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【步步高】2017版高考数学一轮复习 第十二章 推理与证明、算法、复数 12.1 合情推理与演绎推理课件 文

时间:2016-04-24


第十二章 推理与证明、算法、复数

§12.1 合情推理与演绎推理

内容 索引

基础知识 自主学习

题型分类 深度剖析 高频小考点
思想方法 感悟提高 练出高分

基础知识 自主学习

1

知识梳理
1.合情推理 (1)归纳推理 ①定义:从个别事实中推演出一般性的结论,称为归纳推理(简称归纳法). ②特点:归纳推理是由 部分 到整体、由 个别 到一般的推理. (2)类比推理 ①定义:根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同,推演出它 们在其他方面也相似或相同,像这样的推理通常称为类比推理(简称类比 法). ②特点:类比推理是由 特殊 到 特殊 的推理.
答案

(3)合情推理 合情推理是根据已有的事实、正确的结论、实验和实践的结果,以及 个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程.归纳推理和类比推理都 是数学活动中常用的合情推理. 2.演绎推理 (1)演绎推理 一种由一般性的命题推演出特殊性命题的推理方法称为演绎推理.简言 之,演绎推理是由 一般 到 特殊 的推理.

答案

(2)“三段论”是演绎推理的一般模式

①大前提——已知的 一般原理 ;
②小前提——所研究的 特殊情况 ;

③结论——根据一般原理,对 特殊情况 做出的判断.

答案

思考辨析
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)归纳推理得到的结论不一定正确,类比推理得到的结论一定正确.( × )

(2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质,这是一种合情推理.( √ )
(3)在类比时,平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合

适.( × )
(4)“所有3的倍数都是9的倍数,某数m是3的倍数,则m一定是9的倍数”,

这是三段论推理,但其结论是错误的.( √ )
(5) 一 个 数 列 的 前 三 项 是 1,2,3 , 那 么 这 个 数 列 的 通 项 公 式 是 an =

n(n∈N*).( × )
(6)在演绎推理中,只要符合演绎推理的形式,结论就一定正确.( × )
答案

2

考点自测
1.观察下列各式:a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5+b5

123 =11,?,则a10+b10=________.
解析 从给出的式子特点观察可推知,等式右端的值,

从第三项开始,后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和, 依据此规律,a10+b10=123.

1

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解析答案

2. 命题 “ 有些有理数是无限循环小数,整数是有理数,所以整数是无 ③ 限循环小数”是假命题,推理错误的原因是________. ①使用了归纳推理; ②使用了类比推理; ③使用了“三段论”,但推理形式错误; ④使用了“三段论”,但小前提错误.

解析
错误.

由“三段论”的推理方式可知,该推理的错误原因是推理形式

1

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解析答案

3.(2014· 福建)已知集合{a,b,c}={0,1,2},且下列三个关系:①a≠2,
②b=2,③c≠0有且只有一个正确,则100a+10b+c=________.

1

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解析答案

4. 在平面上,若两个正三角形的边长的比为 1∶2 ,则它们的面积比为
1∶4,类似地,在空间中,若两个正四面体的棱长比为 1∶2,则它们的

1∶8 体积比为__________ .
解析 ∵两个正三角形是相似的三角形, ∴它们的面积之比是相似比的平方. 同理,两个正四面体是两个相似几何体,体积之比为相似比的立方, ∴它们的体积比为1∶8.

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解析答案

5.(教材改编)在等差数列{an}中,若a10=0,则有a1+a2+?+an=a1+ a2+?+a19-n (n<19,n∈N*)成立,类比上述性质,在等比数列{bn}中,
*) b b b b ? b ( n <17 , n ∈ N 1 2 3 4 17 - n 若b9=1,则b1b2b3b4?bn=____________________________.

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答案

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题型分类 深度剖析

题型一

归纳推理

命题点1 与数字有关的等式的推理
例1 (2015· 陕西)观察下列等式:
1 1 1-2=2, 1 1 1 1 1 1-2+3-4=3+4, 1 1 1 1 1 1 1 1 1-2+3-4+5-6=4+5+6,

?,

据此规律,第n个等式可为_______________________________.
解析答案

命题点2 与不等式有关的推理
例2 1 4 x x 4 已知 x∈(0, +∞), 观察下列各式: x+x ≥2, x+x2=2+2+x2≥3,

27 x x x 27 a x + x3 = 3 + 3 + 3 + x3 ≥4 , ? ,类比得 x + xn ≥n + 1(n∈N*) ,则 a =
n n ________.

解析

第一个式子是n=1的情况,此时a=11=1;

第二个式子是n=2的情况,此时a=22=4;
第三个式子是n=3的情况,此时a=33=27,归纳可知a=nn.

解析答案

命题点3 与数列有关的推理
例3 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数,如三角形 n?n+1? 1 2 1 数 1,3,6,10,?,第 n 个三角形数为 2 =2n +2n,记第 n 个 k 边形 数为 N(n,k)(k≥3),以下列出了部分 k 边形数中第 n 个数的表达式: 1 2 1 三角形数 N(n,3)=2n +2n,

正方形数
五边形数

六边形数

N(n,4)=n2, 3 2 1 N(n,5)=2n -2n, N(n,6)=2n2-n

??????????????? 可以推测N(n,k)的表达式,由此计算N(10,24)=____________.
解析答案

命题点4 与图形变化有关的推理
例4 某种平面分形图如下图所示,一级分形图是由一点出发的三条线 段,长度均为1,两两夹角为120°;二级分形图是在一级分形图的每 1 条线段的末端出发再生成两条长度为原来 的线段,且这两条线段与原 3 线段两夹角为120°,?,依此规律得到n级分形图.

3×2n-3条线段; (1)n级分形图中共有________ 解析 分形图的每条线段的末端出发再生成两条线段,

由题图知,一级分形图中有3=(3×2-3)条线段, 二级分形图中有9=(3×22-3)条线段, 三级分形图中有21=(3×23-3)条线段, 按此规律n级分形图中的线段条数an=(3×2n-3) (n∈N*).

解析答案

?2? ?n 9-9×? ? ? (2)n级分形图中所有线段长度之和为_____________. ?3?

解析

1 ∵分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来3的线段,
?2? ?n-1 bn=3×? ? ? ?3?

∴n 级分形图中第 n 级的所有线段的长度和为
∴n 级分形图中所有线段长度之和为
?2? ?2? ?2? ? ?0 ? ?1 ?n-1 Sn=3×?3? +3×?3? +?+3×? = 3 × ? ? ? ? ? ? ?3?

(n∈N*),

?2? ?n 1 -? ? ? ?3?

2 1- 3

?2? ?n =9-9×? ? ? . ?3?

思维升华

解析答案

跟踪训练1
183 (1)观察下图,可推断出“x”处应该填的数字是________.

解析

由前两个图形发现:中间数等于四周四个数的平方和,

∴“x”处应填的数字是32+52+72+102=183.

解析答案

(2)如图,有一个六边形的点阵,它的中心是1个点(算第1层), 第2层每边有2个点,第3层每边有3个点,?,依此类推,如 果一个六边形点阵共有169个点,那么它的层数为________. 8

解析

由题意知,第1层的点数为1,第2层的点数为6,第3层的点数为

2×6,第4层的点数为3×6,第5层的点数为4×6,?,

第n(n≥2,n∈N*)层的点数为6(n-1).
设一个点阵有n(n≥2,n∈N*)层,
6+6?n-1? 则共有的点数为 1+6+6×2+?+6(n-1)=1+ ×(n-1) 2 =3n2-3n+1,

由题意得3n2-3n+1=169,即(n+7)· (n-8)=0,所以n=8,故共有8层.
解析答案

题型二

类比推理
已知数列{an}为等差数列,若am=a,an=b(n-m≥1,m,n∈N*),

例5

nb-ma 则am+n= .类比等差数列{an}的上述结论,对于等比数列{bn}(bn>0, n -m n∈N*),若bm=c,bn=d(n-m≥2,m,n∈N*),则可以得到bm+n= n-m dn
m c ________.

解析

设数列{an}的公差为d,数列{bn}的公比为q.
n-1

因为 an=a1+(n-1)d,bn=b1q
n -m d n 所以类比得 bm+n= m. c

nb-ma ,am+n= , n-m

思维升华

解析答案

跟踪训练2
在平面上,设 ha,hb,hc 是三角形 ABC 三条边上的高,P 为三角形内任一 Pa Pb 点,P 到相应三边的距离分别为 Pa,Pb,Pc,我们可以得到结论:h + h + a b Pa Pb Pc Pd + h + h + h =1 Pc h a b c d = 1. 把它类比到空间,则三棱锥中的类似结论为 ____________________. h
c

解析

设ha,hb,hc,hd分别是三棱锥A-BCD四个面上的高,

P为三棱锥A-BCD内任一点,P到相应四个面的距离分别为Pa,Pb,Pc,Pd ,
Pa Pb Pc Pd 于是可以得出结论: h + h + h + h =1. a b c d
解析答案

题型三

演绎推理
n+2 数列{an}的前 n 项和记为 Sn,已知 a1=1,an+1= n Sn (n∈N*).

例6

证明:

? ?Sn? ? ? (1)数列? n ? 是等比数列; ? ? ?

证明

n+2 ∵an+1=Sn+1-Sn,an+1= n Sn,

∴(n+2)Sn=n(Sn+1-Sn),即nSn+1=2(n+1)Sn. Sn+1 S1 Sn ∴ =2· ,又 = 1 ≠ 0 , ( 小前提 ) n 1 n+1
? ?Sn? ? ? 故? n ? 是以 ? ? ?

1 为首项,2 为公比的等比数列.(结论)

(大前提是等比数列的定义,这里省略了)
解析答案

(2)Sn+1=4an.
证明 Sn+1 Sn-1 由(1)可知 =4· (n≥2), n+1 n-1
(小前提)

Sn-1 n-1+2 ∴Sn+1=4(n+1)· =4· · Sn-1=4an(n≥2), n-1 n-1

又a2=3S1=3,S2=a1+a2=1+3=4=4a1,

(小前提)

∴对于任意正整数n,都有Sn+1=4an.
(第(2)问的大前提是第(1)问的结论以及题中的已知条件)

(结论)

思维升华

解析答案

跟踪训练3
某国家流传这样的一个政治笑话: “鹅吃白菜,参议员先生也吃白菜, ③ 所以参议员先生是鹅.”结论显然是错误的,是因为________. ①大前提错误;
③推理形式错误;

②小前提错误;
④非以上错误.

解析

因为大前提的形式 “鹅吃白菜”,不是全称命题,大前提本身

正确,小前提“参议员先生也吃白菜”本身也正确,但不是大前提下

的特殊情况,鹅与人不能类比,所以不符合三段论推理形式,所以推
理形式错误.
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高频小考点

高频小考点

10.高考中的合情推理问题
(1)传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用

典例1

小石子表示数.他们研究过如图所示的三角形数:

将三角形数1,3,6,10,?记为数列{an},将可被5整除的三角形数按从小
到大的顺序组成一个新数列{bn},可以推测:

①b2 014是数列{an}的第________项;
②b2k-1=________.(用k表示)
解析答案

(2)设S , T 是 R的两个非空子集,如果存在一个从 S 到 T的函数y=f(x)满 足:(1)T={f(x)|x∈S};(2)对任意x1,x2∈S,当x1<x2时,恒有f(x1)<f(x2). 那么称这两个集合 “ 保序同构 ”. 以下集合对不是 “ 保序同构 ” 的是 ________. ①A=N*,B=N; ②A={x|-1≤x≤3},B={x|x=-8或0<x≤10}; ③A={x|0<x<1},B=R; ④A=Z,B=Q.

温馨提醒

解析答案

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思想方法 感悟提高

方法与技巧
1.合情推理的过程概括为
从具体问题出发 → 观察、分析、比较、联想 → 归纳、类比 → 提出猜想

2. 演绎推理是从一般的原理出发,推出某个特殊情况的结论的推理方

法,是由一般到特殊的推理,常用的一般模式是三段论.数学问题的证
明主要通过演绎推理来进行.

失误与防范

1.合情推理是从已知的结论推测未知的结论,发现与猜想的结论都要 经过进一步严格证明. 2.演绎推理是由一般到特殊的证明,它常用来证明和推理数学问题,

注意推理过程的严密性,书写格式的规范性.
3.合情推理中运用猜想时不能凭空想象,要有猜想或拓展依据.

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练出高分

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② 1.下列推理是归纳推理的是________. ①A,B为定点,动点P满足PA+PB=2a>AB,则P点的轨迹为椭圆;
2 2 x y ③由圆 x2+y2=r2 的面积 πr2,猜想出椭圆a2+b2=1 的面积 S=πab;

②由a1=1,an=3n-1,求出S1,S2,S3,猜想出数列的前n项和Sn的表达式;

④科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇. 解析 从S1,S2,S3猜想出数列的前n项和Sn,是从特殊到一般的推理,所

以②是归纳推理.
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2.正弦函数是奇函数,f(x)=sin(x2+1)是正弦函数,因此f(x)=sin(x2+1)

③ 是奇函数,以上推理________.
①结论正确; ③小前提不正确; ②大前提不正确; ④全不正确.

解析

f(x)=sin(x2+1)不是正弦函数,所以小前提错误.

解析答案

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3.平面内有n条直线,最多可将平面分成f(n)个区域,则f(n)的表达式为 n2+n+2 f(n)=__________. 2 解析 1条直线将平面分成1+1个区域; 2条直线最多可将平面分成1+(1+2)=4个区域; 3条直线最多可将平面分成1+(1+2+3)=7个区域;
n?n+1? n 条直线最多可将平面分成 1+(1+2+3+?+n)=1+ 2 n2+n+2 = 个区域 . 2
解析答案

??;

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4.给出下列三个类比结论: ①(ab)n=anbn与(a+b)n类比,则有(a+b)n=an+bn; ②loga(xy)=logax+logay与sin(α+β)类比,则有sin(α+β)=sin αsin β; ③(a+b)2=a2+2ab+b2与(a+b)2类比,则有(a+b)2=a2+2a· b+b2.

1 其中正确结论的个数是________.
解析 (a+b)n≠an+bn(n≠1,a· b≠0),故①错误. sin(α+β)=sin αsin β不恒成立.
3 如 α=30° ,β=60° ,sin 90° =1,sin 30° · sin 60° = 4 ,故②错误. 由向量的运算公式知③正确.
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a1+a2+?+an 5.若数列{an}是等差数列,则数列{bn}(bn= )也为等差数 n 列.类比这一性质可知,若正项数列{cn}是等比数列,且{dn}也是等比数 列,则 dn 的表达式应为__________.

c1+c2+?+cn ①dn= n n cn+cn+?+cn 1 2 n ③dn= n

c1· c2· ?· cn ②dn= n ④dn= c1· c2· ?· cn
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n

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6.观察下列不等式:
1 3 1+22<2,
1 1 5 1+22+32<3,
1 1 1 7 1+22+32+42<4,

?? 照此规律,第五个不等式为________________________.
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x y 7.若 P0(x0,y0)在椭圆a2+b2=1(a>b>0)外,过 P0 作椭圆的两条切线的切 x0x y0y 点为 P1,P2,则切点弦 P1P2 所在的直线方程是 a2 + b2 =1,那么对于 x2 y2 双曲线则有如下命题:若 P0(x0,y0)在双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)外, 过 P0 作双曲线的两条切线,切点为 P1,P2,则切点弦 P1P2 所在直线的 方程是________________.

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a11+a12+?+a20 a1+a2+?+a30 8.已知等差数列{an}中,有 = ,则在等 10 30 10 30 b11b12?b20= b1b2?b30 比数列{bn}中,会有类似的结论:__________________________.

解析

由等比数列的性质可知

b1b30=b2b29=?=b11b20,
∴ 10 b11b12?b20= 30 b1b2?b30.

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1 9.设 f(x)= x ,先分别求 f(0)+f(1),f(-1)+f(2),f(-2)+f(3),然 3+ 3 后归纳猜想一般性结论,并给出证明.

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1 1 1 10.在 Rt△ABC 中,AB⊥AC,AD⊥BC 于 D,求证:AD2=AB2+AC2, 那么在四面体 A—BCD 中,类比上述结论,你能得到怎样的猜想,并说 明理由.

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11.在平面几何中有如下结论:正三角形 ABC 的内切圆面积为 S1,外接圆 S1 1 面积为 S2, 则S =4, 推广到空间可以得到类似结论: 已知正四面体 P—ABC 2 1 V1 27 的内切球体积为 V1,外接球体积为 V2,则V =________.
2

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V1 1 正四面体的内切球与外接球的半径之比为 1∶3,故V =27. 2

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12.已知①正方形的对角线相等;②矩形的对角线相等;③正方形是矩 ① 形.根据“三段论”推理出一个结论.则这个结论是________.( 填序号) 解析 根据演绎推理的特点,正方形与矩形是特殊与一般的关系,所

以结论是正方形的对角线相等.

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13.如图(1)若从点O所作的两条射线OM、ON上分别有点M1、M2与点N1、 N2,则三角形面积之比
S ?OM1N1 S ?OM 2 N2

OM1 ON1 = 如图(2),若从点O所作的不 · . OM2 ON2

在同一平面内的三条射线 OP、OQ和OR上分别有点P1、P2,点Q1、Q2

和点R1、R2,则类似的结论为__________________.

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14.已知等差数列{an}的公差d=2,首项a1=5. (1)求数列{an}的前n项和Sn; 解 由于a1=5,d=2,

n?n-1? 所以 Sn=5n+ 2 ×2=n(n+4).

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(2)设Tn=n(2an-5),求S1,S2,S3,S4,S5;T1,T2,T3,T4,T5,并归 纳出Sn与Tn的大小规律. 解 因为Tn=n(2an-5)=n[2(2n+3)-5]=4n2+n, 所以T1=5,T2=4×22+2=18,T3=4×32+3=39, T4=4×42+4=68,T5=4×52+5=105. S1=5,S2=2×(2+4)=12,S3=3×(3+4)=21, S4=4×(4+4)=32,S5=5×(5+4)=45. 由此可知S1=T1,当n≥2且n∈N*时,Sn<Tn. 归纳猜想:当n=1时,Sn=Tn; 当n≥2,n∈N*时,Sn<Tn.
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a 15.已知函数 f(x)=- x (a>0,且 a≠1). a+ a
1 1 (1)证明:函数 y=f(x)的图象关于点(2,-2)对称;

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(2)求f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)的值.



由(1)知-1-f(x)=f(1-x),

即f(x)+f(1-x)=-1.

∴f(-2)+f(3)=-1,f(-1)+f(2)=-1,
f(0)+f(1)=-1.

则f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=-3.

解析答案

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