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广东省碧桂园(IB国际)学校双语高中2007-2008学年第二学期高二数学(文科)期中考试卷

时间:2014-03-22


广东省碧桂园(IB 国际)学校双语高中 2007-2008 学年第二学期高二数学(文科)期中 考试卷
(适用范围:1-2 之第二、三章&4-1&4-4)

一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的,请把答案涂在答题卡上.)
1、下列命题中正确的是(a,b,c,d∈R)………………………………………………( ) (A)复数 a+bi 与 c+di 相等的充要条件是 a=c 且 b=d (B)任何复数都不能比较大小 (C) z1 ? z2 , 则z1 ? z2 (D)|z1|=|z2|,则 z1=z2 或 z1 ? z2 )

2、极坐标方程 ? ? sin? ? 2cos? 所表示的曲线是…………………………………………(

(A)直线 (B)圆 (C)双曲线 (D)抛物线 3、复数 a+bi 与 c+di(a,b,c,d∈R)的和是实数的充要条件是………………………( ) (A)a+c=0 (B)a-c=0 (C)b+d=0 (D)b-d=0 4、复数 2- i 的共轭复数是…………………………………………………………………( ) (A)i+2 (B)i-2 (C)-2- i (D)2- i 5、a=0 是复数 a+bi(a,b∈R)为纯虚数的…………………………………………………( ) (A)必要非充分条件 (B)充分非必要条件 (C)充要条件 (D)非必要非充分条件 6、复数 6+8i 的模等于………………………………………………………………………( ) (A)14 (B)10 (C)-10 (D)100 7、归纳推理与类比推理的相似之处为………………………………………………………( ) (A)都不一定正确 (B)都是从一般到一般 (C)都是从一般到特殊 (D)都是从特殊到特殊 8、若命题 P:x∈A∪B,则 ?p 是……………………………………………………………( ) (A)x ? A∩B; 9、当 (B)x ? A 或 x ? B; (C)x ? A 且 x ? B; (D)x∈A∩B

2 ? m ? 1 时,复数 m(3+i)-(2+ i)在复平面内对应的点位于…………………( ) 3 (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 10、若 x 是纯虚数,y 是实数,且 2x-1+i=y-(3-y)i,则 x+y 等于…………………( ) 5 5 5 5 (A) 1 ? i (B) ?1 ? i (C) 1 ? i (D) ?1 ? i 2 2 2 2

二、填空题(共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分.请把答案填写在第二卷答案栏中)
11、 (4 i -5)-(3+2i)= 12、i2005= .
B O A D

.
C

13、如右图,从圆 O 外一点 A 引切线 AD 和割线 ABC ,

AB ? 3, BC ? 2 ,则切线 AD 的长为____________.

(第 13 题)

? 2 t ? x ? ?1 ? ? 2 14、直线 ? (t 为参数)被圆 x2 ? y 2 ? 9 截得的弦 AB 的长|AB|= ?y ? 2 t ? 2 ?

三、 解答题 (本大题共 6 小题, 共 80 分.解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤.)
15(本题满分 14 分)计算: ( 1)

?

3 ? 2i ? 3 ? 2i ;

??

?

(2)

7?i . 3 ? 4i

??? ? ??? ? 16(本题满分 12 分)在复平面内,复数 6+5i 与-3+4i 对应的向量分别是 OA 与 OB ,其中 O 是

??? ? ??? ? 原点,求向量 AB , BA 对应的复数.

17(本题满分 14 分)已知 AD、BE 分别是 ?ABC 中 BC 边和 AC 边上的高,H 是 AD、BE 的交 点.求证: (1) AD ? BC ? BE ? AC ; (2) AH ? HD ? BH ? HE . A E H C

B

D

18(本题满分 14 分)若 a 、 b 、 c ? R ,且 x ? a ? 2b ? 1 , y ? b ? 2c ? 1 , z ? c ? 2a ? 1 ,
2
2

2

求证: x 、 y 、 z 中至少有一个不小于 0.

19(本题满分 14 分)如果实数 x,y 满足等式 x2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ,求: (1) 2 x ? y 的最小值; (2)

y?2 的最大值. x?2

20(本题满分 12 分)如图,在椭圆

x2 y 2 AB 上求一点 P,使四 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )的第一象限的 ? 2 a b 边形 OAPB 的面积最大,并求最大面积. y B
o A x

广东碧桂园(IB 国际)学校双语高中 2007-2008 学年度第二学期

高二数学(文科)期中考试卷参考答案
一、选择题:ABCAA BACDD 12、 i ;13、 15 ;
2

二、填空题:11、-8+2i ;

14、 34 .
2

三、解答题:15(每小题 7 分)解: (1)原式=

? 2i ? ? ? 3 ? ………………3 分

? ?2 ? 3 …………………………………………………………6 分 ? ?5 ……………………………………………………………7 分
(2)原式=

? 7 ? i ?? 3 ? 4i ? ………………………………………………………2 分 ? 3 ? 4i ?? 3 ? 4i ?

25 ? 25i ………………………………………………………………6 分 25 = 1 ? i ……………………………………………………………………7 分 ??? ? ??? ? 16、解:依题可知: OA ? ? 6,5? , OB ? ? ?3, 4 ? ……………………………………4 分


??? ? ??? ? ??? ? 所以, AB ? OB ? OA ? ? ?3 ? 6, 4 ? 5? ? ? ?9, ?1? ……………………………………8 分

??? ? ??? ? 所以, BA ? ? AB ? ? 9,1? ………………………………………………………………10 分

??? ? ??? ? 所以,向量 AB , BA 对应的复数分别为:-9-i 和 9+i. …………………………12 分
17(每小题 7 分)证明: (1)在 Rt ?ADC和Rt ?BEC 中, ?ACD ? ?BCE , ? Rt ?ADC ∽ Rt ?BEC ……………………3 分 A E H C

AD AC ? ? ,即AD ? BC =BE ? AC ……………………7 分. BE BC (2)在 Rt ?AHE和Rt ?BHD 中, ∽ ?BHD ………3 分 ?A H E? ? B H D??A H E B AH HE ? ? ,即AH ? HD=BH ? HE ………………7 分. BH HD

D

18、证明:假设 x ? a 2 ? 2b ? 1 ? 0, y ? b2 ? 2c ? 1 ? 0, z ? c 2 ? 2a ? 1 ? 0, …………………3 分 则 x ? y ? z ? 0 ……………………………………………………………………………4 分 而实际上, x ? y ? z ? a 2 ? 2b ? 1 ? b 2 ? 2c ? 1 ? c 2 ? 2a ? 1

?

? ?

? ?

?

? ? a 2 ? 2a ? 1? ? ? b 2 ? 2b ? 1? ? ? c 2 ? 2c ? 1?
? ? a ? 1? ? ? b ? 1? ? ? c 2 ? 1? ? 0 …………………………………………………………10 分
2 2 2

这与 x ? y ? z ? 0 相矛盾……………………………………………………………………12 分

故假设不正确,即 x 、 y 、 z 中至少有一个不小于 0.…………………………………14 分 19(每小题 7 分)解: (1) x2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y 可化为: ? x ? 1? ? ? y ? 2 ? ? 5 ……………2 分
2 2

所以可设 x ? 1 ? 5 cos? , y ? 2 ? 5 sin ? …………………………………………3 分 故 2 x ? y ? 2 ? 2 5 cos? ? 2 ? 5 sin ? ? 2 5 cos? ? 5 sin ? ………………………5 分

? 2 5 5? ? 5cos ?? ? ? ? ? 其中 ? 为辅助角,且 cos ? ? ,sin ? ? ? …………………6 分 ? 5 5 ? ? ?
所以,当 ? ? ? ? ? ,即cos? ? ?

2 5 5 ,sin ? ? , 也就是x ? ?1, y ? 3时, 5 5 2 x ? y 取得最小值为-5……………………………………………………………7 分

(2)

y?2 的几何意义为:圆上一点与定点(-2,2)连线的斜率,………………2 分 x?2 y?2 设k ? ,则 kx ? y ? 2k ? 2 ? 0 …………………………………………………4 分 x?2
2 2

由上面的直线与圆 ? x ? 1? ? ? y ? 2 ? ? 5 相切得: 5 ?

| k ? 2 ? 2k ? 2 | k2 ?1

5 ……………………………………………………………………………6 分 2 5 y?2 所以, 的最大值为 ………………………………………………………………7 分\ 2 x?2
解之得 k ? ? 20、解法一: 设 P ? a cos? , b sin ? ? (其中 0 ? ? ?

?
2

) ,

y

B

P A x

1 1 SOAPB ? S?POB ? S?POA ? ba cos? ? ab sin ? 2 2 则 …………8 分 1 2 ?? ? ? ab ? sin ? ? cos? ? ? ab sin ? ? ? ? 2 2 4? ?
故当 ? ?

o

?

? 2 2 ? 2 a, b? ,即点 P 的坐标为 ? 时,四边形 OAPB 有最大面积 ab ……12 分 ? ? 2 ? 2 4 ? 2

解法二:作 PD ? AB 于 D, 则 SOAPB ?

1 1 ab ? S?PAB ? ab ? a 2 ? b2 | PD | ………2 分 2 2 y x y B 直线 AB 的方程为 ? ? 1,即bx ? ay ? ab ? 0 ……3 分 P a b D ? o 设 P ? a cos? , b sin ? ? (其中 0 ? ? ? ) , 2

?

?

A x

?? ? ab | 2 cos ? ? ? ? ? 1| | ab cos? ? ab sin ? ? ab | ab | cos? ? sin ? ? 1| 4? ? 则 | PD |? ………7 分 ? ? 2 2 2 2 2 2 a ?b a ?b a ?b

因为 0 ? ? ?

?
2

,所以 ?

?
4

?? ?

?
4

?

?
4

,所以当 ? ?

?
4

? 0 时, | PD | 最大,从而 S ?PAB 最大.

此时, cos? ? sin ? ?

ab 2 ? 1 ? 2 2 2 ? ,P 点坐标为 ? ………………10 分 a , b ,| PD | ? ? ? 2 2 2 ? a 2 ? b2 ? ?

?

?

1 SOAPB ? ? ab ? 2?

?

2 2 ? 1 ab ? ? ab ………………………………………………………11 分 ? 2

?

? 2 2 ? 2 a , b? 故所求的点 P 的坐标为 ? ? 2 ? ,四边形 OAPB 的最大面积为 2 ab …………12 分 2 ? ?
(以上解答题的其它正确解法可酌情给分)


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