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集合知识点总结及典型例题

时间:2016-07-14



一. 【课标要求】



1.集合的含义与表示 (1)通过实例,了解集合的含义,体会元素与集合的“属于”关系; (2)能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题,感 受集合语言的意义和作用; 2.集合间的基本关系 (1)理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集; (2)在具体情境中,了解全集与空集的含义; 3.集合的基本运算 (1)理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集; (2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集; (3)能使用 Venn 图表达集合的关系及运算,体会直观图示对理解抽象概念的作用

二. 【命题走向】
有关集合的高考试题, 考查重点是集合与集合之间的关系, 近年试题加强了对集合的计 算化简的考查,并向无限集发展,考查抽象思维能力,在解决这些问题时,要注意利用几何 的直观性,注意运用 Venn 图解题方法的训练,注意利用特殊值法解题,加强集合表示方法 的转换和化简的训练。考试形式多以一道选择题为主。 预测高考将继续体现本章知识的工具作用, 多以小题形式出现, 也会渗透在解答题的表 达之中,相对独立。具体

三. 【要点精讲】
1.集合:某些指定的对象集在一起成为集合 (1) 集合中的对象称元素, 若 a 是集合 A 的元素, 记作 a ? A ; 若 b 不是集合 A 的元素, 记作 b ? A ; (2)集合中的元素必须满足:确定性、互异性与无序性; 确定性:设 A 是一个给定的集合,x 是某一个具体对象,则或者是 A 的元素,或者 不是 A 的元素,两种情况必有一种且只有一种成立; 互异性:一个给定集合中的元素,指属于这个集合的互不相同的个体(对象) ,因 此,同一集合中不应重复出现同一元素; 无序性: 集合中不同的元素之间没有地位差异, 集合不同于元素的排列顺序无关; (3)表示一个集合可用列举法、描述法或图示法; 列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内; 描述法:把集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号{}内。 具体方法:在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围,再 画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。 注意:列举法与描述法各有优点,应该根据具体问题确定采用哪种表示法,要注意,一 般集合中元素较多或有无限个元素时,不宜采用列举法。 (4)常用数集及其记法: 非负整数集(或自然数集) ,记作 N; 正整数集,记作 N*或 N+; 整数集,记作 Z; 有理数集,记作 Q; 实数集,记作 R。 2.集合的包含关系: (1)集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素,则称 A 是 B 的子集(或 B 包含 A) , 记作 A ? B(或 A ? B ) ;

集合相等: 构成两个集合的元素完全一样。 若 A ? B 且 B ? A, 则称 A 等于 B, 记作 A=B; 若 A ? B 且 A≠B,则称 A 是 B 的真子集,记作 A B; (2)简单性质:1)A ? A;2) ? ? A;3)若 A ? B,B ? C,则 A ? C;4)若集合 A 是 n 个元素的集合,则集合 A 有 2n 个子集(其中 2n-1 个真子集) ; 3.全集与补集: (1)包含了我们所要研究的各个集合的全部元素的集合称为全集,记作 U; (2)若 S 是一个集合,A ? S,则, C S = {x | x ? S且x ? A} 称 S 中子集 A 的补集; (3)简单性质:1) C S ( C S )=A;2) C S S= ? , C S ? =S 4.交集与并集: (1)一般地,由属于集合 A 且属于集合 B 的元素所组成的集合,叫做集合 A 与 B 的交 集。交集 A ? B ? {x | x ? A且x ? B} 。 (2)一般地,由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合,称为集合 A 与 B 的并集。 并集A ? B ? {x | x ? A或x ? B} 注意:求集合的并、交、补是集合间的基本运算,运算结果仍然还是集合,区分交集与并集 的关键是“且”与“或” , 在处理有关交集与并集的问题时,常常从这两个字眼出发去揭示、 挖掘题设条件,结合 Venn 图或数轴进而用集合语言表达,增强数形结合的思想方法。 5.集合的简单性质: (1) A ? A ? A, A ? ? ? ?, A ? B ? B ? A; (2) A ? ? ? A, A ? B ? B ? A; (3) ( A ? B) ? ( A ? B); (4) A ? B ? A ? B ? A; A ? B ? A ? B ? B ; (5) C S (A∩B)=( C S A)∪( C S B) , C S (A∪B)=( C S A)∩( C S B) 。

四. 【典例解析】
题型 1:集合的概念 (2009 湖南卷理)某班共 30 人,其中 15 人喜爱篮球运动,10 人喜爱兵乓球运动,8 人对这 两项运动都不喜爱,则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为_12__ 答案 :12 解析 设两者都喜欢的人数为

x 人,则只喜爱篮球的有 (15 ? x) 人,只喜爱乒乓球的有

(10 ? x) 人,由此可得 (15 ? x) ? (10 ? x) ? x ? 8 ? 30 ,解得 x ? 3 ,所以 15 ? x ? 12 ,
即 所求人数为 12 人。 例 1.已知全集 U ? R ,集合 M ? {x ?2 ? x ?1 ? 2} 和

N ? {x x ? 2k ?1, k ? 1,2,? } 的关系的韦恩(Venn)图如图 1 所示,则阴影部分所示的
集合的元素共有( )

A. 3 个 C. 1 个 答案 B

B. 2 个 D. 无穷多个

1,3?,有 2 个,选 B. 解析 由 M ? {x ?2 ? x ?1 ? 2} 得 ? 1 ? x ? 3 ,则 M ? N ? ?
2 例 2.集合 A ? ?0, 2, a? , B ? 1, a ,若 A ? B ? ?0,1,2,4,16? ,则

?

?

a 的值为

( A.0 答案 D

) B.1 C.2 D.4

2 解析 ∵ A ? ?0, 2, a? , B ? 1, a , A ? B ? ?0,1,2,4,16? ∴ ?

?

?

? a 2 ? 16 ? a?4

∴ a ? 4 ,故选 D.

【命题立意】 :本题考查了集合的并集运算,并用观察法得到相对应的元素,从而求得答案, 本题属于容易题. 题型 2:集合的性质
2 例 3.集合 A ? ?0, 2, a? , B ? 1, a ,若 A ? B ? ?0,1,2,4,16? ,则

?

?

a 的值为

( ) A.0 答案 D

B.1

C.2

D.4

2 解析 ∵ A ? ?0, 2, a? , B ? 1, a , A ? B ? ?0,1,2,4,16? ∴ ?

?

?

? a 2 ? 16 ? a?4

∴ a ? 4 ,故选 D.

【命题立意】 :本题考查了集合的并集运算,并用观察法得到相对应的元素,从而求得答案, 本题属于容易题. 随堂练习 2 1.设全集 U=R,A={x∈N︱1≤x≤10},B={ x∈R︱x + x-6=0},则下图中阴影表示的集合 为 ( ) A.{2} C.{-3,2}
2 2

B.{3} D.{-2,3}
2 2

2. 已知集合 A={y|y -(a +a+1)y+a(a +1)>0},B={y|y -6y+8≤0},若

A∩B≠φ ,则实数 a 的取值范围为(

) .

分析:解决数学问题的思维过程,一般总是从正面入手,即从已知条件出发,经过一系 列的推理和运算,最后得到所要求的结论,但有时会遇到从正面不易入手的情况,这时可从 反面去考虑.从反面考虑问题在集合中的运用主要就是运用补集思想.本题若直接求解,情 形较复杂,也不容易得到正确结果,若我们先考虑其反面,再求其补集,就比较容易得到正 确的解答.

解:由题知可解得 A={y|y>a2+1 或 y<a}, B={y|2≤y≤4},我们不妨先考虑当 A∩B=φ 时 a 的范围.如图
?a ? 2 ?a ? 2 由? 2 ,得 ? ?a ? 3或a ? ? 3 ?a ? 1 ? 4

a 2

4 a2+1

∴ a ? ? 3或 3 ?a ?2. 即 A∩B=φ 时 a 的范围为 a ? ? 3 或 3 ? a ? 2 .而 A∩B≠φ 时 a 的范围显然 是其补集,从而所求范围为 a | a ? 2或 ? 3 ? a ? 3 .
评注:一般地,我们在解时,若正面情形较为复杂,我们就可以先考虑其反面,再利用其补集, 求得其解,这就是“补集思想” . 例 4.已知全集 S ? {1,3, x ? x ? 2 x} ,A={1, 2 x ? 1 }如果 C S A ? {0} ,则这样的实数
3 2

?

?

x 是否存在?若存在,求出 x ,若不存在,说明理由
解:∵ C S A ? {0} ;
3 2 ∴ 0 ? S且0 ? A ,即 x ? x ? 2 x =0,解得 x1 ? 0, x2 ? ?1, x3 ? 2

当 x ? 0 时, 2x ? 1 ? 1 ,为 A 中元素; 当 x ? ?1 时, 2x ? 1 ? 3 ? S 当 x ? 2 时, 2x ? 1 ? 3? S ∴这样的实数 x 存在,是 x ? ?1 或 x ? 2 。 另法:∵ C S A ? {0} ∴ 0 ? S且0 ? A , 3 ? A
3 2 ∴ x ? x ? 2 x =0 且 2x ? 1 ? 3

∴ x ? ?1 或 x ? 2 。 点评:该题考察了集合间的关系以及集合的性质。分类讨论的过程中“当 x ? 0 时,

不能满足集合中元素的互异性。 此题的关键是理解符号 C S A ? {0} 是两层含义: 2x ? 1 ? 1 ”

0 ? S且0 ? A 。
变式题: 已知集合 A ? {m, m ? d , m ? 2d}, B ? {m, mq, mq } ,其中m ? 0 , 且A ? B ,
2

求 q 的值。 解:由 A ? B 可知, (1) ?

?m ? d ? mq
2 ?m ? 2d ? mq

,或(2) ?

?m ? d ? mq 2 ?m ? 2d ? mq

解(1)得 q ? 1 , 解(2)得 q ? 1, 或q ? ?

1 , 2
2

又因为当 q ? 1 时, m ? mq ? mq 与题意不符, 所以, q ? ?

1 。 2

题型 3:集合的运算 例 5 已知函数 f ( x) ? 定义域集合是 B (1)求集合 A、B (2)若 A ? B=B,求实数 解

x ?1 2 2 的定义域集合是 A,函数 g ( x) ? lg[ x ? (2a ? 1) x ? a ? a] 的 x?2

a 的取值范围.

(1)A= x | x ? ?1或x ? 2

?

?

B= x | x ? a或x ? a ? 1 (2)由 A ? B=B 得 A

?

?
?a ? 1 ? 2

a ? ?1 ? B,因此 ? ?

所以 ?1 ? a ? 1 ,所以实数 a 的取值范围是 ? ?1,1? 例 6.已知集合 A ? 1,3,5,7,9? , B ? ?0,3,6,9,12? ,则 A I CN B ? ( A. 1,5,7? C. 1,3,9? 答案 A 解析 易有 A ? CN B ? 1,5,7? ,选 A

?

)

? ?

B. 3,5,7? D. 1, 2,3?

?

?

?

点评:该题考察了集合的交、补运算。 题型 4:图解法解集合问题 例 7. (2009 年广西北海九中训练)已知集合 M= ? x |

? ?

x2 y2 ? x y ? ? ? ? 1? ,N= ? y | ? ? 1? ,则 9 4 ? 3 2 ? ?
( B. {(3,0), (2,0)} D. ?3,2? )

M ?N ?
A. ? C. ?? 3,3? 答案 C

例 8 . 1. 设全集 ? ? R ,函数 f ( x) ? lg(| x ? 1 | ?a ? 1)(a ? 1) 的定义域为 A ,集合

B ? {x | cos?x ? 1} ,若 (C? A) ? B 恰好有 2 个元素,求 a 的取值集合。
解: | x ? 1 | ?1 ? a ? 0 ?| x ? 1 |? 1 ? a

a ? 1 时, 1 ? a ? 0

∴ x ? ?a或x ? a ? 2

∴ A ? (??, a ? 2) ? (?a,??)

cos?x ? 1, ?x ? 2k? ,∴ x ? 2k (k ? z )
∴ B ? {x | x ? 2k , k ? z} 当 a ? 1 时, C ? A ? [a ? 2,?a] 在此区间上恰有 2 个偶数。

?a ? 1 ? ? ?2 ? a ? 0 ?a ? ? a ? 2 ? ? 4 ? a ? 2 ? ?2 ?

2, ?,k ) ,由 A 中的元素构成两个相 2、 A ? ?a1,a2, ?,ak ? (k ≥ 2) ,其中 ai ? Z(i ? 1,
应的集合:

S ? ?(a,b) a ? A,b ? A,a ? b ? A? , T ? ?(a,b) a ? A,b ? A,a ? b ? A? . 其 中

(a,b) 是有序数对,集合 S 和 T 中的元素个数分别为 m 和 n .若对于任意的 a ? A ,总
有 ? a ? A ,则称集合 A 具有性质 P . (I)对任何具有性质 P 的集合 A ,证明: n ≤

k ( k ? 1) ; 2

(II)判断 m 和 n 的大小关系,并证明你的结论.

2 解: (I)证明:首先,由 A 中元素构成的有序数对 (ai,a j ) 共有 k 个.

因为 0 ? A ,所以 (ai,ai ) ?T (i ? 1 , 2, ?,k ) ; 又 因 为 当 a ? A 时 , ? a ? A 时 , ? a ? A , 所 以 当 (ai,a j ) ?T 时 ,

(a j,ai ) ?T (i,j ? 1 , 2, ?,k ) .
从而,集合 T 中元素的个数最多为 即n≤

1 2 k (k ? 1) (k ? k ) ? , 2 2

(II)解: m ? n ,证明如下: (1)对于 (a,b) ? S ,根据定义, a ? A , b ? A ,且 a ? b ? A ,从而 (a ? b,b) ? T . 如果 (a,b) 与 (c,d ) 是 S 的不同元素,那么

k ( k ? 1) . 2

a ? c 与 b ? d 中至少有一个不成立,从而

a ? b ? c ? d 与 b ? d 中也至少有一个不成立.
故 (a ? b,b) 与 (c ? d,d ) 也是 T 的不同元素. 可见, S 中元素的个数不多于 T 中元素的个数,即 m ≤ n , (2)对于 (a,b) ? T ,根据定义, a ? A , b ? A ,且 a ? b ? A ,从而 (a ? b,b) ? S .如 果 (a,b) 与 (c,d ) 是 T 的不同元素,那么

a ? c 与 b ? d 中至少有一个不成立,从而

a ? b ? c ? d 与 b ? d 中也不至少有一个不成立,
故 (a ? b,b) 与 (c ? d,d ) 也是 S 的不同元素. 可见, T 中元素的个数不多于 S 中元素的个数,即 n ≤ m , 由(1) (2)可知, m ? n . 例 9.向 50 名学生调查对 A、B 两事件的态度,有如下结果 赞成 A 的人数是全体的五 分之三,其余的不赞成,赞成 B 的比赞成 A 的多 3 人,其余的不赞成;另外,对 A、B 都不 赞成的学生数比对 A、B 都赞成的学生数的三分之一多 1 人。问对 A、B 都赞成的学生和都 不赞成的学生各有多少人?
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特级教师 王新敞
wxckt@126.com

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解:赞成 A 的人数为 50×

3 =30,赞成 B 的人数为 5

A
X 30-X

U B 33-X X +1 3

30+3=33,如上图,记 50 名学生组成的集合为 U,赞成 事件 A 的学生全体为集合 A;赞成事件 B 的学生全体为 集合 B。 设对事件 A、B 都赞成的学生人数为 x,则对 A、B 都不赞成的学生人数为

x +1,赞成 A 而不赞成 B 的人数为 30-x, 赞成 B 而不赞成 A 的人数 3

为 33-x。依题意(30-x)+(33-x)+x+(
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x +1)=50,解得 x=21。所以对 A、B 都赞成的同学有 3

21 人,都不赞成的有 8 人 。 点评:在集合问题中,有一些常用的方法如数轴法取交并集,韦恩图法等,需要考生切 实掌握。本题主要强化学生的这种能力。解答本题的闪光点是考生能由题目中的条件,想到 用韦恩图直观地表示出来。本题难点在于所给的数量关系比较错综复杂,一时理不清头绪, 不好找线索。画出韦恩图,形象地表示出各数量关系间的联系。 例 10.求 1 到 200 这 200 个数中既不是 2 的倍数,又不是 3 的倍数,也不是 5 的倍数 的自然数共有多少个? 解:如图先画出 Venn 图,不难看出不符合条件 的数共有(200÷2)+(200÷3)+(200÷5) 5的倍数 -(200÷10)-(200÷6)-(200÷15) 2的倍数 +(200÷30)=146 3的倍数 所以,符合条件的数共有 200-146=54(个) 点评:分析 200 个数分为两类,即满足题设条件的和不满足题设条件的两大类,而不满 足条件的这一类标准明确而简单,可考虑用扣除法。 题型 7:集合综合题
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例 11. (1999 上海,17)设集合 A={x||x-a|<2},B={x|

2x ?1 <1},若 A ? B,求实数 x?2

a 的取值范围。 解:由|x-a|<2,得 a-2<x<a+2,所以 A={x|a-2<x<a+2}。 由

2x ?1 x ?3 <1,得 <0,即-2<x<3,所以 B={x|-2<x<3}。 x?2 x?2
? a ? 2 ? ?2 ,于是 0≤a≤1。 ?a ? 2 ? 3

因为 A ? B,所以 ?

点评: 这是一道研究集合的包含关系与解不等式相结合的综合性题目。 主要考查集合的 概念及运算,解绝对值不等式、分式不等式和不等式组的基本方法。在解题过程中要注意利 用不等式的解集在数轴上的表示方法.体现了数形结合的思想方法。 例 12.已知{an}是等差数列,d 为公差且不为 0,a1 和 d 均为实数,它的前 n 项和记作 Sn,设集合 A={(an,

Sn 1 )|n∈N*},B={(x,y)| x2-y2=1,x,y∈R}。 4 n

试问下列结论是否正确,如果正确,请给予证明;如果不正确,请举例说明: (1)若以集合 A 中的元素作为点的坐标,则这些点都在同一条直线上; (2)A∩B 至多有一个元素; (3)当 a1≠0 时,一定有 A∩B≠ ? 。

n(a1 ? an ) S S 1 ,则 n ? (a1+an),这表明点(an, n ) 2 n 2 n S 1 1 1 的坐标适合方程 y ? (x+a1),于是点(an, n )均在直线 y= x+ a1 上。 2 2 2 n
解: (1)正确;在等差数列{an}中,Sn=

1 1 ? ? y ? 2 x ? 2 a1 ? (2)正确;设(x,y)∈A∩B,则(x,y)中的坐标 x,y 应是方程组 ? 的解,由方程 ?1 x2 ? y2 ? 1 ? ?4 2 * 组消去 y 得:2a1x+a1 =-4( ), 当 a1=0 时,方程(*)无解,此时 A∩B= ? ;
? 4 ? a1 2a1
2

当 a1≠0 时,方程(*)只有一个解 x=

2 ? ? 4 ? a1 y ? ? 2a1 ? ,此时,方程组也只有一解 ? , 2 a ? 4 ?y ? 1 ? 4a1 ?

故上述方程组至多有一解。 ∴A∩B 至多有一个元素。 (3)不正确;取 a1=1,d=1,对一切的 x∈N*,有 an=a1+(n-1)d=n>0,
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Sn >0,这时集 n

合 A 中的元素作为点的坐标,其横、纵坐标均为正,另外,由于 a1=1≠0 如果 A∩B≠ ? ,
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那么据(2)的结论, A∩B 中至多有一个元素(x0,y0),而 x0=

a ? x0 3 ? 4 ? a1 2 ? ? <0,y0= 1 ? < 2a1 5 2 4
2

0,这样的(x0,y0) ?A,产生矛盾,故 a1=1,d=1 时 A∩B= ? ,所以 a1≠0 时,一定有 A∩B≠ ? 是不正确的。 点评:该题融合了集合、数列、直线方程的知识,属于知识交汇题。 变式题:解答下述问题: (Ⅰ)设集合 A ? {x | x ? 2x ? 2m ? 4 ? 0}, B ? {x | x ? 0}, , 若A ? B ? ? ,求实数 m
2

的取值范围. 分析:关键是准确理解 A ? B ? 的具体意义,首先要从数学意义上解释 A ? B ?

的意义,然后才能提出解决问题的具体方法。 解:

命题 ? 方程x 2 ? 2 x ? 2m ? 4 ? 0至少有一个负实数根 , 设M ? {m | 关于x的方程x 2 ? 2 x ? 2m ? 4 ? 0两根均为非负实数 }, ?? ? 4(?2m ? 3) ? 0 ? 3 ? 则? x1 ? x 2 ? 2 ? 0 ? ?2 ? m ? ? , 2 ? ? ? x1 x 2 ? 2m ? 4 ? 0
3 3 ? M ? {m | ?2 ? m ? ? }设全集 U ? {m | ? ? 0} ? {m | m ? ? } 2 2

?m 的取值范围是

UM={m|m<-2}.

(解法二)命题 ? 方程的小根x ? 1 ? ? 2m ? 3 ? 0 ? ? 2m ? 3 ? 1 ? ?2m ? 3 ? 1 ? m ? ?2.

(解法三)设 f ( x) ? x ? 2 x ? 4, 这是开口向上的抛物线,? 其对称轴x ? 1 ? 0 ,则二次
2

函数性质知命题又等价于 f (0) ? 0 ? m ? ?2, 注意,在解法三中,f(x)的对称轴的位置起了关键作用,否则解答没有这么简单。 (Ⅱ)已知两个正整数集合 A={a1,a2,a3,a4},

B ? {a1 , a2 , a3 , a4 }, 其中a1 ? a2 ? a3 ? a4
若A ? B ? {a1 , a4 }, 且a1 ? a4 ? 10, 且A ? B的所有元素之和是 124, 求集合A 、B.
分析: 命题中的集合是列举法给出的, 只需要根据 “交、 并” 的意义及元素的基本性质解决, 注意“正整数”这个条件的运用,

2

2

2

2

?1 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ,? a1 ? a2 ? a3 ? a4 , ? A ? B ? {a1 , a4 },? 只可能有a1 ? a1 ? a1 ? 1,
2 而a1 ? a4 ? 10,? a4 ? 9,? a4 ? a4 , 2 (1)若a2 ? a4 , 则a2 ? 3,? A ? B ? {1,3, a3 ,9, a3 ,81 }, 2 2

2

2

2

2

? a3 ? a3 ? 94 ? 124 ? a3 ? 5; (2)若a3 ? a4 , 则a3 ? 3,同样可得a2 ? 5 ? a3 , 与条件矛盾, 不合; 综上, A ? {1,3,5,9}, B ? {1,9,25,81 }.
(Ⅲ) 设集合A ? {( x, y) | y ? x ? 1 }, B ? {( x, y) | 4x ? 2x ? 2 y ? 5 ? 0},
2 2
2

2

C ? {( x, y) | y ? kx ? b},问是否存在自然数 k , b, 使( A ? B) ? C ? 试证明你的结论 .
分析:正确理解 ( A ? B) ? C ?

,

, 并转化为具体的数学问 题. , 必须A ? C ? 且B ? C ?
,

要使 ( A ? B) ? C ? ( A ? C) ? ( B ? C) ? 由?

?y2 ? x ?1 ? k 2 x 2 ? (2kb ? 1) x ? b 2 ? 1 ? 0, ? y ? kx ? b

2 当 k=0 时,方程有解 x ? b ? 1 ,不合题意;

当 k ? 0时由?1 ? (2kb ? 1) ? 4k (b ? 1) ? 0得b ?
2 2 2

4k 2 ? 1 ① 4k

又由 ?

?4 x 2 ? 2 x ? 2 y ? 5 ? 0 ? 4 x 2 ? 2(1 ? k ) x ? 5 ? 2b ? 0, ? y ? kx ? b
2

由 ? 2 ? 4(1 ? k ) ? 16(5 ? 2b) ? 0得b ?

20 ? (k ? 1) 2 ②, 8

由①、②得 b ? k ?

1 20 ? 1, 而b ? , 4k 8

∵b 为自然数,∴b=2,代入①、②得 k=1 点评:这是一组关于集合的“交、并”的常规问题,解决这些问题的关键是准确理解问 题条件的具体的数学内容,才能由此寻求解决的方法。 题型 6:课标创新题 例 13.七名学生排成一排,甲不站在最左端和最右端的两个位置之一,乙、丙都不能 站在正中间的位置,则有多少不同的排法? 解:设集合 A={甲站在最左端的位置}, B={甲站在最右端的位置}, C={乙站在正中间的位置}, D={丙站在正中间的位置}, 则集合 A、B、C、D 的关系如图所示,
7 6 5 ∴不同的排法有 A7 ? 4 A6 ? 4 A5 ? 2640种.

点评:这是一道排列应用问题,如果直接分类、分步解答需要一定的基本功,容易错, 若考虑运用集合思想解答,则比较容易理解。上面的例子说明了集合思想的一些应用,在今 后的学习中应注意总结集合应用的经验。 例 14 . A 是由定义在 [2,4] 上且满足如下条件的函数 ? ( x) 组成的集合:①对任意

x ? [1,2] ,都有 ? (2 x) ? (1,2) ; ②存在常数 L(0 ? L ? 1) ,使得对任意的 x1 , x2 ? [1,2] ,
都有 | ? (2 x1 ) ? ? (2 x2 ) |? L | x1 ? x2 | (1)设 ? ( x) ? 3 1 ? x , x ? [2,4] ,证明: ? ( x) ? A (2)设 ? ( x) ? A ,如果存在 x0 ? (1,2) ,使得 x0 ? ? (2 x0 ) ,那么这样的 x0 是唯一的; (3)设 ? ( x) ? A ,任取 xl ? (1,2) ,令 xn?1 ? ? (2xn ), n ? 1,2,? ? ?, 证明:给定正整数 k,对任 意的正整数 p,成立不等式 | xk ?l 解: 对任意 x ? [1,2] , ? (2x) ? 3 1 ? 2x , x ?[1,2] , 3 3 ? ? (2 x) ? 3 5 , 1 ? 3 3 ? 3 5 ? 2 , 所 以 ? (2 x) ? (1,2) 对任意的 x1 , x2 ? [1,2] ,

Lk ?1 ? xk |? | x2 ? x1 | H。 1? L

| ? (2 x1 ) ? ? (2 x2 ) |?| x1 ? x2 |

2
3

?1 ? 2 x1 ?

2

?

3

?1 ? 2 x1 ??1 ? x2 ? ? ?1 ? x2 ?
3

2



3?

3

?1 ? 2 x1 ?2
3

? 3 ?1 ? 2 x1 ??1 ? x2 ? ? 3 ?1 ? x2 ? ,

3 ? 所以 0<

2

?1 ? 2 x1 ?2
2

? 3 ?1 ? 2 x1 ??1 ? x2 ? ? 3 ?1 ? x2 ?
2

2

?

2 , 3


3

?1 ? 2 x1 ?2

? 3 ?1 ? 2 x1 ??1 ? x2 ? ? 3 ?1 ? x2 ?

=L,

0 ? L ? 1 , | ? (2 x1 ) ? ? (2 x2 ) |? L | x1 ? x2 |
所以 ? ( x) ? A

? ? (1,2), x0 ? x0 ? 使得 x0 ? ? (2 x0 ) , x0 ? ? ? ( 2 x0 ? )。 反证法:设存在两个 x0 , x0
则由 | ? (2 x0 ) ? ? (2 x0 ) |? L | x0 ? x0 | ,
/ /

得 | x0 ? x0 |? L | x0 ? x0 | ,所以 L ? 1 ,矛盾,故结论成立。

/

/

x3 ? x2 ? ?(2x2 ) ? ?(2x1 ) ? L x2 ? x1 ,
所以 xn?1 ? xn ? L
n?1

x2 ? x1
Lk ?1 | x2 ? x1 | 1? L

| xk ? p ? xk |? ?xk ? p ? xk ? p ?1 ? ? ?xk ? p?1 ? xk ? p?2 ? ? ??xk ?1 ? xk ? ?
? x k ? p ? x k ? p ?1 ? x k ? p ?1 ? x k ? p ? 2 ? ? x k ?1 ? x k

? Lk ? p?2 x2 ? x1 ? Lk ? p?3 x2 ? x1 +? Lk ?1 x2 ? x1
LK ?1 ? x 2 ? x1 。 1? L
点评: 函数的概念是在集合理论上发展起来的, 而此题又将函数的性质融合在集合的关 系当中,题目比较新颖

五. 【思维总结】
集合知识可以使我们更好地理解数学中广泛使用的集合语言, 并用集合语言表达数学问 题,运用集合观点去研究和解决数学问题。 1.学习集合的基础能力是准确描述集合中的元素,熟练运用集合的各种符号,如 ? 、

? 、 ? 、 、=、 C S A、∪,∩等等;
2.强化对集合与集合关系题目的训练,理解集合中代表元素的真正意义,注意利用几 何直观性研究问题,注意运用 Venn 图解题方法的训练,加强两种集合表示方法转换和化简 训练;解决集合有关问题的关键是准确理解集合所描述的具体内容(即读懂问题中的集合) 以及各个集合之间的关系,常常根据“Venn 图”来加深对集合的理解,一个集合能化简(或

求解) ,一般应考虑先化简(或求解) ; 3.确定集合的“包含关系”与求集合的“交、并、补”是学习集合的中心内容,解决 问题时应根据问题所涉及的具体的数学内容来寻求方法。 ① 区别∈与 、 与 ? 、a 与{a}、φ 与{φ }、{(1,2)}与{1,2}; ② A ? B 时,A 有两种情况:A=φ 与 A≠φ ③若集合 A 中有 n (n ? N ) 个元素,则集合 A 的所有不同的子集个数为 2 ,所有真子
n

集的个数是 2 -1, 所有非空真子集的个数是 2 ? 2
n
n

④区分集合中元素的形式: 如 A ? {x | y ? x 2 ? 2x ? 1} ;

B ? { y | y ? x 2 ? 2x ? 1} ;

C ? {( x, y) | y ? x 2 ? 2x ? 1} ;
D ? {x | x ? x 2 ? 2x ? 1} ;

E ? {( x, y) | y ? x 2 ? 2x ? 1, x ? Z , y ? Z} ;

F ? {( x, y' ) | y ? x 2 ? 2x ? 1} ;
y G ? {z | y ? x 2 ? 2 x ? 1, z ? } 。 x
⑤空集是指不含任何元素的集合。 {0} 、 ? 和 {? } 的区别;0 与三者间的关系。空集是 任何集合的子集,是任何非空集合的真子集。条件为 A ? B ,在讨论的时候不要遗忘了

A ? ? 的情况。
⑥符号“ ?, ? ”是表示元素与集合之间关系的,立体几何中的体现点与直线(面)的 关系 ;符号“ ?, ? ”是表示集合与集合之间关系的,立体几何中的体现面与直线(面)的关 系。 逻辑是研究思维形式及其规律的一门学科, 是人们认识和研究问题不可缺少的工具, 是 为了培养学生的推理技能,发展学生的思维能力


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