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离散型随机变量的分布列

时间:2015-11-27


考点 168 离散型随机变量的分布列 1.(12 安徽 T17) 某单位招聘面试,每次从试题库随机调用一道试题,若调用的是 A 类型试题,则使用后 该试题回库,并增补一道 A 类试题和一道 B 类型试题入库,此次调题工作结束;若调用 的是 B 类型试题,则使用后该试题回库,此次调题工作结束.试题库中现共有 n ? m 道 试题,其中有 n 道 A 类型试题和 m 道 B 类型试题,以 X 表示两次调题工作完成后,试 题库中 A 类试题的数量. (Ⅰ)求 X ? n ? 2 的概率; (Ⅱ)设 m ? n ,求 X 的分布列和均值(数学期望). 【测量目标】基本事件概率,条件概率,离散型随机变量及其分布列均值. 【难易程度】中等 【试题解析】 (I) X ? n ? 2 表示两次调题均为 A 类型试题,概率为

n ? n ? 1? n n ?1 .(步骤 1) ? ? m ? n m ? n ? 2 ? m ? n ?? m ? n ? 2?
(Ⅱ)m ? n 时, 每次调用的是 A 类型试题的概率为 p ?

1 , 随机变量 X 可取 n, n ? 1, n ? 2 . 2 1 1 P( X ? n) ? (1 ? p) 2 ? , P( X ? n ? 1) ? 2 p(1 ? p) ? , 4 2 1 P( X ? n ? 2) ? p 2 ? .(步骤 2) 4
X
P

n
1 4

n ?1

n?2

(步骤 3)

1 2

1 4

1 1 1 EX ? n ? ? (n ? 1) ? ? (n ? 2) ? ? n ? 1 .(步骤 4) 4 2 4 n n ?1 ? 答: (Ⅰ) X ? n ? 2 的概率为 ; m?n m?n?2
(Ⅱ) X 的均值为 n ? 1 .(步骤 5) 2.(12 福建 T16)受轿车在保修期内维修费等因素的影响,企业产生每辆轿车的利润与该轿 车首次出现故障的时间有关,某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车,保修期均为 2 年,现 从该厂已售出的两种品牌轿车中随机抽取 50 辆,统计书数据如下: 品牌 首次出现故障时间 x (年) 甲 乙

0? x? 1

1? x ? 2

x?2

0? x? 2

x?2

轿车数量(辆) 每辆利润(万元) 将频率视为概率,解答下列问题:

2

3
2

45

5

45

1

3

1.8

2.9

(1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆,求首次出现故障发生在保修期内的概率; (2)若该厂生产的轿车均能售出,记生产一辆甲品牌轿车的利润为 X 1 ,生产一辆乙品牌轿 车的利润为 X 2 ,分别求 X 1 , X 2 的分布列; (3)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当,由于资金限制,只能生产其中一种品牌轿车, 若从经济效益的角度考虑,你认为应该产生哪种品牌的轿车?说明理由. 【测量目标】互斥事件的概率,古典概型,离散型随机事件的分布列. 【难易程度】中等 【试题解析】 (1)设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件 A , 则 P( A) ?

2?3 1 ? . (步骤 1) 50 10

(2)随机变量 X 1 的分布列为

X1
P

1

2

3

1 25

3 50

9 10
(步骤 2)

随机变量 X 2 的分布列为

X2
P

1.8

2.9

1 10

9 10
(步骤 3)

(3) E ( X 1 ) ? 1?

1 3 9 ? 2 ? ? 3 ? ? 2.86 (万元) , (步骤 4) 25 50 10 1 9 ? 2.9 ? ? 2.79 (万元) , (步骤 5) 10 10

E ( X 2 ) ? 1.8 ?

∵ E( X1 ) ? E( X 2 ) ,∴应该生产甲品牌汽车. (步骤 6) 3.(10 广东 T17)

某食品厂为了检查一条自动包装流水 线的生产情况,随即抽取该流水线上 40 件产品作为样 本算出他们的重量 (单位: 克) 重量的分组区间为 ? 490,495? ,? 495,500? ,? ? 510,515? , 由此得到样本的频率分布直方图,如下图所示.

CGC 78 (1)根据频率分布直方图,求重量超过 505 克的产品数量. (2)在上述抽取的 40 件产品中任取 2 件,设 Y 为重量超过 505 克的产品数量,求 Y 的分布 列. (3)从流水线上任取 5 件产品,求恰有 2 件产品合格的重量超过 505 克的概率. 【测量目标】频率分布直方图,离散型随机事件的分布列. 【难易程度】中等 【试题解析】 (1)重量超过 505 克的产品数量:

40 ? (0.05 ? 0.01) ? 5 ? 40 ? 0.3 ? 12 .(步骤 1)
(2)Y 的分布列:

Y P

0

1
1 C1 C12 28 ? C2 40

2
2 C12 C2 40

C2 28 2 C40

(步骤 2) (3)设所取 5 件产品中,重量超过 505 克的产品件数为随机变量 Y,则

? 3? 3087 2 3 2 7 3 Y ? B ? 5, ? , P(Y =2)=C5 ( )( ) = . 10 10 10000 ? 10 ?
恰有 2 件产品合格的重量超过 505 克的概率为

3087 .(步骤 3) 10000

4.(10 上海 T6)随机变量 ? 的概率分布列由下图给出:

x

7

8

9

10

P ?? ? x ?

0.3

0.35

0.2

0.15

则随机变量 ? 的均值是

.

【测量目标】离散型随机变量的分布列. 【难易程度】中等 【参考答案】 8.2 【试题解析】 E (? ) ? 7 ? 0.3 ? 8 ? 0.35 ? 9 ? 0.2 ? 10 ? 0.15 ? 8.2 . 5.(10 天津 T18) 某射手每次射击击中目标的概率是

2 ,且各次射击的结果互不影响. 3

(Ⅰ)假设这名射手射击 5 次,求恰有 2 次击中目标的概率. (Ⅱ)假设这名射手射击 5 次,求有 3 次连续击中目标.另外 2 次未击中目标的概率; (Ⅲ)假设这名射手射击 3 次,每次射击,击中目标得 1 分,未击中目标得 0 分,在 3 次射 击中,若有 2 次连续击中,而另外 1 次未击中,则额外加 1 分;若 3 次全击中,则额外加 3 分,记 ? 为射手射击 3 次后的总的分数,求 ? 的分布列. 【测量目标】互斥事件和独立事件,离散型随机变量分布列. 【难易程度】中等 【试题解析】 (Ⅰ)设 X 为射手在 5 次射击中击中目标的次数,则 X ~ B ? 5, ? .在 5 次射击中,恰有 2 次击中目标的概率

? ?

2? 3?

40 ? 2? ? 2? (步骤 1) P( X ? 2) ? C ? ? ? ? ?1 ? ? ? ? 3 ? ? 3 ? 243
2 5

2

2

(Ⅱ)设“第 i 次射击击中目标”为事件 Ai (i ? 1, 2,3, 4,5) ;“射手在 5 次射击中,有 3 次 连续击中目标,另外 2 次未击中目标”为事件 A ,则

P( A)? P( 1A 2A 3A 4A 5A ) ?

(P 1 A 2A 3A 4A ? ) 5A ( P1 A2 A3 A) 4 A5 A

= ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? =

?2? ?3?

3

?1? ? 3?

2

1 ?2? 3 ?3?

3

1 ?1? 3 ? 3?

2

?2? ?3?

3

8 (步骤 2) 81

(Ⅲ)由题意可知, ? 的所有可能取值为 0,1, 2,3,6

1 ?1? P(? ? 0) ? P( A1 A 2A ) 3?? ? ? ? 3 ? 27

3

P(? ? 1) ? P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 A 2 A3 ) ? P( A1 A2 A3 )
=

2 ?1? 1 2 1 ?1? 2 2 ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 ? 3? 3 3 3 ?3? 3 9

2

2

2 1 2 4 P(? ? 2) ? P( A1 A2 A3 ) ? ? ? ? 3 3 3 27

8 ? 2? 1 1 ?1? P(? ? 3) ? P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 A2 A3 ) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 ? 3 3 ? 3 ? 27 8 ?2? P(? ? 6) ? P( A1 A2 A3 ) ? ? ? ? ? 3 ? 27
所以 ? 的分布列是
3

2

2

?
p (步骤 3) 6. (09 广东 T12)

0

1

2

3

6

1 27

6 27

4 27

8 27

8 27

已知离散型随机变量 X 的分布列如右表.若 EX ? 0, DX ? 1, 则 a ?



b?



xy62 【测量目标】离散型随机变量的分布列.

【难易程度】中等 【参考答案】

5 1 , 12 4 11 1 1 , ?a ? c ? ? 0,12 ? a ? 12 ? c ? 22 ? ? 1, 12 6 12

【试题解析】由题知 a ? b ? c ? 解得 a ?

5 1 ,b ? . 12 4


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