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【优化方案】2012高中数学 第1章1.2充分条件与必要条件课件 新人教A版选修2-1

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1.2 充分条件与必要条件

学习目标 1.理解充分条件 、 必要条件 、 充要条件的意 理解充分条件、 必要条件、 理解充分条件 义. 2.会求(判定 某些简单命题的条件关系. .会求 判定 某些简单命题的条件关系. 判定)某些简单命题的条件关系

1.2 充 分 条 件 与 必 要 条 件 课前自主学案

课堂互动讲练

知能优化训练

课前自主学案

温故夯基 1.用语言 、 _________或_________表达的, . 用语言、 符号 表达的, 或 式子 表达的 命题. 可以判断真假的__________叫 命题. 可以判断真假的 陈述句 叫_________ , 2.命题的结构: _____________,其中 .命题的结构: 若p,则q ,其中“p”是 是 结论. 结论. 条件, 条件,“q”是____________ 是

知新益能 1.充分条件和必要条件 . “ 若 p, 则 q” 为真命题 , 是指由 通过推理可 , ” 为真命题, 是指由p通过推理可 p?q ,并且说p是 的 ? 以得出q,记作_________,并且说 是q的 以得出 ,记作 充分 条件 ________条件,q是p的__________条件. 条件, 是 的 必要 条件. 条件 2.充要条件 . q?p ? ? (1)如果既有 p?q , 又有 如果既有_________, 又有__________, 就 如果既有 , 记作p? , 是 的充分必要条件 简称______ 的充分必要条件, 记作 ?q,p是q的充分必要条件,简称 充要 条件. 条件. ? (2)概括地说:如果 p?q ,那么 与q互为充 概括地说: 概括地说 如果________,那么p与 互为充 要条件. 要条件.

问题探究

的充分条件, 惟一吗? 若p是q的充分条件,那么 惟一吗? 是 的充分条件 那么p惟一吗 提示:不惟一. 的充分条件, 提示:不惟一.如x>3是x>0的充分条件,x>5, 是 的充分条件 , x>10等也都是 等也都是x>0的充分条件. 的充分条件. 等也都是 的充分条件

课堂互动讲练

考点突破 充分、 充分、必要条件及充要条件的判断 判断p是 的什么条件 主要是判断若p成立时 的什么条件, 成立时, 判断 是q的什么条件,主要是判断若 成立时, 能否推出q成立 反过来, 成立; 成立时, 能否推出 成立 ; 反过来 , 若 q成立时 , 能否 成立时 推出p成立 成立. 为真, 的充分条件; 推出 成立.若p?q为真,则p是q的充分条件; ? 为真 是 的充分条件 为真, 的必要条件. 若q?p为真,则p是q的必要条件. ? 为真 是 的必要条件

例1 指出下列各组命题中 , p是 q的什么条件 指出下列各组命题中, 是 的什么条件

(在 “ 充分不必要条件 ” 、 “ 必要不充分条件 ” 、 在 充分不必要条件” 必要不充分条件” 充要条件” 既不充分也不必要条件” “充要条件”、“既不充分也不必要条件”中选 出一种). 出一种 . (1)p:a+b=0,q:a2+b2=0; : + = , : ; (2)p:函数f(x)=2x+1,q:函数f(x)是增函数; :函数 = + , :函数 是增函数; 是增函数 (3)p: △ ABC有两个角相等 , q: △ ABC是等腰 有两个角相等, : : 有两个角相等 是等腰 三角形; 三角形; (4)p:α>β,q:sin α>sin β. : , :

【 思路点拨】 只需按充分、 必要条件的定 思路点拨 】 只需按充分 、 分析若p成立 成立, 是否成立 再反过来, 是否成立, 义 , 分析若 成立, q是否成立,再反过来, q 成立时, 是否成立 是否成立. 成立时,p是否成立. 【 解 】 (1)∵a+b=0?/ a2+ b2= 0,反过来 , ∵ + = ? , 反过来, 若a2+b2=0?a+b=0,所以 是q的必要不充 ? + = ,所以p是 的必要不充 分条件. 分条件. (2)因为函数 因为函数f(x)=2x+1?f(x)是增函数,但f(x) 是增函数, 因为函数 = + ? 是增函数 是增函数? 是增函数?/ f(x)=2x+1,所以 是q的充分不 = + ,所以p是 的充分不 必要条件. 必要条件. (3)∵p?q且q?p,∴p是q的充要条件. 的充要条件. ∵ ? 且 ? , 是 的充要条件

(4)取α=150°, β=30°, α>β, 但 sin 150° 取 = ° = ° , ° = sin 30° , 即 p? / q; 反之 , sin 60°>sin ° ? ; 反之, ° 150°,但60°>150°不成立,则q?/ p,所以 ° ° °不成立, ? , p是q的既不充分也不必要条件. 的既不充分也不必要条件. 是 的既不充分也不必要条件

变式训练 判断下列各题中 p 是 q 的什么条件 . 的什么条件. (1)p:|a|≥2,a∈R,q:方程 x2+ax+a+3=0 : ≥ , ∈ , : + + = 有实根; 有实根; (2)p:四边形的对角线相等,q:四边形是矩形; :四边形的对角线相等, :四边形是矩形; (3)p:x=1 或 x=2,q:x-1= x-1. : = = , : - = -

解 : (1)当 |a|≥2时 , 如 a=3时, 方程可化为 2 当 ≥ 时 = 时 方程可化为x +3x+6=0,无实根;而方程 2+ax+a+3= + = ,无实根;而方程x + + = 0有实根 , 则必有 = a2 - 4(a+ 3)≥0, 即 a≤ 有实根, 有实根 则必有?= + ≥ , ≤ 综上可知, - 2或 a≥6, 从而可以推出 ≥2.综上可知 , 或 ≥ , 从而可以推出|a|≥ 综上可知 能推出p, 而由p不能推出 不能推出q, 所以p是 的 由 q能推出 , 而由 不能推出 , 所以 是 q的 能推出 必要不充分条件. 必要不充分条件. (2)由 “ 四边形的对角线相等 ” 推不出 “ 四边 由 四边形的对角线相等” 推不出“ 形是矩形” 而由“ 四边形是矩形” 形是矩形 ” ; 而由 “ 四边形是矩形 ” 可以推 四边形的对角线相等” 所以p是 的必 出 “ 四边形的对角线相等 ” , 所以 是 q的必 要不充分条件. 要不充分条件.

(3)当 x=1 或 x=2 时,x-1= x-1显然 当 = = - = - 显然 成立; 成立;而解方程 x-1= x-1,可得 x=1 - = - , = 的充要条件. 或 x=2,所以 p 是 q 的充要条件. = ,

充要条件的证明 (1)证明充要条件 , 一般是从充分性和必要性 证明充要条件, 证明充要条件 两个方面进行. 两个方面进行 . 此时要特别注意充分性和必 要性所推证的内容是什么. 要性所推证的内容是什么. (2)在具体解题时需注意若推出 ?)关系成立, 在具体解题时需注意若推出(? 关系成立 关系成立, 在具体解题时需注意若推出 需严格证明.若推出(? 关系不成立 关系不成立, 需严格证明. 若推出 ?)关系不成立,可举反 例说明. 例说明.

例2

求证:一元二次方程ax 求证:一元二次方程 2+bx+c=0有一 + = 有一 正根和一负根的充要条件是ac<0. 正根和一负根的充要条件是 思路点拨】 解答本题可先确定p和 , 【 思路点拨 】 解答本题可先确定 和 q, 然 后再分充分性和必要性进行证明. 后再分充分性和必要性进行证明. 证明】 充分性: 由 【 证明 】 充分性 : (由 ac<0推证方程有一正 推证方程有一正 根和一负根) 根和一负根 ∵ac<0, , 一元二次方程ax ∴一元二次方程 2+bx+c=0的判别式 + = 的判别式 ?=b2-4ac>0, = , 方程一定有两不等实根, ∴方程一定有两不等实根,

c 设为 x1,x2,则 x1x2=a<0, , 方程的两根异号. ∴方程的两根异号. 即方程 ax2+bx+c=0 有一正根和一负根. + = 有一正根和一负根. 必要性: 由方程有一正根和一负根推证 必要性:(由方程有一正根和一负根推证 ac<0) ∵方程 ax2+bx+c=0 有一正根和一负根,设为 + = 有一正根和一负根, x1,x2, c 则由根与系数的关系得 x1x2=a<0, , 即 ac<0, , 综上可知: 综上可知:一元二次方程 ax2+bx+c=0 有一正 + = 根和一负根的充要条件是 ac<0.

充分条件、必要条件、 充分条件、必要条件、充要条件的 应用 根据充分条件、必要条件、 根据充分条件、必要条件、充要条件求参数的 取值范围时,主要根据充分条件、必要条件、 取值范围时,主要根据充分条件、必要条件、 充要条件与集合间的关系,将问题转化为相应 充要条件与集合间的关系, 的两个集合之间的包含关系, 的两个集合之间的包含关系,然后建立关于参 数的不等式(组 进行求解 进行求解. 数的不等式 组)进行求解.

例3

已知p:- ≤ ≤ , : 已知 :-2≤x≤10, q: x2 - 2x+ 1- :- + -

的充分不必要条件, m2≤0(m>0), 若 q是 p的充分不必要条件 , 求 , 是 的充分不必要条件 实数m的取值范围. 实数 的取值范围. 的取值范围 【思路点拨】 思路点拨】 先求不等式的解集, 先求不等式的解集,然后根

据充分条件的意义建立不等式组求解即可. 据充分条件的意义建立不等式组求解即可.

:-2≤ ≤ 【解】 p:- ≤x≤10. :- q : x2 - 2x + 1 - m2≤0 ? [x - (1 - m)][x - (1 + m)]≤0(m>0)?1-m≤x≤1+m(m>0). ≤ ? - ≤ ≤ + . 的充分不必要条件. 因为 q 是 p 的充分不必要条件. 即{x|1-m≤x≤1+m}?{x|-2≤x≤10}, - ≤ ≤ + - ≤ ≤ , ?1-m≥-2 ?1-m>-2 - ≥ - - 故有? 或? ,解得 m≤3. ≤ + + ≤ ?1+m<10 ?1+m≤10 的范围为{m|0<m≤3}. 又 m>0,所以实数 m 的范围为 , ≤ .

【名师点评】 名师点评】

在涉及求参数的取值范围与充

分、必要条件有关的问题时,常借助集合的观 必要条件有关的问题时, 点来处理,如A={x|x>1},B={x|x>2},显然有 点来处理, = , = , B?A,所以“x>1”是“x>2”的必要不充分条 ? ,所以“ 是 的必要不充分条 件.

方法感悟 1.充要条件的判断方法 . (1)定义法:直接利用定义进行判断. 定义法:直接利用定义进行判断. 定义法 (2)等价法 : “ p?q” 表示 等价于 , 要证 ?q, 等价法: 等价于q, 要证p? , 等价法 ? ” 表示p等价于 只需证它的逆否命题綈 ? 即可; 只需证它的逆否命题綈q?綈p即可;同理要证 ?q, 即可 同理要证p? , 只需证綈 ? 即可. 只需证綈q?綈p即可.所以 ?q,只需綈q?綈p. 即可 所以p? ,只需綈 ?

(3)利用集合间的包含关系进行判断. 利用集合间的包含关系进行判断. 利用集合间的包含关系进行判断 2.证明 是q的充要条件应注意的地方 .证明p是 的充要条件应注意的地方 (1)首先应分清条件和结论, 并不是在前面的就 首先应分清条件和结论, 首先应分清条件和结论 是条件.如若要证“ 是 的充要条件 的充要条件” 是条件.如若要证“p是q的充要条件”,则p是 是 条件, 是结论 若要证“ 的充要条件是 是结论; 的充要条件是q” 条件,q是结论;若要证“p的充要条件是 ”, 则q是条件,p是结论.这是易错点; 是条件, 是结论.这是易错点; 是条件 是结论 (2)必要性与充分性不要混淆. 必要性是由结论 必要性与充分性不要混淆. 必要性与充分性不要混淆 去推条件,充分性是由条件去推结论; 去推条件,充分性是由条件去推结论; (3)充要性的证明必须充分性、必要性同时证, 充要性的证明必须充分性、 充要性的证明必须充分性 必要性同时证, 不要只证充分性或只证必要性. 不要只证充分性或只证必要性.


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