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辽宁省实验中学分校2015-2016学年高二数学下学期期中试题 文

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辽宁省实验中学分校 2015-2016 学年度下学期期中考试 数学(文) 高二年级
第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。 1.原点与极点重合,x 轴正半轴与极轴重合,则点(- 2 , ?2 3 )的极坐标是( A. ( ?4, ? )

2π ) 3

B. (4, )

2.经过点 M (1,5) 且倾斜角为

1 ? x ? 1? t ? 2 ? A. ? ?y ? 5? 3 t ? ? 2

2? 的直线的参数方程是( ) 3 ? ? 3 3 x ? 1? t x ? 1? t ? ? ? ? 2 2 B. ? C. ? ? y ? 5? 1 t ? y ? 5? 1 t ? ? ? 2 ? 2

π 3

C. (4,

4π ) 3

D. (4,

2π ) 3

1 ? x ? 1? t ? 2 ? D. ? ?y ? 5? 3 t ? ? 2

? ? 60 ? 90 x ,下列判断 3.工人月工资(元)依劳动生产率(千元)变化的回归直线方程为 y
正确的是( ) A.劳动生产率为 1000 元时,工资为 50 元 B.劳动生产率提高 1000 元时,工资提高 150 元 C.劳动生产率提高 1000 元时,工资提高 90 元 D.劳动生产率为 1000 元时,工资为 90 元 4.对于线性相关关系,下列叙述正确的是( ) A. | r |? (0, ??) , | r | 越大,相关程度越大,反之,相关程度越小 B. r ? (??, ??) , r 越大,相关 程度越大,反之,相关程度越小 C. | r |? 1 ,且 | r | 越接近于 1,相关程度越大;反之, | r | 越接近于 0,相关程度越小 D.以上说法都不对 5. 圆 ? ? 2 2(cos? ? sin ? ) 的圆心极坐标是( A. ( 2, )

3π ) 4

B. ? 2,

? ?

7? ? ? 4 ?

C. (2,

5π ) 4

D. ? 2,

? ?

3? ? ? 4 ?

6.否定“自然数 a、b、c 中恰有一个偶数”时,正确的反设为( ) A.a、b、c 都是奇数 B.a、b、c 都是偶数 C.a、b、c 中至少有两个偶数 D.a、b、c 中至少有两个偶数或都是奇数 7.极坐标系中与圆 ? ? 6sin ? 相切的一条直线的方程为( A. ? sin ? ? 3 B. ? cos ? ? 3 C. ? ? 6 sin(? ? )

?
3

)

D. ? ? 6 sin(? ?

?
3

)

8.在吸烟与患肺病是否有关的计算中,有下面说法: ①若 ? ? 6.635 ,我们有 99%的把握判定吸烟与患肺病有关联,那么在 100 个吸烟的人中必有
2

1

99 个人患肺病; ②由独立性检验可知有 99%的把握判定吸烟与患肺病有关联时,若某人吸烟,那么他有 99% 的可能患有肺病; ③从统计量中求出有 95%的把握判定吸烟与患肺病有关联,是指有 5%的可能性使得推断出 现错 误; 其中说法正确的个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 9. 已知 x , y 的值如表所示:如果 y 与 x 呈线性相关且回归直线方程 为 y ? bx ? A. -

7 ,则 b ? ( 2
B.



x
y
C. -

2 5

3 4

4 6

1 2

1 10

1 10

D.

1 2

10. 有段演绎推理: “直线平行于平面,则该直线平行于平面内所有 直线;已知直线 b ? 平 面 ? ,直线 a ? 平面 ? ,直线 b ∥平面 ? ,则直线 b ∥直线 a ”的结论是错误的,这是因 为( ) A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误 11.曲线 xy ? 1 的一个参数方程是( )
1 ? ?x ? t 2 , A. ? 1 ? y ? t?2 ?

? x ? 2t ? B. ? ?t ? ?y ? 2

? x ? log t2 ? C. ? 2 ? ? y ? log t

? x ? sin ? ? D. ? 1 y? ? sin ? ?

? ? ? x ? cos ? sin ? ? 2 2 12.参数方程 ? ? y ? 1 ?1 ? sin ? ? ? 2 ?
? ?

?0 ? ? ? 2? ?表示(



1? 2? 1? ? C.双曲线的一支,这支过点 ? ? 1, ? 2? ?
A.抛物线的一部分,这部分过 ?1, ?

B. 抛物线的一部分,这部分过 ? ? 1, ? D. 双 曲线的一支,这支过点 ?1, ?

? ?

1? 2?

? ?

1? 2?

第Ⅱ卷 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。

? x ? 1 ? 2t ( t 为参数) ,则直线的斜率为 ? y ? 2 ? 4t ? 14.在极坐标系中,圆 ? ? 4sin ? 的圆心到直线 ? ? ( ? ? R ) 的距离是 3
13. 若直线的参数方程为 ? 15.在极坐标中,已知圆 C 经过点 P 2 2 , 点,圆 C 的极坐标方程是 .

. .

?

?? ? ? ,圆心为直线 ? sin ? ? ? ? ? ? 3 与极轴的交 3? 4 ?

?

16. 在等比数列 ?an ? 中,若 a9 ? 1 ,则有 a1 ? a2 ??? an ? a1 ? a2 ??? a17?n (n ? 17 ,且 n ? N? )

2

成立,类比上述性质,在等差数列 ?bn ? 中,若 b7 ? 0 ,则有



三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17. (本题 10 分)某公司在一次对员工的休闲方式(看电视与运动)与性别之间是否有关系 的调查中,共调查了 124 人,其中女性 70 人中主要休闲方式是看电视的有 43 人,男性中主 要休闲方式是运动的有 33 人。 (1)根据以上数据建立一个 2×2 的列联表; (2) 检验性别与休闲方式是否有关系.

?2 ?

n(n11n22 ? n12 n21 ) 2 n1? n2? n?1n?2
0.100 2.706 0.050 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 0.001 10.828

P( ? 2 ? k )
k

18. (本题 12 分)在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的方程为 x-y+4=0,曲线 C 的参数方程 为?

?x= 3cosα ?y=sinα

(α 为参数).

(1)已知在极 坐标系(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点, 以 x 轴正 π 半轴为极轴)中,点 P 的极坐标为(4, ),判断点 P 与直线 l 的位置关系; 2 (2)设点 Q 是曲线 C 上的一个动点,求它到直线 l 的距离的最小值.

19. (本题 12 分)已知△ABC 的三条边分别为 a,b,c. ab a+b 用分析法证明: < . 1+ ab 1+a+b

20. (本题 12 分)已知曲线 C1 的参数方程是 ?

? ? x ? 2 cos ? (φ 为参数),以坐标原点为极 ? ? y ? 3 sin ?

点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程是 ρ =2.正方形 ABCD 的顶点 π 都在 C2 上,且 A,B,C,D 依逆时针次序排列,点 A 的极坐标为(2, ). 3
3

(1)求点 A,B,C,D 的直角坐标; 2 2 2 2 (2)设 P 为 C1 上任意一点,求|PA| +|PB| +|PC| +|PD| 的取值范围.

21. (本题 12 分)在直角坐标系中,以原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.已知 曲线 C : ? sin 2 ? ? 2a cos? (a ? 0) ,过点 P(?2, ?4) 的直线 l 的参数方程为: ? 直线 l 与曲线 C 分别交于 M , N 两点. (1)写出曲线 C 和直线 l 的普通方程; (2)若 PM , MN , PN 成等比数列,求 a 的值. 22. (本题 12 分)在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为?
?x=acosφ , ? ?y=bsinφ , ? ? ?x=cosφ , ? ?y=sinφ ,

? x ? ?2 ? t , ? y ? ?4 ? t

(φ 为参

数),曲线 C2 的参数方程为?

(a>b>0,φ 为参数).在以 O 为极点,x 轴的

正半轴为极轴的极坐标系中,射线 l:θ =α 与 C1,C2 各有一个交点.当 α =0 时,这两个 交点间的距离为 2,当 α = π 时,这两个交点重合. 2

(1)分别说明 C1,C2 是什么曲线,并求出 a 与 b 的值; π π (2)设当 α = 时,l 与 C1,C2 的交点分别为 A1,B1,当 α =- 时,l 与 C1,C2 的交点分 4 4 别为 A2,B2,求四边形 A1A2B2B1 的面积.

4

辽宁省实验中学分校 2015-2016 学年度下学期期中考试 数学(文) 答案 一、选择题:1.C 2.AD 3.C4.C5.B 二、填空题: 13. -2 14.1 15. ? ? 4cos ? 16. b1 ? b2 ? ? ?bn ? b1 ? b2 ? ? ?b13? n (n ? 13 ,且 n ? N? ) 三、解答题: 17. 解:(1)2×2 的列联表: 休闲方式 性别 女 男 合计 (2)根据列联表中的数据得到 124×(43×33-27×21) χ = ≈6.201. 70×54×64×60
2 2

6.D7.B8.B9.D10.A 11.C12.A

看电视 43 21 64

运动 27 33 60

合计 70 54 124

因为 χ >5.024,所以有 97.5%的把握认为休闲方式与性别有关系. π 18.解:(1)把极坐标系下的点 P(4, )化为直角坐标,得 P(0,4). 2 因为点 P 的直角坐标(0,4)满足直线 l 的方程 x-y+4=0,所以点 P 在直线 l 上. (2)因为点 Q 在曲线 C 上,故可设点 Q 的坐标为( 3cosα ,sinα ),从而点 Q 到直线 l 的距 离为 π 2cos?α + ?+4 6 | 3cosα -sinα +4| π d= = = 2cos(α + )+2 2. 6 2 2 π 由此得,当 cos(α + )=-1 时,d 取得最小值,且最小值为 2. 6 19.证明 依题意 a>0,b>0,所以 1+ ab>0,1+a+b>0, ab a+b 所 以要证 < , 1 + a+b 1+ ab 只需证 ab(1+a+ b)<(1+ ab)(a+b), 2 只需证 ab<a+b,只需证 ab<(a+b) , 2 2 只需证 a +b +ab >0, ? b?2 3 2 2 2 因为 a +b +ab=?a+ ? + b >0 成立, ? 2? 4

2

ab a+b 所以 < 成立. 1+ ab 1+a+b
20.解:(1)由已知可得 π π A(2cos ,2sin ), 3 3

B(2cos( + ),2sin( + )),
5

π 3

π 2

π 3

π 2

C(2cos( +π ), 2sin( +π )), D(2cos( +

π 3

π 3

π 3

3π π 3π ),2sin( + )), 2 3 2

即 A(1, 3),B(- 3,1),C(-1,- 3),D( 3,-1). 2 2 2 2 (2)设 P(2cos φ ,3sin φ ),令 S=|PA| +|PB| +|PC| +|PD| ,则 2 2 2 S=16cos φ +12sin φ +16=28+4cos φ . 2 因为 0≤cos φ ≤1,所以 S 的取值范围是[28,32].

21.解: (1) y 2 ? 2ax, y ? x ? 2

? ? x ? ?2 ? ? (2)直线错误!未找到引用源。的参数方程化为 ? ? y ? ?4 ? ? ?
未找到引用源。, 得到 错误!未找到引用源。 ,则有错误!未找到引用源。. 因为错误!未找到引用源。 ,所以错误!未找到引用源。.

2 t 2 ( 为参数),代入错误! t 2 t 2
解得 错误!未找到引用源。

22.解:(1)C1 是圆,C2 是椭圆. 当 α =0 时, 射线 l 与 C1,C2 交点的直角坐标分别为(1,0),(a,0),因为这两点间的距离为 2,所以 a= 3. π 当 α = 时, 2 射线 l 与 C1,C2 交点的直角坐标分别为(0,1),(0,b),因为这两点重合,所以 b=1. (2)C1,C2 的普通方程分别为 x +y =1 和 +y =1. 9 π 当 α = 时, 4 射线 l 与 C1 交 点 A1 的横坐标为 x= 2 3 10 ,与 C2 交点 B1 的横坐标为 x′= 2 10
2 2

x2

2

π 当 α =- 时,射线 l 与 C1,C2 的两个交点 A2,B2 分别与 A1,B1 关于 x 轴对称,因此四边形 4

A1A2B2B1 为梯形,故四边形 A1A2B2B1 的面积为

2( x '? x)( x '? x) 2 ? 2 5

6


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