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【步步高】2017版高考数学(文,江苏专用)大二轮总复习练习:专题四第4讲推理与证明.doc

时间:2017-04-07


第4讲

推理与证明

1.(2016· 山东)观察下列等式:

?sin π?-2+?sin 2π?-2=4×1×2; 3? ? 3? ? 3 ?sin π?-2+?sin 2π?-2+?sin 3π?-2+?sin 4π?-2=4×2×3; 5? 5? 5? ? 5? ? ? ? 3 ?sin π?-2+?sin 2π?-2+?sin 3π?-2+…+?sin 6π?-2=4×3×4; 7? 7? 7? ? 7? ? ? ? 3 ?sin π?-2+?sin 2π?-2+?sin 3π?-2+…+?sin 8π?-2=4×4×5; 9? 9? 9? ? 9? ? ? ? 3


?sin π ?-2+?sin 2π ?-2+?sin 3π ?-2+…+?sin 2nπ ?-2=__________. 照此规律, ? 2n+1? ? 2n+1? ? 2n+1? ? 2n+1?
答案 4 n(n+1) 3

4 解析 观察等式右边的规律:第 1 个数都是 ,第 2 个数对应行数 n,第 3 个数为 n+1. 3 2.(2016· 课标全国甲)有三张卡片,分别写有 1 和 2,1 和 3,2 和 3.甲,乙,丙三人各取走一张 卡片,甲看了乙的卡片后说:“我与乙的卡片上相同的数字不是 2”,乙看了丙的卡片后说: “我与丙的卡片上相同的数字不是 1”,丙说:“我的卡片上的数字之和不是 5”,则甲的卡片 上的数字是________. 答案 1 和 3 解析 由丙说:“我的卡片上的数字之和不是 5”可知,丙为“1 和 2”或“1 和 3”,又乙说“我与 丙的卡片上相同的数字不是 1”, 所以乙只可能为“2 和 3”, 所以由甲说“我与乙的卡片上相同 的数字不是 2”,所以甲只能为“1 和 3”.

1.以数表、数阵、图形为背景与数列、周期性等知识相结合考查归纳推理和类比推理,多以 小题形式出现.2.直接证明和间接证明的考查主要作为证明和推理数学命题的方法,常与函 数、数列及不等式等综合命题.

热点一 归纳推理

1.归纳推理是由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些 特征的推理,或者由个别事实概括出一般结论的推理. 2.归纳推理的思维过程如下: 实验、观察 → 概括、推广 → 猜测一般性结论 例 1 (1)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数,如三角形数 1,3,6,10,…, n(n+1) 1 2 1 第 n 个三角形数为 = n + n,记第 n 个 k 边形数为 N(n,k)(k≥3),以下列出了部分 k 2 2 2 边形数中第 n 个数的表达式: 1 1 三角形数 N(n,3)= n2+ n, 2 2 正方形数 N(n,4)=n2, 3 1 五边形数 N(n,5)= n2- n, 2 2 六边形数 N(n,6)=2n2-n …… 可以推测 N(n,k)的表达式,由此计算 N(8,12)=____________. 1 1 1 5 7 (2)已知 f(n)=1+ + +…+ (n∈N*),经计算得 f(4)>2,f(8)> ,f(16)>3,f(32)> ,则有 2 3 n 2 2 ______________________. n+2 答案 (1)288 (2)f(2n)> (n≥2,n∈N*) 2 3-2 2 4-3 4-2 2 4-4 1 1 解析 (1)原已知式子可化为 N(n,3)= n2+ n= n+ n, N(n,4)=n2= n+ n, 2 2 2 2 2 2 6-2 2 4-6 3 1 5-2 2 4-5 N(n,5)= n2- n= n+ n,N(n,6)=2n2-n= n+ n,由归纳推理可得 N(n, 2 2 2 2 2 2 k-2 2 4-k 12-2 2 4-12 k)= n+ n,故 N(8,12)= × 8+ × 8=288. 2 2 2 2 n+2 4 5 6 7 (2)由题意得 f(22)> ,f(23)> ,f(24)> ,f(25)> ,所以当 n≥2 时,有 f(2n)> . 2 2 2 2 2 n+2 故填 f(2n)> (n≥2,n∈N*). 2 思维升华 归纳递推思想在解决问题时,从特殊情况入手,通过观察、分析、概括,猜想出 一般性结论,然后予以证明,这一数学思想方法在解决探索性问题、存在性问题或与正整数 有关的命题时有着广泛的应用.其思维模式是“观察—归纳—猜想—证明”,解题的关键在于 正确的归纳猜想. 跟踪演练 1 (1)两旅客坐火车外出旅游,希望座位连在一起,且有一个靠窗,已知火车上的

座位的排法如图所示,则下列座位号码符合要求的应当是________.

①48,49;②62,63;③75,76;④84,85. (2)观察下列等式: 1 1+2+3+…+n= n(n+1); 2 1 1 1+3+6+…+ n(n+1)= n(n+1)(n+2); 2 6 1 1 1+4+10+…+ n(n+1)(n+2)= n(n+1)(n+2)(n+3); 6 24 可以推测,1+5+15+…+ 答案 (1)④ (2) 1 n(n+1)(n+2)(n+3)=________. 24

1 n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4) 120

解析 (1)由已知图形中座位的排列顺序可得:被 5 除余 1 的数和能被 5 整除的座位号临窗, 由于两旅客希望座位连在一起, 且有一个靠窗, 分析答案中的 4 组座位号, 只有④符合条件. (2)观察所给等式的左侧和右侧并归纳推理,可以得到答案.

热点二 类比推理 1.类比推理是由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征,推出另一类 对象也具有这些特征的推理. 2.类比推理的思维过程如下: 观察、比较 → 联想、类推 → 猜测新的结论 例2 (1)已知结论: “在正△ ABC 中, 若 D 是边 BC 的中点, G 是△ ABC 的重心, 则 AG =2”. 若 GD

把该结论推广到空间,则有结论:“在棱长都相等的四面体 A—BCD 中,若△ BCD 的中心为 M,四面体内部一点 O 到四面体各面的距离都相等”,则 AO =________. OM

x2 y2 (2)在平面直角坐标系中,△ ABC 的顶点 A,B 分别是离心率为 e 的圆锥曲线 + =1 的焦 m n 点,顶点 C 在该曲线上.一同学已正确地推得:当 m>n>0 时,有 e· (sin A+sin B)=sin C.类 似地,当 m>0,n<0 时,有 e· (________)=sin C. 答案 (1)3 (2)|sin A-sin B|

解析 (1)如图,设正四面体的棱长为 1,则易知其高 AM=

6 ,此时易知点 O 即为正四面 3

1 3 1 3 6 6 体内切球的球心,设其半径为 r,利用等积法有 4× × r= × × ? r= ,故 AO=AM 3 4 3 4 3 12 -MO= 6 6 6 - = , 3 12 4 6 6 ∶ =3∶1. 4 12

故 AO∶OM=

(2)设△ ABC 中角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c. x2 y2 ∵△ABC 的顶点 A,B 分别是离心率为 e 的圆锥曲线 + =1 的焦点,顶点 C 在该曲线上, m n c ∴m>0>n 时,曲线是双曲线,离心率 e= .由双曲线定义得|b-a|=2 m,得 e|b-a|=c. 2 m 由正弦定理,得 e|sin A-sin B|=sin C. 思维升华 类比推理是合情推理中的一类重要推理, 强调的是两类事物之间的相似性, 有共 同要素是产生类比迁移的客观因素, 类比可以由概念性质上的相似性引起, 如等差数列与等 比数列的类比,也可以由解题方法上的类似引起.当然首先是在某些方面有一定的共性,才 能有方法上的类比. Sn 跟踪演练 2 (1)若等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d,前 n 项和为 Sn,则数列{ }为等差 n Sn d 数列, 且通项为 =a1+(n-1)· .类似地, 请完成下列命题: 若各项均为正数的等比数列{bn} n 2 的首项为 b1,公比为 q,前 n 项积为 Tn,则数列________为等比数列,通项为______. x2 y2 (2)若点 P0(x0,y0)在椭圆 2+ 2=1(a>b>0)外,过点 P0 作该椭圆的两条切线,切点分别为 P1, a b x0x y0y x2 y2 P2,则切点弦 P1P2 所在直线的方程为 2 + 2 =1.那么对于双曲线 2- 2=1(a>0,b>0),类 a b a b 似地,可以得到切点弦所在直线的方程为____________________. n 答案 (1){ Tn} x0x y0y (2) 2 - 2 =1 a b Sn d 解析 (1)因为在等差数列{an}中前 n 项和为 Sn,且写成了 =a1+(n-1)· ,所以在等比数 n 2 列{bn}中应研究前 n 项积 Tn 开 n 次方的形式.等差数列中的求和类比等比数列中的乘积, n Tn=b1· ( q)n
-1

n n - 类比可得:数列{ Tn}为等比数列,通项为 Tn=b1· ( q)n 1. x1x y1y x2x (2)设 P1(x1,y1),P2(x2,y2),P0(x0,y0),则过点 P1,P2 的切线的方程分别为 2 - 2 =1, 2 a b a y2y x1x0 y1y0 x2x0 y2y0 - 2 =1.因为 P0(x0,y0)在这两条切线上,所以 2 - 2 =1, 2 - 2 =1,这说明 P1(x1, b a b a b x0x y0y x0x y0y y1),P2(x2,y2)都在直线 2 - 2 =1 上,故切点弦 P1P2 所在直线的方程为 2 - 2 =1. a b a b

热点三 直接证明和间接证明 直接证明的常用方法有综合法和分析法,综合法由因导果,而分析法则是执果索因,反证法 是反设结论导出矛盾的证明方法. 例 3 已知{an}是正数组成的数列,a1=1,且点( an,an+1) (n∈N*)在函数 y=x2+1 的图象 上. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{bn}满足 b1=1,bn+1=bn+ 2 n ,求证:bn· bn+2<b2 n+1. (1)解 由已知得 an+1=an+1, 则 an+1-an=1,又 a1=1, 所以数列{an}是以 1 为首项,1 为公差的等差数列. 故 an=1+(n-1)× 1=n. (2)证明 由(1)知,an=n,从而 bn+1-bn=2n. bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+…+(b2-b1)+b1 =2
n-1
a

+2

n-2

1-2n n +…+2+1= =2 -1. 1-2
+ +

n n 2 因为 bn· bn+2-b2 -1)-(2n 1-1)2 n+1=(2 -1)(2

=(22n 2-2n 2-2n+1)-(22n 2-2· 2n 1+1)
+ + + +

=-2n<0, 所以 bn· bn+2<b2 n+1. 思维升华 (1)有关否定性结论的证明常用反证法或举出一个结论不成立的例子即可. (2)综合法和分析法是直接证明常用的两种方法,我们常用分析法寻找解决问题的突破口, 然后用综合法来写出证明过程,有时候分析法和综合法交替使用. 跟踪演练 3 (1)已知△ ABC 的三个内角 A,B,C 成等差数列,A,B,C 的对边分别为 a,b, c. 1 1 3 求证: + = . a+b b+c a+b+c 1 1 3 证明 (1)要证 + = , a+b b+c a+b+c

a+b+c a+b+c 即证 + =3, a+b b+c c a 也就是 + =1, a+b b+c 只需证 c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c), 需证 c2+a2=ac+b2, 又△ ABC 三内角 A,B,C 成等差数列, 故 B=60° , 由余弦定理,得 b2=c2+a2-2accos 60° , 即 b2=c2+a2-ac, 故 c2+a2=ac+b2 成立. 于是原等式成立. (2)已知等差数列{an}中,首项 a1>0,公差 d>0. 1 1 1 ①若 a1=1,d=2,且 2, 2, 2 成等比数列,求整数 m 的值; a1 a4 am 1 1 1 ②求证:对任意正整数 n, 2, 2 , 2 都不成等差数列. an an+1 an+2 ①解 ∵a1=1,d=2,∴a4=7,am=2m-1. 1 1 1 ∵ 2, 2, 2 成等比数列, a1 a4 am 1 1 ∴( 2)2= ,∴(2m-1)2=492. 7 (2m-1)2 ∵a1>0,d>0,∴m=25. 1 1 1 2 1 1 ②证明 假设存在 m∈N*,使 2 , 2 , 2 成等差数列,即 2 = 2 + 2 , am am+1 am+2 am+1 am am+2 ∴ = 2+ a2 (am+1+d)2 m+1 (am+1-d) 2 1 1

2 2a2 m+1+2d = 2 2 2, (am+1-d )

化简,得 d2=3a2 m+1. 又 a1>0,d>0,∴am+1=a1+md>d,
2 2 2 2 ∴3a2 m+1>3d >d ,与 d =3am+1矛盾,因此假设不成立,故原命题得证.

1 4 27 1. 已知下列不等式: x+ ≥2, x+ 2≥3, x+ 3 ≥4, …, 则第 n 个不等式为________________. x x x 押题依据 根据 n 个等式或不等式归纳猜想一般规律的式子是近几年高考热点,相对而言, 归纳推理在高考中出现的机率较大. nn 答案 x+ n ≥n+1 x 解析 已知所给不等式的左边第一个式子都是 x,不同之处在于第二个式子,当 n=1 时, 1 4 27 为 ;当 n=2 时,为 2;当 n=3 时,为 3 ;…… x x x 显然式子中的分子与分母是对应的,分母为 xn,分子是 nn, nn 所以不等式左边的式子为 x+ n , x 显然不等式右边的式子为 n+1, nn 所以第 n 个不等式为 x+ n ≥n+1. x 2.设数列{an}是公比为 q 的等比数列,Sn 是它的前 n 项和,证明:数列{Sn}不是等比数列. 押题依据 反证法是一种重要的证明方法, 对含“至多”“至少”等词语的命题用反证法十分有 效,近几年高考时有涉及. 证明 假设{Sn}是等比数列,则 S2 2=S1S3,
2 即 a2 a1(1+q+q2). 1(1+q) =a1·

因为 a1≠0,所以(1+q)2=1+q+q2,即 q=0,这与 q≠0 矛盾,故{Sn}不是等比数列.

A 组 专题通关 1.观察下列各式:a+b=1,a +b =3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5+b5=11,…,则 a10+ b10=________. 答案 123 解析 观察可得各式的值构成数列 1,3,4,7,11,…,其规律为从第三项起,每项等于其前相 邻两项的和,所求值为数列中的第 10 项. 继续写出此数列为 1,3,4,7,11,18,29,47,76,123,…, 第 10 项为 123,即 a10+b10=123. 2.下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是________. ①y=cos x(x∈R)是三角函数;②三角函数是周期函数;③y=cos x(x∈R)是周期函数. 答案 ②①③ 解析 根据“三段论”: “大前提”? “小前提”? “结论”可知: ①y=cos x(x∈R)是三角函数是“小 前提”; ②三角函数是周期函数是“大前提”; ③y=cos x(x∈R)是周期函数“结论”. 故“三段论”
2 2

模式排列顺序为②①③. 3.把正整数按一定的规则排成了如图所示的三角形数表,设 aij(i,j∈N*)是位于这个三角形 数表中从上往下数第 i 行, 从左往右数第 j 个数, 如 a42=8, 若 aij=2 015, 则 i+j=________. 1 2,4 3,5,7 6,8,10,12 9,11,13,15,17 14,16,18,20,22,24 ………………………… 答案 110 解析 由题设可知 i 是奇数, 由于 2 015=2× 1 008-1, 故 2 015 位于奇数行中的第 1 008 个, 而 322=1 024,故 i=32× 2+1=65,1 024-1 008=16,因这一行有 63 个数,故 63-16-1 =46,即 j=46,所以 i+j=110. 4.某珠宝店丢了一件珍贵珠宝,以下四人中只有一个人说了真话,只有一人偷了珠宝.甲: 我没有偷;乙:丙是小偷;丙:丁是小偷;丁:我没有偷.根据以上条件,可以判断偷珠宝 的人是________. 答案 甲 解析 假如甲说了真话,则乙、丙、丁都说了假话,那么丙不是小偷,丁不是小偷,丁偷了 珠宝,显然矛盾,故甲说了假话,即甲是小偷. 5.设 a,b∈R,定义:M(a,b)= 法,其中错误的是______. ①M(a,b)+m(a,b)=a+b; ②m(|a+b|,|a-b|)=|a|-|b|; ③M(|a+b|,|a-b|)=|a|+|b|; ④m(M(a,b),m(a,b))=m(a,b). 答案 ②
? ? ?a,a≥b, ?b,a≥b, 解析 ∵M(a,b)=? m(a,b)=? ?b,a<b, ?a,a<b, ? ?

a+b+|a-b| a+b-|a-b| ,m(a,b)= ,给出以下四种说 2 2

∴m(M(a,b),m(a,b))=m(a,b),④正确; M(a,b)+m(a,b)=a+b,①正确; m(|a+b|,|a-b|)= min{|a+b|2,|a-b|2}
?|a+b|, ? =? ?|a-b|, ?

ab<0, ab≥0,

②错误;

M(|a+b|,|a-b|)= max{|a+b|2,|a-b|2}
?|a+b|=|a|+|b|,ab≥0, ? =? ③正确. ? ?|a-b|=|a|+|b|,ab<0,

x1+x2+x3 y1+y2+y3 6.如图,在单位圆中,用三角形的重心公式 G( , )研 3 3 究内接正三角形 ABC(点 A 在 x 轴上),有结论:cos 0+cos 2π 4π +cos = 3 3

0.有位同学,把正三角形 ABC 按逆时针方向旋转 α 角,这时,可以得到 的一个结论是______________________. 2π 4π 答案 cos α+cos( +α)+cos( +α)=0 3 3 2π 解析 在把正三角形 ABC 按逆时针方向旋转 α 角的过程中,三个角始终相差 ,所以得到 3 2π 4π cos α+cos( +α)+cos( +α)=0. 3 3 7.宋元时期杰出的数学家朱世杰在其数学巨著《四元玉鉴》卷中“茭草形段”第一个问题“今 有茭草六百八十束,欲令?落一形?埵(同垛)之.问底子(每层三角形边茭草束数,等价于层数) 几何?”中探讨了“垛枳术”中的落一形垛(“落一形”即是指顶上 1 束,下一层 3 束,再下一层 6 束,……,成三角锥的堆垛,故也称三角垛,如图,表示第二层开始的每层茭草束数), 则本问题中三角垛底层茭草总束数为________.

答案 120 解析 由题意,第 n 层茭草束数为 n(n+1) 1+2+…+n= , 2 n(n+1) ∴1+3+6+…+ =680, 2 11 1 即为 [ n(n+1)(2n+1)+ n(n+1)] 26 2 1 = n(n+1)(n+2)=680, 6 即有 n(n+1)(n+2)=15× 16× 17, n(n+1) ∴n=15,∴ =120. 2 8.如果函数 f(x)在区间 D 上是凸函数,那么对于区间 D 内的任意 x1,x2,…,xn,都有

f(x1)+f(x2)+…+f(xn) x1+x2+…+xn ≤f( ). 若 y=sin x 在区间(0, π)上是凸函数, 那么在△ ABC n n 中,sin A+sin B+sin C 的最大值是________. 答案 3 3 2

解析 由题意知,凸函数满足 f(x1)+f(x2)+…+f(xn) x1+x2+…+xn ≤f( ), n n 又 y=sin x 在区间(0,π)上是凸函数, 则 sin A+sin B+sin C≤3sin A+B+C π 3 3 =3sin = . 3 3 2

9.某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数: ①sin213° +cos217° -sin 13° cos 17° ; ②sin215° +cos215° -sin 15° cos 15° ; ③sin218° +cos212° -sin 18° cos 12° ; ④sin2(-18° )+cos248° -sin(-18° )cos 48° ; ⑤sin2(-25° )+cos255° -sin(-25° )cos 55° . (1)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数; (2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论. 解 方法一 (1)选择②式,计算如下: sin215° +cos215° -sin 15° cos 15° 1 1 3 =1- sin 30° =1- = . 2 4 4 (2)三角恒等式为 3 sin2α+cos2(30° -α)-sin αcos(30° -α)= . 4 证明如下: sin2α+cos2(30° -α)-sin αcos(30° -α) =sin2α+(cos 30° cos α+sin 30° sin α)2 -sin α(cos 30° cos α+sin 30° sin α) 3 3 1 3 1 3 3 3 =sin2α+ cos2α+ sin αcos α+ sin2α- sin αcos α- sin2α= sin2α+ cos2α= . 4 2 4 2 2 4 4 4 方法二 (1)同方法一. 3 (2)三角恒等式为 sin2α+cos2(30° -α)-sin αcos(30° -α)= . 4 证明如下: sin2α+cos2(30° -α)-sin αcos(30° -α)

1-cos 2α 1+cos(60° -2α) = + -sin α(cos 30° cos α+sin 30° sin α) 2 2 1 1 1 1 3 1 = - cos 2α+ + (cos 60° cos 2α+sin 60° sin 2α)- sin αcos α- sin2α 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 3 3 1 = - cos 2α+ + cos 2α+ sin 2α- sin 2α- (1-cos 2α) 2 2 2 4 4 4 4 1 1 1 3 =1- cos 2α- + cos 2α= . 4 4 4 4 1 4 10.已知 a,b,m 为非零实数,且 a2+b2+2-m=0, 2+ 2+1-2m=0. a b 1 4 9 (1)求证: 2+ 2≥ 2 ; a b a +b2 7 (2)求证:m≥ . 2 1 4 9 证明 (1)(分析法)要证 2+ 2≥ 2 成立, a b a +b2 1 4 只需证( 2+ 2)(a2+b2)≥9, a b b2 4a2 即证 1+4+ 2+ 2 ≥9, a b b2 4a2 即证 2+ 2 ≥4. a b b2 4a2 根据基本不等式,有 2+ 2 ≥2 a b 所以原不等式成立. 1 4 (2)(综合法)因为 a2+b2=m-2, 2+ 2=2m-1, a b 由(1),知(m-2)(2m-1)≥9, 即 2m2-5m-7≥0, 7 解得 m≤-1 或 m≥ . 2 又因为 a2+b2=m-2>0. 7 所以 m>2,故 m≤-1 舍去,所以 m≥ . 2 b2 4a2 · =4 成立, a2 b2

B 组 能力提高 11.已知正方形 ABCD 的边长是 a,依次连结正方形 ABCD 各边中点得到一个新的正方形, 再依次连结新正方形各边中点又得到一个新的正方形, 由此规律, 依次得到一系列的正方形, 如图所示.现有一只小虫从 A 点出发,沿正方形的边逆时针方向爬行,每遇到新正方形的 顶点时,沿这个正方形的边逆时针方向爬行,如此下去,爬行了 10 条线段.则这 10 条线段

长度的平方和是________.

答案

1 023 2 a 2 048

1 2 1 2 解析 由题意可知,这只小虫爬行的第一条线段长度的平方为 a2 1=( a) = a ,第二条线段 2 4 长度的平方为 a2 2=( 2 2 1 2 1 2 1 2 a) = a ,第三条线段长度的平方为 a2 3=( a) = a ,…,从而可知, 4 8 4 16

1 2 1 小虫爬行的线段长度的平方可以构成以 a2 1= a 为首项, 为公比的等比数列,所以该数列 4 2 1 2 1 a [1-( )10] 4 2 1 023a2 的前 10 项和为 S10= = . 1 2 048 1- 2

? ?3 12.对大于 1 的自然数 m 的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”:2 ? ,33?9 ?5 ?
3

?7


?11

? ?15 4? 17 ? ?19
3

13

,….仿此,若 m3 的“分裂数”中有一个是 59,则 m 的值为______.

答案 8 解析 由已知可观察出 m3 可分裂为 m 个连续奇数,最小的一个为(m-1)m+1.当 m=8 时, 最小的数为 57,第二个便是 59.∴m=8. 13.如图(1),已知 O 是△ ABC 内任意一点,连结 AO,BO,CO 并延长交对边分别于点 A′, OA′ OB′ OC′ OA′ OB′ B′,C′,则 + + =1.这是平面几何中的一道题,其证明常采用“面积法”: + AA′ BB′ CC′ AA′ BB′ + OC′ S△ OBC S△ OCA S△ OAB S△ ABC = + + = = 1. 请运用类比思想,如图 (2) 所示,在空间四面体 CC′ S△ ABC S△ ABC S△ ABC S△ ABC

V—BCD 中,任取一点 O,连结 VO,DO,BO,CO 并延长分别交四个面于点 E,F,G,H, 用“体积法”可得的类似结论为________________.

答案

OE OF OG OH + + + =1 VE DF BG CH

解析 利用类比推理,面积类比体积. 14.等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1+ 2,S3=9+3 2. (1)求数列{an}的通项 an 与前 n 项和 Sn; Sn (2)设 bn= (n∈N*),求证:数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列. n

?a1= 2+1, (1)解 由已知得? ?3a1+3d=9+3 2,
∴d=2, 故 an=2n-1+ 2,Sn=n(n+ 2). Sn (2)证明 由(1)得 bn= =n+ 2. n
2 假设数列{bn}中存在三项 bp,bq,br(p,q,r 互不相等)成等比数列,则 bq =bpbr.

即(q+ 2)2=(p+ 2)(r+ 2). ∴(q2-pr)+(2q-p-r) 2=0. ∵p,q,r∈N*,
2 ? ?q -pr=0, ? ∴ ?2q-p-r=0, ?

p+r 2 ∵( ) =pr,(p-r)2=0, 2 ∴p=r.与 p≠r 矛盾. ∴数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列.


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