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2014高考数学全面突破 最新一轮复习必考题型巩固提升学案:8.3空间点、直线、平面之间的位置关系

时间:2013-11-19

8.3 空间点、直线、平面之间的位置关系 考情分析 1.本讲以考查点、线、面的位置关系为主,同时考查逻辑推理能力与空间想象能力. 2.有时考查应用公理、定理证明点共线、线共点、线共面的问题. 3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题. 基础知识 1.平面的基本性质 (1)公理 1: 如果一条直线上的两点在一个平面内, 那么这条直线上 所有的点都在这个平面内. (2)公理 2:经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面. (3) 公理 3:如果两个平面(不重合的两个平面)有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且 所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线. 推论 1:经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面. 推论 2:经过两条相交直线,有且只有一个平面. 推论 3:经过两条平行直线,有且只有一个平面. 2.直线与直线的位置关系 (1)位置关系的分类
? ?共面直线?平行 ? ?相交 ? ? ?异面直线:不同在任何一个平面内

(2)异面直线所成的角 ①定义: a, 是两条异面直 线, 设 b 经过空间任一点 O 作直线 a′∥a, b′∥b, a′与 b′ 把 所成的锐角或直角叫做异面直线 a,b 所成的角(或夹角). π ②范围:?0,2?. ? ? 3.直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情况. 4.平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况. 5.平行公理:平行于同一条直线的两条直线互相平行. 6.等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补. 注意事项 1 异面直线的判定方法: (1)判定定理: 平面外一点 A 与平面内一点 B 的连线和平面内不经过该点的直线是异面直线. (2)反证法:证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面,从而可得两线异面. 2. (1)公理 1 的作用:①检验平面;②判断直线在平面内;③由直线在平面内判断直线上 的 点在平面内.

(2)公理 2 的作用:公理 2 及其推论给出了确定一个平面或判断“直线共面”的方法. (3)公理 3 的作用:①判定两平面相交;②作两平面相交的交线;③证明多点共线. 题型一 平面的基本性质 【例 1】正方体 ABCDA1B1C1D1 中,P、Q、R 分别是 AB、AD、B1C1 的中点,那么,正方体 的过 P、Q、R 的截面图形是( A.三角形 解析 B.四边形 ). C.五边形 D.六边形

如图所示,作 RG∥PQ 交 C1D1 于 G,连接 QP 并延长与 CB 交于 M,连接 MR 交 BB1 于 E, 连接 PE、RE 为截面的部分外形. 同理连 PQ 并延长交 CD 于 N,连接 NG 交 DD1 于 F,连接 QF,FG. ∴截面为六边形 PQFGRE. 答案 D 【变式 1】 下列如图所示是正方体和正四面体,P、Q、R、S 分别是所在棱的中点,则四个 点共面的图形是________.

解析

在④图中,可证 Q 点所在棱与面 PRS 平行,因此,P、Q、R、S 四点不共面.可证①中四 边形 PQRS 为梯形;③中可证四边形 PQRS 为平行四边形;②中如图所示取 A1A 与 BC 的中 点为 M、N 可证明 PMQNRS 为平面图形,且 PMQNRS 为正六边形. 答案 ①②③ 题型二 异面直线 【例 2】 已知异面直线 a, 分别在平面 α, 内, α∩β=c, 4. b β 且 那么直线 c 一定( A.与 a,b 都相交 B.只能与 a,b 中的一条相交 )

C.至少与 a,b 中的一条相交 D.与 a,b 都平行 解析:若 c 与 a、b 都不相交,则 c 与 a、b 都平行.根据公理 4,则 a∥b.与 a、b 异面 矛盾. 答案:C 【训练 2】 在下图中,G、H、M、N 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线 GH、MN 是异面直线的图形有________(填上所有正确答案的序号).

解析 如题干图(1)中,直线 GH∥MN; 图(2)中,G、H、N 三点共面,但 M?面 GHN,因此直线 GH 与 MN 异面; 图(3)中,连接 MG,GM∥HN,因此 GH 与 MN 共面; 图(4)中,G、M、N 共面,但 H?面 GMN, ∴GH 与 MN 异面.所以图(2)、(4)中 GH 与 MN 异面. 答案 (2)(4) 题型三 异面直线所成的角 【例 3】如图,矩形 ABCD 中,AB=2,BC=4,将△ABD 沿对 角线 BD 折起到△A′BD 的位置, 使点 A′在平面 BCD 内的射影点 O 恰好落在 BC 边上, 则异面直线 A′B 与 CD 所成角的大小为________. 解析:如题图所示, 由 A′O⊥平面 ABCD, 可得平面 A′BC⊥平面 ABCD, 又由 DC⊥BC 可得 DC⊥平面 A′BC,DC⊥A′B, 即得异面直线 A′B 与 CD 所成角的大小为 90° . 【变式 3】 A 是△BCD 平面外的一点,E,F 分别是 BC,AD 的中点. (1)求证:直线 EF 与 BD 是异面直线; (2)若 AC⊥BD,AC=BD,求 EF 与 BD 所成的角. (1)证明 假设 EF 与 BD 不是异面直线,则 EF 与 BD 共面,从而 DF 与 BE 共面,即 AD 与 BC 共面,所以 A、B、C、D 在同一平面内,这与 A 是△BCD 平面外的一点相矛盾.故直线 EF 与 BD 是异面直线. (2)解

如图,取 CD 的中点 G,连接 EG、FG,则 EG∥BD,所以相交直线 EF 与 EG 所成的角, 即为异面直线 EF 与 BD 所成的角. 1 在 Rt△EGF 中,由 EG=FG= AC,求得∠FEG=45° ,即异面直线 EF 与 BD 所成的角为 2 45° . 题型四 点共线、点共面、线共点的证明 【例 4】?正方体

ABCDA1B1C1D1 中,E、F 分别是 AB 和 AA1 的中点.求证: (1)E、C、D1、F 四点共面; (2)CE、D1F、DA 三线共点. 证明 (1)如图,连接 EF,CD1,A1B.

∵E、F 分别是 AB、AA1 的中点, ∴EF∥BA1. 又 A1B∥D1C,∴EF∥CD1, ∴E、C、D1、F 四点共面. (2)∵EF∥CD1,EF<CD1, ∴CE 与 D1F 必相交,设交点为 P, 则由 P∈CE,C E?平面 ABCD, 得 P∈平面 ABCD.

同理 P∈平面 ADD1A1. 又平面 ABCD∩平面 ADD1A1=DA, ∴P∈直线 DA,∴CE、D1F、DA 三线共点. 【变式 4】 如图所示,已知空间四边形 ABCD 中,E、 H 分别是边 AB、AD 的中点,F、G CF CG 2 分别是边 BC、CD 上的点,且 = = ,求证:三条直线 EF、GH、AC 交于一点. CB CD 3 证明 ∵E、H 分别为边 AB、AD 的中点, 1 CF CG 2 ∴EH 綉 BD,而 = = , 2 CB CD 3 FG 2 ∴ = ,且 FG∥BD. BD 3 ∴四边形 EFGH 为梯形,从而两腰 EF、GH 必相交于一点 P. ∵P∈直线 EF,EF?平面 ABC,∴P∈平面 ABC. 同理,P∈平面 ADC. ∴P 在平面 ABC 和平面 ADC 的交线 AC 上,故 EF、GH、AC 三直线交于一点. 【例 5】l1,l2,l3 是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是 ( A.l1⊥l2,l2⊥l3?l1∥l3 B.l1⊥l2,l2∥l3?l1⊥l3 C.l1∥l2∥l3?l1,l2,l3 共面 D.l1,l2,l3 共点?l1,l2,l3 共面 解析 在空间中,垂直于同一直线的两条直线不一定平行,故 A 错;两平行线中的一条垂 直于第三条直线,则另一条也垂直于第三条直线,B 正确;相互平行的三条直 线不一定共面,如三棱柱的三条侧棱,故 C 错;共点的三条直线不一定共面,如三棱锥的 三条侧棱,故 D 错. 答案 B 巩固提高 1.设 A、B、C、D 是空间四个不同的点,在下列命题中,不正确的是 . ( A.若 AC 与 BD 共面,则 AD 与 BC 共面 B.若 AC 与 BD 是异面直线,则 AD 与 BC 是异面直线 C.若 AB=AC,DB=DC,则 AD=BC D.若 AB=A C,DB=DC,则 AD⊥BC 解析:A 中,若 AC 与 BD 共面,则 A、B、C、D 四点共面,则 AD 与 BC 共面; B 中,若 AC 与 BD 是异面直线,则 A、B、C、D 四点 不共面,则 AD 与 BC 是异面直 线; ) ).

C 中,若 AB=AC,DB=DC,AD 不一定等于 BC; D 中,若 AB=AC,DB=DC,可以证明 AD⊥BC. 答案:C 2.已知 a、b、c、d 是空间四条直线,如果 a⊥c,b⊥c,a⊥d,b⊥d,那么( A.a∥b 且 c∥d B.a、b、c、d 中任意两条可能都不平行 C.a∥b 或 c∥d D.a、b、c、d 中至多有一对直线互相平行 解析:若 a 与 b 不平行,则存在平面 β,使得 a?β 且 b?β,由 a⊥c,b⊥c,知 c⊥β, 同理 d⊥β,所以 c∥d.若 a∥b,则 c 与 d 可能平行,也可能不平行.结合各选项知选 C. 答案:C 3.对两条不相交的空间直线 a 与 b,必存在平面 α,使得( A.a?α,b?α C.a⊥α,b⊥α B.a?α,b∥α D.a?α,b⊥α ) )

解析:不相交的直线 a,b 的位置有两种:平行或异面.当 a,b 异面时,不存在平面 α 满足 A、C;又只有当 a⊥b 时,D 才可能成立. 答案:B 4.已知空间中有三条线段 AB、BC 和 CD,且∠ABC=∠BCD,那么直线 AB 与 CD 的 位置关系是( A.AB∥CD B. AB 与 CD 异面 C.AB 与 CD 相交 D.AB∥CD 或 AB 与 CD 异面或 AB 与 CD 相交 解:若三条线段共面,如果 AB、BC、CD 构成等腰三角形,则直线 AB 与 CD 相交,否 则直线 AB 与 CD 平行;若不共面,则直线 AB 与 CD 是异面直线,故选 D. 答案:D 5.a,b,c 是空间中的三条直线,下面给出三个命题: ①若 a∥b,b∥c,则 a∥c; ②若 a 与 b 相交,b 与 c 相交,则 a 与 c 相交; ③若 a,b 与 c 成等角,则 a∥b. 上述命题中正确的命题是________(只填序号) 解析:由基本性知①正确;当 a 与 b 相交,b 与 c 相交时,a 与 c 可以相交、平行,也 可以异面,故②不正确;当 a,b 与 c 成等角时,a 与 b 可以相交、平行,也可以异面,故 ③不正确. )

答案:① 答案:90°


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