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2017届高考数学二轮复习专题一集合常用逻辑用语平面向量复数算法合情推理不等式2平面向量复数运算课件文

时间:2017-03-26


类型一

类型二
类型三 限时速解训练

必考点二 平面向量、复数运算

[高考预测]——运筹帷幄 1.用平面向量的几何运算、坐标运算进行线性运算和数量积的运 算. 2.复数的代数形式的四则运算及几何意义.

[速解必备]——决胜千里 1.向量共线的充要条件:O 为平面上一点,则 A,B,P 三点共 → =λ OA → +λ OB → (其中 λ +λ =1). 线的充要条件是OP 1 2 1 2 2.三角形中线向量公式:若 P 为△OAB 的边 AB 的中点,则向量 1 → → → → → → OP与向量OA、OB的关系是OP= (OA+OB). 2

→ +GB → +GC →= 3. 三角形重心坐标的求法:G 为△ABC 的重心?GA
?xA+xB+xC yA+yB+yC? ? 0?G? , ? ?. 3 3 ? ?

→ → → → → → OA· OB=OB· OC=OC· OA?O 为△ABC 垂心. 4.a⊥b?a· b=0(a≠0,b≠0). 5.i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i. 1+i 1-i 6.z· z =|z| ,(1+i) =2i,(1-i) =-2i, =i, =-i. 1-i 1+i
2 2 2

[速解方略]——不拘一格 类型一 平面向量的概念及线性运算 [例 1] → =(-4, → (1)已知点 A(0,1), B(3,2), 向量AC -3), 则向量BC

=( A ) A.(-7,-4) C.(-1,4) B.(7,4) D.(1,4)

→ 解析:基本法:设 C(x,y),则AC=(x,y-1)=(-4,-3),
? ?x=-4, 所以? ? ?y=-2,

→ 从而BC =(-4,-2)-(3,2)=(-7,-4).故选

A. → 速解法:∵AB=(3,2)-(0,1)=(3,1), → =AC → -AB → =(-4,-3)-(3,1)=(-7,-4). BC

答案:A

→ 方略点评:1.基本法是设出点 C 坐标,并利用AC=(-4,-3)求 → 的坐标. 出点 C 坐标,然后计算BC → =AC → -AB →. 速解法是利用向量减法的意义:BC 2.向量的三角形法则要保证各向量“首尾相接”;平行四边形法 则要保证两向量“共起点”,结合几何法、代数法(坐标)求解.

→+ (2)设 D, E, F 分别为△ABC 的三边 BC, CA, AB 的中点, 则EB → FC=( A ) → A.AD → C.BC 1→ B. AD 2 1→ D. BC 2

1 1 → → → → 解析:基本法一:设AB=a,AC=b,则EB=- b+a,FC=- a 2 2
? ? 1 ? 1 1 → → ? → +b,从而EB+FC =?-2b+a? +?-2a+b? =2(a +b)=AD,故选 ? ? ? ?

A.

→ → → → → → → → 1 → 基本法二: 如图, EB+FC=EC+CB+FB+BC=EC+FB=2(AC+ → AB) 1 → → = · 2AD=AD. 2

答案:A

方略点评:基本法一是利用了基本定理运算.基本法二是利用了三 角形法则进行运算.

→ → 1. (2016· 河北唐山市高三统考)在等腰梯形 ABCD 中, AB=-2CD, → =( M 为 BC 的中点,则AM B ) 1→ 1 → A. AB+ AD 2 2 3→ 1 → C.4AB+4AD 3→ 1 → B. AB+ AD 4 2 1→ 3 → D.2AB+4AD

→ 1 → → 1 → 解析: 基本法: 由于 M 为 BC 的中点, 所以AM=2(AB+AC)=2(AB 1 → → 1→ → → +AD+DC)=2(AB+AD+2AB) 3→ 1 → = AB+ AD,故选 B. 4 2

答案:B

2. (2016· 高考全国甲卷)已知向量 a=(m,4), b=(3, -2), 且 a∥b, 则 m=________.

解析:基本法:∵a∥b,∴a=λb 即(m,4)=λ(3,-2)=(3λ,-2λ)
? ?m=3λ, ∴? ? ?4=-2λ,

故 m=-6.

速解法:根据向量平行的坐标运算求解: ∵a=(m,4),b=(3,-2),a∥b ∴m×(-2)-4×3=0 ∴-2m-12=0,∴m=-6.

答案:-6

类型二 [例 2] A.-1 C.1

平面向量数量积的计算与应用

(1)向量 a=(1,-1),b=(-1,2),则(2a+b)· a=( C ) B.0 D.2

解析:基本法:因为 2a+b=2(1,-1)+(-1,2)=(2,-2)+(- 1,2)= (1,0),所以 (2a+b)· a =(1,0)· (1,- 1)=1×1+0×(-1)=1. 故选 C. 速解法:∵a=(1,-1),b=(-1,2),∴a2=2,a· b=-3, 从而(2a+b)· a=2a2+a· b=4-3=1.故选 C.

答案:C

方略点评:1.基本法是把 2a+b 看作一个向量,求其坐标,最终用 坐标法求数量积. 速解法是通过展开(2a+b)· b, 分别计算 a2 及 a· b, 较简单. 2.当向量以几何图形的形式(有向线段)出现时,其数量积的计算 可利用定义法;当向量以坐标形式出现时,其数量积的计算用坐 标法;如果建立坐标系,表示向量的有向线段可用坐标表示,计 算向量较简单.

→ → (2)已知正方形 ABCD 的边长为 2,E 为 CD 的中点,则AE· BD= ________.

→ 、AD → 为基底表示AE → 和BD → 后直接计算数量积. 解析:基本法:以AB 1→ → → → → → AE=AD+ AB,BD=AD-AB, 2
?→ 1→? → → → → ∴AE· BD=?AD+2AB?· (AD-AB) ? ?

1 2 →2 1→2 2 =|AD| -2|AB| =2 -2×2 =2.

速解法: (坐标法)先建立平面直角坐标系, 结合向量数量积的坐标 运算求解. 如图,以 A 为坐标原点,AB 所在的直线为 x 轴,AD 所在的直线 为 y 轴,建立平面直角坐标系,则 A(0,0),B(2,0),D(0,2),E(1,2), → =(1,2),BD → =(-2,2), ∴AE →· → =1×(-2)+2×2=2. ∴AE BD

答案:2

方略点评: 1.向量的模的求法一是根据向量的定义, 二是将向量的 模转化为三角形的某条边求其长. a· b 2.求非零向量 a,b 的夹角一般利用公式 cos〈a,b〉= 先求 |a||b| 出夹角的余弦值,然后求夹角.也可以构造三角形,将所求夹角 转化为三角形的内角求解,更为直观形象.

? 3 1? 3? → ? ?1 ? → ? 1.(2016· 高考全国丙卷)已知向量BA=? , ?,BC=? , ? 2 ?,则 2 2 2 ? ? ? ?

∠ABC=( A ) A.30° C.60° B.45° D.120°

解析:基本法:根据向量的夹角公式求解.
?1 ? 3 1? 1 3 3? → → → → → ? ? → ? ? ∵BA=? , ?, BC=? , ?, ∴|BA|=1, |BC|=1, BA· BC=2× 2 2? 2? ?2 ? 2

3 1 3 + 2 ×2= 2 , → → BA · BC 3 → → ∴cos∠ABC=cos〈BA,BC〉= =2. → → |BA|· |BC| → ,BC → 〉≤180° ∵0° ≤〈BA , → → ∴∠ABC=〈BA,BC〉=30° .

速解法:如图,B 为原点,则
? ∴∠ABx=60° ,C? ? ?

?1 A? ?2, ?

3? ? 2? ?

3 1? ? ∠CBx=30° ,∴∠ABC=30° . , 2 2? ?

答案:A

2.已知两个单位向量 a,b 的夹角为 60° ,c=ta+(1-t)b.若 b· c =0,则 t=________.

解析:基本法:∵b· c=0, ∴b· [ta+(1-t)b]=0,ta· b+(1-t)· b2=0, 又∵|a|=|b|=1, 〈a,b〉=60° , 1 ∴ t+1-t=0,t=2. 2

速解法:由 t+(1-t)=1 知向量 a、b、c 的终点 A、B、C 共线, 在平面直角坐标系中设
?1 a=(1,0),b=? ?2, ? ?3 3? 3? ? ? ? ,则 c = ,- ?2 ?. 2? 2 ? ? ?

把 a、b、c 的坐标代入 c=ta+(1-t)b,得 t=2.

答案:2

类型三 [例 3] A.1 C. 3

复数的代数运算及几何意义

1+z (1)设复数 z 满足 =i,则|z|=( A ) 1-z B. 2 D.2

1+z 解析:基本法:由已知 =i,可得 1-z i -1 ?i-1?2 z= = i+1 ?i+1??i-1? -2i = =i,∴|z|=|i|=1,故选 A. -2 1+i 速解法:∵ =i,∴z=i,∴|z|=1. 1-i

答案:A

方略点评:1.基本法是利用解方程思想求出未知数 z. 速解法是利用了一个常用特殊运算结果直接得出 z. 2. 复数的代数形式的运算, 类比于多项式的乘除法与合并同类项, 只是利用 z z =|z|2,把 i2 换为-1,复数除法的关键是将分母实数 化. 3. 与复数的模、 共轭复数、 复数相等有关的问题, 可设 z=a+bi(a, b∈R),利用待定系数法求解.

(2)若 a 为实数,且(2+ai)(a-2i)=-4i,则 a=( B ) A.-1 C.1 B.0 D.2

解析:基本法:∵(2+ai)(a-2i)=-4i?4a+(a2-4)i=-4i,
? ?4a=0, ∴? 2 ? ?a -4=-4,

解得 a=0.

速解法:检验法:将 a=0 代入适合题意,故选 B.

答案:B

方略点评: 1.基本法是利用复数相等的条件求解, 速解法是代入检 验排除法,较简单. 2.利用复数相等转化为实数运算是复数实数化思想的具体应用, 是解决复数问题的常用方法.

1.(2016· 高考全国乙卷)设(1+2i)(a+i)的实部与虚部相等,其中 a 为实数,则 a=( A ) A.-3 C.2 B.-2 D.3

解析:基本法:先化简复数,再根据实部与虚部相等列方程求解. (1+2i)(a+i)=a-2+(1+2a)i,由题意知 a-2=1+2a,解得 a= -3,故选 A.

答案:A

2+ai 2.若 a 为实数,且 =3+i,则 a=( D ) 1+i A.-4 C.3 B.-3 D.4

解析:基本法:由已知得 2+ai=(1+i)(3+i)=2+4i,所以 a=4, 故选 D.

答案:D

[终极提升]——登高博见 速解选择题方法——排除法

排除法也叫筛选法或淘汰法,使用排除法的前提条件 方法 是答案唯一,具体的做法是采用简捷有效的手段对各 诠释 个备选答案进行“筛选”,将其中与题干相矛盾的干 扰项逐一排除,从而获得正确结论. 适用 这种方法适用于直接法解决问题很困难或者计算较烦

范围 琐的情况.

(1)对于干扰项易于淘汰的选择题,可采用排除法,能剔

除几个就先剔除几个.
(2)允许使用题干中的部分条件淘汰选项. 解题 (3)如果选项中存在等效命题,那么根据规定——答案唯 规律 一,等效命题应该同时排除. (4)如果选项中存在两个相反的或互不相容的判断,那么

其中至少有一个是假的.
(5)如果选项之间存在包含关系,要根据题意才能判断.


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