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双曲线的定义及其标准方程

时间:2018-06-26


双曲线及其标准方程

复习
1. 椭圆的定义 平面内与两定点F 平面内与两定点 1、F2的距离的 和 等于常数 2a ( 2a>|F1F2|>0) 的点的轨迹 的点的轨迹.
Y

|MF1|+|MF2|=2a( 2a>|F1F2|>0)
2. 引入问题: 引入问题:
F1 (? c , 0 )
O

M (x, y)

F2( c , 0 ) X

平面内与两定点F 平面内与两定点 1、F2的距离的 差 等于常数 的点的轨迹是什么呢? 的点的轨迹是什么呢?

①如图(A), 如图(A), |MF1|-|MF2|=常数 |=常数 ②如图(B), 如图(B), |MF2|-|MF1|=常数 |=常数 由①②可得: ①②可得: 可得 | |MF1|-|MF2| | = 常数 差的绝对值) (差的绝对值) 上面 两条合起来叫做双曲线

双曲线在生活中

☆.☆ ☆

双曲线定义
平面内与两个定点 的距离的差的绝对值 平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值 与两个定点 的点的轨迹叫做双曲线. 等于常数(小于︱ 的点的轨迹叫做双曲线 等于常数(小于︱F1F2︱)的点的轨迹叫做双曲线

| |MF1| - |MF2| | = 2a
两个定点F ① 两个定点 1、F2——双曲线的焦点 双曲线的焦点; 焦距. ② |F1F2|=2c ——焦距 说明 (1)2a< |F1F2| ; ) (2)2a >0 ; )
F1 o F2 M

思考: 思考: 则轨迹是? ) (1)若2a= |F1F2|,则轨迹是? (1)两条射线 ) 则轨迹是 则轨迹是? (2)若2a> |F1F2|,则轨迹是? (2)不表示任何轨迹 ) 则轨迹是 ) 则轨迹是? (3)若2a=0,则轨迹是? ) 则轨迹是 (3)线段 线段F (3)线段F1F2的垂直平分线

双曲线的标准方程
求曲线方程的步骤: 求曲线方程的步骤: 建系. 1. 建系. 所在的直线为x轴 以F1,F2所在的直线为 轴,线段 F1F2的中点为原点建立直角坐标系 2.设点. 2.设点. 设点 设M(x , y),则F1(-c,0),F2(c,0) ( )则 3.列式 3.列式
F1

y
M

O

F2

x

|MF1| - |MF2|=±2a ±
2 2 2 2

即 (x +c) + y ? (x ?c) + y = ±2a
4.化简 4.化简

(x +c)2 + y2 ? (x ?c)2 + y2 = ±2a

( (x +c) + y ) = (±2a+
2 2 2

(x ?c) + y
2

2

)

2

cx ?a = ±a (x ?c) + y
2 2

2

(c ?a )x ?a y = a (c ?a )
2 2 2 2 2 2 2 2

c2 ?a2 = b2
x a2
2

? b2 =1 a > 0 b > 0) ( ,

y2

此即为 焦点在x 焦点在 轴上的 双曲线 的标准 方程

若建系时,焦点在 轴上呢 若建系时 焦点在y轴上呢 焦点在 轴上呢?
y
M

y M F2 x

F1

O

F2

x

O

F1

x y ? 2 =1 2 a b

2

2

y x ? 2 =1 2 a b

2

2

(a > 0,b > 0)

问题
1、如何判断双曲线的焦点在哪个轴上? 如何判断双曲线的焦点在哪个轴上?

前的系数,哪一个为正, 看 x , y 前的系数,哪一个为正, 则在哪一个轴上

2

2

2、双曲线的标准方程与椭圆的标准方程有何区 别与联系? 别与联系?

双曲线与椭圆之间的区别与联系 椭 圆
定义

双曲线
||MF1|-|MF2||=2a -

|MF1|+|MF2|=2a

方程

x2 y 2 x2 y 2 + 2 = 1(a > b > 0) ? 2 = 1(a > 0, b > 0) 2 2 a b a b y 2 x2 y 2 x2 + 2 = 1(a > b > 0) ? 2 = 1(a > 0, b > 0) 2 2 a b a b

焦点

F(±c,0) ( , ) F(0,±c) ( , )

F(±c,0) ( , ) F(0,±c) ( , ) a>0,b>0,但a不一 , , 不一 定大于b, 定大于 ,c2=a2+b2

a.b.c的关 的关 系

a>b>0,a2=b2+c2 ,

例 1 已 知 两 定 点 F1 ( ?5, 0) , F2 (5, 0) , 动 点 P 满 足

PF1 ? PF2 = 6 , 求动点 P 的轨迹方程. 的轨迹方程.
解: ∵ F1 F2 = 10 >6,

PF1 ? PF2 = 6

由双曲线的定义可知, 的轨迹是一条双曲线, ∴ 由双曲线的定义可知,点 P 的轨迹是一条双曲线, ∵焦点为 F1 (?5,0), F2 (5,0)
x2 y2 设所求方程为: (a>0, 0,b>0). ∴可设所求方程为: 2 ? 2 = 1 ( 0, 0). a b =6,2c=10, =3,c=5. ∵2a=6,2 =10,∴a=3, =5. =6,2 =10,∴ =3, x2 y2 ? =1. 所以点 P 的轨迹方程为 9 16

变式训练 变式训练 1:已知两定点 F1 ( ?5, 0) , F2 (5, 0) ,动点 P 满足
PF1 ? PF2 = 6 ,求动点 P 的轨迹方程. 的轨迹方程. 解: ∵ F1 F2 = 10 >6, PF1 ? PF2 = 6
由双曲线的定义可知, ∴ 由双曲线的定义可知, 的轨迹是双曲线的一支 右支) 点 P 的轨迹是双曲线的一支 (右支), ∵焦点为 F1 (?5,0), F2 (5,0)

x y 曲线方程为 方程为: (a>0, 0,b>0). ∴可设双曲线方程为: 2 ? 2 = 1 ( 0, 0). a b 2 2 2 =6,2c=10, =3,c=5. ∵2a=6,2 =10,∴a=3, =5.∴b =5 -3 =16. =6,2 =10,∴ =3, =5.∴
x2 y2 ? = 1 ( x ≥ 3) . 所以点 P 的轨迹方程为 9 16
课本例2 课本例

2

2

.(课本第54页例 已知A,B 课本第54页例) A,B两地相距800m 例3.(课本第54页例)已知A,B两地相距800 ,在A地听到炮弹爆 炸声比在B地晚2 ,且声速为340 340m/ 求炮弹爆炸点的轨迹方程. 炸声比在B地晚2s,且声速为340 /s,求炮弹爆炸点的轨迹方程.

由声速及在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2 ,可知A 解: 由声速及在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s,可知A地与爆炸点 的距离比B地与爆炸点的距离远680m.因为|AB|>680 |AB|>680m, 的距离比B地与爆炸点的距离远680 .因为|AB|>680 ,所以爆炸点 680 的轨迹是以A 为焦点的双曲线在靠近B处的一支上. 的轨迹是以A、B为焦点的双曲线在靠近B处的一支上.

如图所示,建立直角坐标系 , 、 两点在 轴上, 两点在x轴上 如图所示,建立直角坐标系xOy, A、B两点在 轴上,并 使 且点O与线段 与线段AB的中点重合 且点 与线段 的中点重合 y P 设爆炸点P的坐标为 的坐标为( ) 设爆炸点 的坐标为(x,y), 则 PA ? PB = 340×2 = 680 A o B x 即 2a=680,a=340 Q AB = 800 , ∴2c = 800,c = 400, b2 = c2 ?a2 = 44400 Q800 > PA ? PB = 680 > 0,∴x > 0 x2 2 y ( ? =1 x > 0) 因此炮弹爆炸点的轨迹方程为 115600 44400

1:若 同时听到炮弹爆炸声, 思考 1:若在 A,B 两地同时听到炮弹爆炸声,则炮弹爆 , 两地同时听到炮弹爆炸声 炸点的轨迹是什么? 炸点的轨迹是什么?
的垂直平分线. 答: 爆炸点的轨迹是线段 AB 的垂直平分线.

思考 2:根据两个不同的观测点测得同一炮弹爆炸声的 时间差,可以确定爆炸点在某条曲线上 某条曲线上, 时间差,可以确定爆炸点在某条曲线上,但不能确定 爆炸点的准确位置. 而现实生活中为了安全, 爆炸点的准确位置 而现实生活中为了安全,我们最 关心的是炮弹爆炸点的准确位置,怎样才能确定爆炸 关心的是炮弹爆炸点的准确位置, 是炮弹爆炸点的准确位置 点的准确位置呢 点的准确位置呢?
答:再增设一个观测点C,利用 、C(或A、C)两处 再增设一个观测点 ,利用B、 ( 、 ) 测得的爆炸声的时间差,可以求出另一个双曲线的方 测得的爆炸声的时间差, 解这两个方程组成的方程组, 程,解这两个方程组成的方程组,就能确定爆炸点的 准确位置.这是双曲线的一个重要应用. 准确位置.这是双曲线的一个重要应用.

x y 例2:如果方程 ? = 1 表示双曲 2+ m m +1 的取值范围. 线,求m的取值范围. 的取值范围

2

2

解: 由(2 + m )(m + 1) > 0 得m < ?2或m > ?1 值范围为 ∴ m 的取值范围为 ( ?∞, ?2) U ( ?1, +∞ ) 思考: 思考: 2 2 可以表示哪些曲线? 方程 x ? y =1 可以表示哪些曲线? 2+m m+1
_____________.

* * * * * * 小结 * * * * * *

感谢您的聆听! THANKS FOR YOUR KIND ATTENTION !
LOVELL


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