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北京师范大学附属实验中学2015届高三上学期期中考试数学(文)试题

时间:2015-10-13

北京师范大学附属实验中学
2014—2015 学年度第一学期高三年级数学(文)期中试卷 班级______
试卷说明: 1、本试卷共三道大题,20 道小题,共 10 页; 2、本次考试卷面分值 150 分,考试时间为 120 分钟; 3、试卷共两部分,第Ⅰ卷答案涂在机读卡上,第Ⅱ卷答案全部写在答题纸上. 命题人:黎栋材 审题人:李桂春

姓名_______

学号_______

成绩_______

第Ⅰ卷(选择题 共 40 分) 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 在每小题列出的四个选项中,选出符合题目 要求的一项. 1.已知集合 M ? {x | x ? a} , N ? {x | ?2 ? x ? 0} ,若 M ? N ? ? ,则 a 的取值范围为 A. a ? 0 B. a ? 0 C. a ? ?2 D. a ? ?2

2.下列函数中,在定义域内是减函数的是 A. f ( x ) ? ?

1 x

B. f ( x) ?

x

?1? C. f ( x ) ? ? ? ?2?

x

D. f ( x) ? tan x

3.已知函数 f ( x) ? sin(? x ? A.2π

?
6

) 图像的相邻两条对称轴之间的距离为
C.

? ,则 f ( x) 的最小正周期是 4
D.

B. π

? 2

4.已知向量 a ? (3,1), b ? (?2, ), 则下列向量可以与 a ? 2b 垂直的是 A. (?1, 2) B. (2, ?1) C. (4, 2) D. (?4, 2)

?

?

1 2

?

?

? 4

5.“ t ? 1 ”是“ ? t ”成立的 A.充分而不必要条件 C.充分必要条件
n

1 t

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

6.已知数列 ?an ? 的通项公式 an ? 2 (3n ? 13) ,则数列的前 n 项和 Sn 的最小值是 A. S3 7.数列 {an } 中,a1 ? B. S4 C. S5 D. S6

1 1 ? an * ,an ?1 ? (其中 n ? N ) ,则使得 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ? 72 成立的 n 2 1 ? an

的最小值为 A. 236 B. 238 C. 240 D. 242
j

8.已知集合 A = {a1 , a2 ,?, an }(n > 2) ,令 TA =

{x x = a + a ,1 ? i
i

j ? n} , card(TA ) 表示集

合 TA 中元素的个数.关于 card(TA ) 有下列两个命题 ①若 a1 , a2 ,?, an (n > 2) 可构成公差不为 0 的等差数列,则 card(TA ) = 2n - 3 ; ②若 a1 , a2 ,?, an (n > 2) 可构成公比不为 1 的等比数列,则 card(TA ) = 其中,正确的是( A. ① ) B. ② C. ①② 第Ⅱ卷(非选择题 共 110 分) 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9.在 D ABC 中,若 tan A = - 2 ,则 cos A = 10.设 a ? ?
0.5

1 n(n - 1). 2

D. 都不正确

.

[来源:Zxxk.Com]

, b ? log3 2 ,c ? cos

5? ,则 a, b, c 从大到小 的顺序为 .... 6

. ;在 (0, ? ) 上

11.已知函数 f ( x) ? x ? 2sin x ,则函数 f ( x ) 在 (0, f (0)) 处的切线方程为 的单调递增区间为 12.已知函数 f ( x) ? ? .

? x( x ? 1), x ? 0 , 则满足 f (t ? 1) ? f (2t) 的实数 t 的取值范围是 ? x(1 ? x), x ? 0

.

13.对于函数 y ? f ( x) ,若在其定义域内存在 x 0 ,使得 x0 f ( x0 ) ? 1 成立,则称函数 f ( x) 具有性质 P.下列函数中具有性质 P 的有 ① f ( x) ? ?2x ? 2 2 ③ f ( x) ? x ? . ② f ( x) ? sin x ( x ?[0,2? ]) ④ f ( x) ? ln( x ? 1) 动.以 点,则

1 , ( x ? (0, ??)) x

14.如图,线段 AB ? 2 ,点 A, B 分别在 x 轴和 y 轴的非负半轴上运

AB 为一边,在第一象限内作矩形 ABCD , BC ? 1 .设 O 为原

? ? ?? ? ? ?? O C? O D 的取值范围是______.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15.已知递增的等比数列 ?an ? 满足 a2 ? a3 ? a4 ? 28 ,且 a3 ? 2 是 a2 , a4 的等差中项. (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)若 bn ? log2 an?1 ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 S n .

x ?1 16. 如图, 已知点 A(10,0) , 直线 x ? t (0 ? t ? 10) 与函数 y ? e

的图象

交于点 P ,与 x 轴交于点 H ,记 ?APH 的面积为 f (t ) . (I)求函数 f (t ) 的解析式; (II)求函数 f (t ) 的最大值.

17.设 ?ABC 的内角 A、B、C 所对的边长分别为 a 、 b 、 c ,已知 tan B ? (Ⅰ)求边长 c 的值; (Ⅱ)若 ?ABC 的 面积 S ? 24 ,求 ?ABC 的周长 l .

3 , b sin C ? 6 . 4

18.已知抛物线 C 的顶点为原点,其焦点 F ? 0, c ?? c ? 0? 到直线 l : x ? y ? 2 ? 0 的距离为 (Ⅰ)求抛物线 C 的方程;

3 2 . 2

(Ⅱ)设点 P ? x0 , y0 ? 为直线 l 上一定点,过点 P 作抛物线 C 的两条切线 PA, PB ,其中 A, B 为切 点,求直线 AB 的方程,并证明直线 AB 过定点 Q .

19.已知函数 f ( x) ? 2x3 ? 3ax2 ? 1 ( x ? R) . (Ⅰ)若 f ( x ) 在 x ? 1 处取得极值,求实数 a 的值; (Ⅱ)求 f ( x ) 的单调区间; (Ⅲ)求函数 f ( x ) 在闭区间 ? 0, 2? 的最小值.

20.在下列由正数排成的数表中,每行上的数从左到右都成等比数列,并且所有公比都等于 q ,每列 上的数从上到下都成等差数列. aij 表示位于第 i 行第 j 列的数,其中 a24 ? (Ⅰ) 求 q 的值; (Ⅱ) 求 aij 的计算公式; (Ⅲ)设数列 {bn } 满足 bn ? ann ,

1 5 , a42 ? 1 , a54 ? . 8 16

a11 a21 a31

a12 a22 a32


a13 a23 a33


… … … …

{bn } 的前 n 项和为 Sn ,求 Sn .


北京师范大学附属实验中学
2014—2015 学年度第一学期期中高三年级 文科数学 一、选择题 请将选择题的答案填涂在机读卡上 二、填空题
9. 题 12. 三、解答题 答 15.(本题 13 分) . 10. . 13. . . 11. 14. . ; .

考试答题纸

学号姓名 班级

[来源 :Zxxk.Com]

[来源 :学.科 .网 ]

16.(本题 13 分)





线







17.(本题 13 分)

18.(本题 14 分)

北京师范大学附属实验中学
2014—2015 学年度第一学期期中高三 年级
19.(本题 14 分)

考试答题纸

学号姓名 班级





线











20.(本题 13 分)

北京师范大学附属实验中学
2014—2015 学年度第一学期高三年级数学(文)期中试卷 答案
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 在每小题列出的四个选项中,选出符合题目 要求的一项. 1 C 2 C 3 B 4 C A 5
[来源:Zxxk.Com]

6

[来源:Zxxk.Com]

7 B

8 C

B

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9. -

5 5

10. a ? b ? c 13. ① ②④

11. y ? ? x , ( 14. [1,3]

?
3

,? )

12. t ? ? 1

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15.解:(Ⅰ)设等比数列 ?an ? 的公比为 q ,依题意有 2(a3 ? 2) ? a2 ? a4 , 又 a2 ? a3 ? a4 ? 28 ,将(1)代入得 a3 ? 8 .所以 a 2 ? a 4 ? 20. 于是有 ? (1)

?a1 q ? a1 q 3 ? 20, 2 ? a1 q ? 8,

a ? 32, ?a1 ? 2, ? ? 1 1 解得 ? 或? q? . ? q ? 2, ? 2 ?
又 ?an ? 是递增的,故 a1 ? 2, q ? 2 . 所以 an ? 2 n . (Ⅱ) bn ? log2 2 n?1 ? n ? 1 . 故 Sn ?

n 2 ? 3n . 2

16.解: (I)由已知 AH ? 10 ? t , PH ? et ?1

1 2 1 1 (II)解: f '(t ) ? ? et ?1 ? ? (10 ? t ) ? et ?1 ? et ?1 (5 ? t ) 2 2
所以 ?APH 的面积为 f (t ) ? (10 ? t )et ?1 ,0 ? t ? 10 .

f '(t ) ? 0 得 t ? 5 ,

函数 f (t ) 与 f '(t ) 在定义域上的情况下表:

t
f '(t )

(0,5)
+ ↗

5 0 极大值

(5,10)

?


f (t )

5 2 17.解: (Ⅰ)由正弦定理得 c sin B ? b sin C ? 6 ,
所以当 t ? 5 时,函数 f (t ) 取得最大值 t ? e6 .

3 ,可知 B 为锐角, 4 3 所以 sin B ? , 5 所以 c ? 10 .
又 tan B ? (Ⅱ)由 S ?

1 ab sin C ? 24 ,得 a ? 8 , 2
2 2 2

由余弦定理 b ? a ? c ? 2ac cos B ? 36 , 所以 b ? 6 . 故 ?ABC 的周长 l ? a ? b ? c ? 24 .

18.答案: (Ⅰ) x2 ? 4 y
(Ⅱ)直线 AB : x0 x ? 2 y ? 2 y0 ? 0 19. 解: (Ⅰ) f ?( x) ? 6 x2 ? 6ax , 因为 f ( x ) 在 x ? 1 处取得极值,所以 f ?(1) ? 0 ,解得 a ? ?1 . (Ⅱ) f ?( x) ? 6 x( x ? a) , (1)当 ? a ? 0 时, f ?( x) ? 6 x2 ? 0 ,则 f ( x ) 在 ? ??, ??? 上为增函数; 定点 Q (2, 2)

) ? 0 得 x ? ?a 或 x ? 0 ,所以 f ( x) 的单调增 (2)当 ? a ? 0 ,即 a ? 0 时,由 f ?( x) ? 6 x( x ? a
区间为 ? ??, ?a ? 和 ? 0, ??? ;由 f ?( x) ? 6 x( x ? a) ? 0 得 ? a ? x ? 0 ,所以 f ( x ) 的单调减区间为

? ?a,0? ;
) ? 0 得 x ? ?a 或 x ? 0 ,所以 f ( x) 的单调增区间 (3)当 ? a ? 0 即 a ? 0 时,由 f ?( x) ? 6 x( x ? a

? 0 ,得 0 ? x ? ? a ,所以 f ( x) 的 为 ? ??,0? 和 ? ?a, ?? ? ;由 f ?(x) ? 6 x( x ?a )
为 ? 0, ?a ? .

单调减区间

综上所述,当 a ? 0 时, f ( x ) 的单调增区间为 ? ??, ??? ; 当 a ? 0 时, f ( x ) 的单调增区间为 ? ??, ?a ? 和 ? 0, ??? , f ( x ) 的单调减区间为 ? ?a,0 ? ; 当

a ? 0 时, f ( x) 的单调增区间为 ? ??,0? 和 ? ?a, ?? ? , f ( x) 的单调减区间为 ? 0, ?a ? .
(Ⅲ) (1)当 ? a ? 0 即 a ? 0 时,由(Ⅱ)可知, f ( x ) 在 ? 0, 2? 上单调递增, 所以 f ( x ) 的最小值为 f (0) ? 1 ; (2)当 0 ? ? a ? 2 ,即 ?2 ? a ? 0 时,由(Ⅱ)可知, f ( x ) 在 ?0, ?a ? 上单调递减,在 ? ?a, 2? 上单调递增,所以 f ( x ) 的最小值为 f (?a) ? a3 ? 1; (3)当 ? a ? 2 即 a ? ?2 时,由(Ⅱ)可知, f ( x ) 在 ? 0, 2? 上单调递减,所以 f ( x ) 的最小值为

f (2) ? 17 ? 12a .
综 上 所 述 , 当 a ? 0 时 , f ( x ) 的 最 小 值 为 f (0) ? 1 ; ?2 ? a ? 0 时 , f ( x ) 的 最 小 值 为

f (?a) ? a3 ? 1; a ? ?2 时, f ( x) 的最小值为 f (2) ? 17 ? 12a .
5 1 ? a ? a24 16 8 1 20.解: (Ⅰ)设第 4 列公差为 d ,则 d ? 54 ? ? . 5?2 3 16
故 a44 ? a54 ? d ?

5 1 1 a 1 ? ? ,于是 q 2 ? 44 ? . 16 16 4 a42 4

1 . 2 1 1 1 (i ? 2) ? i . (Ⅱ)在第 4 列中, ai 4 ? a24 ? (i ? 2)d ? ? 8 16 16 1 由于第 i 行成等比数列,且公比 q ? , 2
由于 aij ? 0 ,所以 q ? 0 ,故 q ? 所以, aij ? ai 4 ? q
j ?4

1 ?1? ? i ?? ? 16 ? 2 ?
n

j ?4

?1? ? i ?? ? . ?2?
n

j

(Ⅲ)由(Ⅱ)可得 ann ? n ?

?1? ?1? ? .即 bn= n ? ? . ?2? ?2?

所以 Sn ? b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn ? a11 ? a22 ? a33 ? ? ? ann .

即 Sn ? 1?

1 ?1? ?1? ?1? ? 2 ? ? ? ? 3 ? ? ? ? ? ? (n ? 1) ? ? ? 2 ?2? ?2? ?2?
2 3 4

2

3

n ?1

?1? ? n?? ? , ? 2?
n n ?1

n

1 ?1? ?1? ?1? ?1? ?1? 故 Sn ? 1? ? ? ? 2 ? ? ? ? 3 ? ? ? ? ? ? (n ? 1) ? ? ? ? n ? ? ? 2 ?2? ? 2? ? 2? ? 2? ? 2? 1 1 ?1? ?1? ?1? ?1? 两式相减,得 Sn ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? n ? ? ? 2 2 ?2? ? 2? ? 2? ? 2?
n



2

3

n

n ?1



1? ?1? ? ?1 ? ? ? ? n ?1 n n ?1 2? ?2? ? ?1? ?1? ?1? ? ? ? ? n ? ? ? ? 1? ? ? ? n ? ? , 1 ?2? ?2? ?2? 1? 2 1 n 所以 S n ? 2 ? n ?1 ? n . 2 2


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