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江苏省泰州中学高三数学培优作业(五)

时间:2012-12-11


江苏省泰州中学高三培优作业(五)
班级 1.数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 2. 数列 ?an ? 中,a0 ? 0 ,a1 ? ? 姓名 学号

2012 年 11 月 10 日 命题人:章夕栋

成绩____________

1 ,则这个数列的前 99 项之和 S99 ? _______ . n n ? 1 ? (n ? 1) n

1 3 5 7 ,a2 ? 6 ,a3 ? ? ,a4 ? 20 ,a5 ? ? ,a6 ? 42 ,a7 ? ? ,a8 ? 72 , 2 4 6 8

此数列的通项公式为 an ? _______ . 3 . 设 a ? ? a1 , a2 ? , b ? ? b1 , b2 ? , 定 义 一 种 向 量 积 a ? b ? ? a1 , a2 ? ? ? b1 , b2 ? ? ? a1b1 , a2b2 ? 。 已 知

?

?

?

?

?? ? 1 ? ? ? ? ? ,点 P(x,y)在 y=sinx 的图象上运动,点 Q 在 y=f(x)的图象上运动,且满足 m ? ?2 , ? n ? ? , ,? 0 ? 2? ?3 ?

???? ?? ??? ? ? ,则 y=f(x)的最大值为 OQ ? m ? OP ? n (其中 O 为坐标原点)



4.对于集合 N={1, 2, 3,…, n}及其它的每一个非空子集,定义一个“交替和”如下:按照递减的次序重新排列 该子集,然后从最大数开始交替地减、加后继的数。例如集合{1, 2, 4, 6, 9}的交替和是 9–6+4–2+1=6,集 合{5}的交替和为 5。当集合 N 中的 n=2 时,集合 N={1, 2}的所有非空子集为{1},{2},{1, 2},则它的“交替和” 的总和 S2=1+2+(2–1)=4,请你尝试对 n=3、n=4 的情况,计算它的“交替和”的总和 S3、S4,并根据其结果猜 测集合 N={1, 2, 3,…, n}的每一个非空子集的“交替和”的总和 Sn=__________. 5.已知函数 f(x)=2+

1 1 ? 2 ,实数 a ? R 且 a ? 0 . a a x

(1)设 mn ? 0 ,判断函数 f (x) 在 [m, n] 上的单调性,并说明理由; (2)设 0 ? m ? n 且 a ? 0时, f(x)的定义域和值域都是 [m, n] ,求 n ? m 的最大值; (3) 若不等式 | a2 f ( x) |? 2 x 对 x ? 1 恒成立,求 a 的范围.

1

6.已知函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c (a ? 0) ,且 f ( x) ? x 没有实数根.那么 f ( f ( x)) ? x 是否有实数根?并 证明你的结论.

7.已知数列 a , b, c 是各项均为正数的等差数列,公差为 d(d ? 0) .在 a, b 之间和 b,c 之间共插入 n 个

实数,使得这 n ? 3 个数构成等比数列,其公比为 q. (1)求证: | q |? 1 ; (2)若 a ? 1, n ? 1 ,求 d 的值; (3)若插入的 n 个数中,有 s 个位于 a,b 之间,t 个位于 b,c 之间,且 s , t 都为奇数,试比较 s 与 t 的 大小,并求插入的 n 个数的乘积(用 a, c, n 表示).

2

江苏省泰州中学高三培优作业(五)答案
2012 年 11 月 10 日 命题人:章夕栋 班级 1.数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 2. 数列 ?an ? 中,a0 ? 0 ,a1 ? ? 姓名 学号 成绩

9 1 ,则这个数列的前 99 项之和 S99 ? _______ . 10 n n ? 1 ? (n ? 1) n

1 3 5 7 ,a2 ? 6 ,a3 ? ? ,a4 ? 20 ,a5 ? ? ,a6 ? 42 ,a7 ? ? ,a8 ? 72 , 2 4 6 8
n ( ?1)
n

此数列的通项公式为 an ? _______ . ( ?1) n( n ? 1)

3 . 设 a ? ? a1 , a2 ? , b ? ? b1 , b2 ? , 定 义 一 种 向 量 积 a ? b ? ? a1 , a2 ? ? ? b1 , b2 ? ? ? a1b1 , a2b2 ? 。 已 知

?

?

?

?

?? ? 1 ? ? ? ? ? ,点 P(x,y)在 y=sinx 的图象上运动,点 Q 在 y=f(x)的图象上运动,且满足 m ? ?2 , ? n ? ? , ,? 0 ? 2? ?3 ?

???? ?? ??? ? ? ,则 y=f(x)的最大值为 OQ ? m ? OP ? n (其中 O 为坐标原点)



1 2

4.对于集合 N={1, 2, 3,…, n}及其它的每一个非空子集,定义一个“交替和”如下:按照递减的次序重新排列 该子集,然后从最大数开始交替地减、加后继的数。例如集合{1, 2, 4, 6, 9}的交替和是 9–6+4–2+1=6,集 合{5}的交替和为 5。当集合 N 中的 n=2 时,集合 N={1, 2}的所有非空子集为{1},{2},{1, 2},则它的“交替和” 的总和 S2=1+2+(2–1)=4,请你尝试对 n=3、n=4 的情况,计算它的“交替和”的总和 S3、S4,并根据其结果猜 测集合 N={1, 2, 3,…, n}的每一个非空子集的“交替和”的总和 Sn=__________.n .2n–1 5.已知函数 f(x)=2+

1 1 ? 2 ,实数 a ? R 且 a ? 0 . a a x

(1)设 mn ? 0 ,判断函数 f (x) 在 [m, n] 上的单调性,并说明理由; (2)设 0 ? m ? n 且 a ? 0时, f(x)的定义域和值域都是 [m, n] ,求 n ? m 的最大值; (3) 若不等式 | a f ( x) |? 2 x 对 x ? 1 恒成立,求 a 的范围.
2

解: (1)设 m ? x1 ? x2 ? n ,则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ?

x ?x 1 1 ? 2 ? 12 2 , a x1 a x2 a x1 x2
2

? m n ? 0, m ? x1 ? x2 ? n ,? x1 x2 ? 0, x1 ? x2 ? 0 ,? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,
即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,因此函数 f (x) 在 [m, n] 上的单调递增.
3

(2)由(1)及 f (x) 的定义域和值域都是 [m, n] 得 f (m) ? m, f (n) ? n , 因此 m, n 是方程 2 ?

1 1 ? 2 ? x 的两个不相等的正数根, a a x

等价于方程 a 2 x 2 ? (2a 2 ? a) x ? 1 ? 0 有两个不等的正数根, 即 ? ? (2a ? a) ? 4a ? 0且x1 ? x 2 ?
2 2 2

1 2a 2 ? a 1 ? 0且x1 x2 ? 2 ? 0 ,解得 a ? , 2 2 a a

?n ? m ?

1 3 1 1 2 16 4 3 ? ? , a ? ( ,?? ) , a ? 时,n ? m 最大值为 . 4a 2 ? 4a ? 3 ? ? 3( ? ) 2 ? 2 2 3 a a 3 3
1 1 2 ,则不等式 | a2 f ( x) |? 2 x 对 x ? 1 恒成立,即 ?2 x ? 2a ? a ? ? 2 x 即不等式 x x

2 2 (3) a f ( x) ? 2a ? a ?

? 2 a2 ? a?2 x ? 1 ? ? 2 a 2 ? a ? 1 ? 2 x ,对 x ? 1 恒成立, x ? x ?
令 h(x)= 2x ? x ,易证 h(x)在 [1, ??) 递增,同理 g ( x ) ?

1

1 ? 2 x [1, ??) 递减. x

?h( x)min ? h(1) ? 3, g ( x)max ? g (1) ? ?1 .
6.已知函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c (a ? 0) ,且 f ( x) ? x 没有实数根.那么 f ( f ( x)) ? x 是否有实数根?并 证明你的结论. 解:没有.

f ( x) ? x ? ax2 ? (b ?1) x ? c ? 0 无实数根, ? ? (b ?1)2 ? 4ac ? 0 ;
f ( f ( x)) ? x ? 0 ?

a(ax2 ? bx ? c)2 ? b(ax2 ? bx ? c) ? c ? x ? 0 a(ax2 ? bx ? c)2 ? ax2 ? ax2 ? b(ax2 ? bx ? c) ? c ? x ? 0 . a(ax2 ? bx ? c ? x)(ax2 ? bx ? c ? x) ? (b ? 1)ax2 ? (b2 ?1) x ? c(b ? 1) ? 0 .
a ? ax 2 ? (b ? 1) x ? c ? ? ax 2 ? (b ? 1) x ? c ? ? (b ? 1) ? ax 2 ? (b ? 1) x ? c ? ? 0 . ? ?? ? ? ? ? ax 2 ? (b ? 1) x ? c ? ? a 2 x 2 ? a (b ? 1) x ? b ? c ? 1? ? 0 . ? ?? ?
于是有 ax ? (b ?1) x ? c ? 0 或 a x ? a(b ? 1) x ? ac ? b ? 1 ? 0 .
2 2 2

?1 ? (b ?1)2 ? 4ac ? 0 ;
?2 ? a2 (b ? 1)2 ? 4a2 (ac ? b ? 1) ? a 2 ?(b ? 1) 2 ? 4ac ? 4 ? ? 4a 2 ? 0 。 ? ?
4

故均不存在实数根. 7.已知数列 a , b, c 是各项均为正数的等差数列,公差为 d(d ? 0) .在 a, b 之间和 b,c 之间共插入 n 个

实数,使得这 n ? 3 个数构成等比数列,其公比为 q. (1)求证: | q |? 1 ; (2)若 a ? 1, n ? 1 ,求 d 的值; (3)若插入的 n 个数中,有 s 个位于 a,b 之间,t 个位于 b,c 之间,且 s , t 都为奇数,试比较 s 与 t 的 大小,并求插入的 n 个数的乘积(用 a, c, n 表示).
解: (1)由题意知 qn? 2 ?

c c 2d , c ? a ? 2d , 又 a ? 0, d ? 0 ,可得 qn?2 ? ? 1 ? ? 1, a a a

即 | q n? 2 |? 1 ,故 | q |n? 2 ? 1 ,又 n ? 2 是正数,故 | q |? 1 . (2)由 a , b, c 是首项为 1、公差为 d 的等差数列,故 b ? 1 ? d , c ? 1 ? 2d , 若插入的这一个数位于 a , b 之间,则 1 ? d ? q 2 , 1 ? 2d ? q 3 , 消去 q 可得 (1 ? 2d ) 2 ? (1 ? d ) 3 ,即 d 3 ? d 2 ? d ? 0 ,其正根为 d ? 若插入的这一个数位于 b, c 之间,则 1 ? d ? q , 1 ? 2d ? q 3 , 消去 q 可得 1 ? 2d ? (1 ? d ) 3 ,即 d 3 ? 3d 2 ? d ? 0 ,此方程无正根.故所求公差 d ? (3)由题意得 q s ?1 ? 故

1? 5 . 2

1? 5 . 2

b a?d c a ? 2d , qt ?1 ? ? ,又 a ? 0, d ? 0 , ? a a b a?d

a ? d a ? 2d d2 a ? d a ? 2d a ? 2d ? ? ? 0 ,可得 ,又 ? ? 0 ,故 q s ?1 ? qt ?1 ? 0 ,即 | q |s ?1 ?| q |t ?1 . a a?d a (a ? d ) a a?d a?d

又 | q |? 1 ,故有 s ? 1 ? t ? 1 ,即 s ? t . 设 n ? 3 个数所构成的等比数列为 {a n } ,则 a1 ? a, as ? 2 ? b ? 由 ak an? 4?k ? a1an?3 ? ac(k ? 2,3,4, …, n ? 2) ,可得

a?c , an?3 ? c , 2

( a 2 a 3 … an?2 )2 ? (a2 an?2 )(a3an?1 ) … (an?1a3 )(an?2 a2 ) ? (ac)n?1 ,
又 q s ?1 ?

b c ? 0 , q t ?1 ? ? 0 ,由 s , t 都为奇数,则 q 既可为正数,也可为负数, a b
n ?1 2
n ?1 2 (ac) 2 ; ,插入 n 个数的乘积为 a?c

①若 q 为正数,则 a2 a 3 … an ? 2 ? (ac)

②若 q 为负数, a 2 ,a 3 , … , an ? 2 中共有

n ? 1 个负数, 2
5

故 a 2 a 3 … an ? 2 ? (?1)

n ( ?1) 2

(ac)

n ?1 2

,所插入的数的乘积为

n n ?1 ( ?1) 2 (?1) 2 (ac) 2 . a?c

所以当 n ? 4k ? 2(k ? N*)时,所插入 n 个数的积为 当 n ? 4k (k ? N*)时,所插入 n 个数的积为 ?

n ?1 2 (ac) 2 ; a?c

n ?1 2 (ac) 2 . a?c

对于集合 N={1,2,3,…,n}的每一个非空子集,定义一个“交替和”如下:按照递减的次序重新排列该子 集,然后从最大数开始交替地减、加后继的数.例如集合{1,2,4,6,9}的交替和是 9﹣6+4﹣2+1=6, 集合{5}的交替和为 5.当集合 N 中的 n=2 时,集合 N={1,2}的所有非空子集为{1},{2},{1,2},则它 的“交替和”的总和 S2=1+2+(2﹣1)=4,请你尝试对 n=3、n=4 的情况,计算它的“交替和”的总和 S3、S4, n﹣1 并根据其结果猜测集合 N={1,2,3,…,n}的每一个非空子集的“交替和”的总和 Sn= n?2 . 考点: 数列的应用。 专题: 计算题。 分析: 根据“交替和”的定义:按照递减的次序重新排列该子集,然后从最大数开始交替地减、加后继的数 可求出“交替和”的总和 S3、S4,并根据其结果猜测集合 N={1,2,3,…,n}的每一个非空子集的“交 替和”的总和 Sn 即可. 解答: 解:S1=1 S2=4 当 n=3 时 S3=1+2+3+(2﹣1)+(3﹣1)+(3﹣2)+(3﹣2+1)=12 S4=1+2+3+4+(2﹣1)+(3﹣1)+(4﹣1)+(3﹣2)+(4﹣2)+(4﹣3)+(3﹣2+1)+(4﹣2+1) +(4﹣3+1)+(4﹣3+2)+(4﹣3+2﹣1)=32
1127322

∴ 根据前 4 项猜测集合 N={1,2,3,…,n}的每一个非空子集的“交替和”的总和 Sn=n?2 n﹣1 故答案为:n?2 点评: 本题主要考查了数列的应用,同时考查了归纳推理的能力,属于中档题.

n﹣1

6


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