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13.2复数的坐标表示_图文

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N ? Z ?Q? R?C 一、复数概念 1、定义虚数单位:数i,规定:i2 = -1 我们把形如a+bi(其中 a、b ?R )的数 称为复数 记作: z=a+bi (a、b ?R) a叫做复数 z 的 实部 ,实部记为Re(z); b叫做复数 z 的 虚部 ,虚部记为Im(z). 全体复数的集合记为 C . 2、分类 复数z=a+bi (a、b?R) 虚数 (b?0) 特别的当 a=0 时 纯虚数 实数 (b=0) 3、复数相等 ?a ? c 设z1=a+bi,z2=c+di(a、b、c、d?R),若 ? ?b ? d 则这两个复数相等,记作: z1 = z2. 特别地,a+bi=0 ? a=b=0 . 注意: 一般地,两个复数只能相等或不相等,不能比较大小. 若z1 > z2 ? z1,、z2∈R且z1 > z2 二、复数的坐标表示 复数z=a+bi (a、b?R) 一一对应 Z ?a, b ? 复数 z = a+bi 可用点Z(a,b)表示, 横坐标a是复数z的实部,纵坐标b是复数z的虚部 y Z(a,b) . b O a x 二、复数的坐标表示 把直角坐标系中的x轴 叫做实轴,y轴叫做虚轴, 这个坐标平面叫做复平面. 实轴上的点都表示实数; y Z:a+bi . b O a x 虚轴上的点都表示纯虚数. (除了原点外) 二、复数的坐标表示 例1. 集合A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}, 设复数z=a+bi,a、b可以取集合A中的任意 一个整数, 问:(1)复数z=a+bi 共有多少个? (2)复数z=a+bi 中有多少个实数? (3)复数z=a+bi 中有多少个纯虚数? 二、复数的坐标表示 例2. 当m为何值时,复数 z = (m2-m-2)+(m2-3m+2)i 在复平面内对应点在(1)实轴的负半轴上; (2)第二象限. 三、复数的向量表示 复数z=a+bi (a、b?R) 一一对应 一一对应 直角坐标系中的点Z(a,b) 一一对应 平面向量 OZ 由此,相等的向量表示同一个复数. 四、复数的模 复数z=a+bi(a、b?R)所对应 的点 Z(a,b) 到原点的距离叫做 y Z(a,b) . 数z的模,记作|z|. z ? OZ ? a ? bi ? a 2 ? b2 b O a x 当b ? 0时, z?a (1)模的几何意义:复数对应的点到原点的距离; (2)模|z|是一个非负实数,即|z|≥0; (3)复数的模是实数绝对值的推广; 四、复数的模 例3. z1 ? 3 ? 4i z 2 ? 3 ? 4i 1 z 3 ? ? 2i 2 1 z4 ? ? 2i 2 求下列复数的模并比较其大小. 共轭复数 定义:实部相等,虚部互 为相反数的两个复数为共 轭复数。 若z ? a ? bi, ?a, b ? R ? 则z ? a ? bi z的共轭复数记为z 四、复数的模 例4.求证:下列四个复数在复平面内对应的点 在同一个圆上. 2 2 z1 ? 1 ,z2 ? ?i,z3 ? cos15? ? sin 15?i,z4 ? ? i 2 2 2 2 证明: OZ1 ? 1 ? 0 ? 1 OZ 2 ? 0 ? ?? 1? ? 1 2 2 OZ 3 ? cos 15? ? sin 15? ? 1 2 2 2 2 ? 2? ? 2? OZ 4 ? ? ? ?? ? ?1 ? 2 ? ? 2 ? 所以点 Z1 , Z 2 , Z 3 , Z 4 是在以原点为圆心,以 1 为 半径的圆上,即复数 z1 , z2 , z3 , z4 所对应的四点 Z1 , Z 2 , Z 3 , Z 4 共圆. 五、模的几何意义 例5.(1)满足|z|= 5(z∈C)的 复数z对应的点在复平面上将 构成怎样的图形? 设z = x+yi(x、y∈R) | z |? x 2 ? y 2 ? 5 5 y –5 O 5 x x 2 ? y 2 ? 25 图形: 以原点为圆心,5为半径的圆上 –5 五、模的几何意义 例5.(2)满足 3<|z|<5 (z∈C)的复数z对应的点在复平 5 y 面上将构成怎样的图形? 设z = x+yi(x、y∈R) 3 ? x2 ? y2 ? 5 3 O 5 –5 –3 3 5 x 9 ? x 2 ? y 2 ? 25 –3 –5 图形: 以原点为圆心, 半径3至5的圆环内 五、模的几何意义 例6、根据条件,在复平面内,画出Z=x+yi,(x,y∈R)对应 的点Z所表示的图形. (1) | Z |? 1 ( 2)2 ? Re Z ? 4 ( 3) | Z |? 3, Im Z ? 0 五、模的几何意义 例7、复数Z ? ( x ? 1) ? 2xi, 且满足 | Z |? 2, (1)求实数x的取值范围; (2)求 | Z | 的最小值. 六、课堂小结 1.复数的坐标表示; 2.复数的向量表示; 3.复数的模; 4.复数的模的几何意义; 练习 ? 设复数z满足3z+|z|=17-9i,求复数z。 ? 设复数z=(x+1)+(3x+2)i, x?R, (1)若|z|?5,求x的取值范围; (2)求|z|的最小值。

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