确的是 (A)若 a ? b ,则 a ? b (C)若 a ? b ,则 a ? b (B)若 a ? b ,则 a ? b (D)若 a ? b ,则 a ? ?b





【解析】若 a ? b ,则 a ? ?b ;若 a ? b ,则 a , b 大小不确定;若 a ? b ,则 a , b 大小 不确定. 【答案】D 4

【解析】由已知得 n 【答案】A 二、填空题 5.化简:|x-5|-|2x-3|(x>5)= 【解析】

-m

O

m

-n

x ? 5,? x ? 5 ? 0, 2 x ? 3 ? 0

所以原式= x ? 5 ? 2 x ? 3 ? 3x ? 18 【答案】 6.已知 a ? 3, b ? 2, c ? 1 ,且 a ? b ? c ,则 a ? ,b ? ,c ? 。

【解析】因为 a ? 3, b ? 2, c ? 1 ,且 a ? b ? c ,所以 a ? ?3, b ? ?2, c ? ?1 【答案】 a ? ?3, b ? ?2, c ? ?1 三、解答题 7、解下列不等式 (1) 4 ? 2 x ? 3 ? 7 ; (2) x ? 2 ? x ? 1 。

【解】 (1)原不等式可化为 4 ? 2 x ? 3 ? 7 ,或 ?7 ? 2 x ? 3 ? ?4 ,

1 7 ??2 ? x ? ? ,或 ? x ? 5 2 2
(2)原不等式可化为 x ? 2 ? x ? 1 ,所以 x ?
2 2

1 2

8、 【解】

综上可得不等式的解为 0 ? x ? 6


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