nbhkdz.com冰点文库

数学文卷·2014届河北省衡水中学高三下学期第一次模拟考试(2014.04)

时间:2014-04-24


2013~2014 学年度第二学期高三年级一模考试 数学(文科)试卷 本试卷分为第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分.满分 150 分.考试时间 120 分 钟. 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题: (本题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在四个选项中,只有一项是 符合要求的) 1.设全集为实数集 R, M ? x x ? 4 , N ? x 1 ? x ? 3 ,则图中阴影部分表示的集合是
2

?

?

?

?

(

) A. x ?2 ? x ? 1 C. x 1 ? x ? 2

?

?

B. x ?2 ? x ? 2 D. x x ? 2

?

?

?

?

?

?
a?i 为纯虚数”的( a ?i


2.设 a ? R, i 是虚数单位,则“ a ? 1 ”是“ A.充分不必要条件 C.充要条件

B.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件

3.若 {an } 是等差数列,首项 a1 ? 0, a2011 ? a2012 ? 0 , a2011 ? a2012 ? 0 ,则使前 n 项和 S n ? 0 成立的最大正整数 n 是( A.2011 B.2012 ) C.4022 D.4023

4. 在某地区某高传染性病毒流行期间,为了建立指标显示疫情已受控制,以便向该地区居 众显示可 以过正常生活,有公共卫生专家建议的指标是“连续 7 天每天新增感染人数不超过 5 人” , 根据连续 7 天的新增病例数计算,下列各选项中,一定符合上述指标的是( ①平均数 x ? 3 ;②标准差 S ? 2 ;③平均数 x ? 3 且标准差 S ? 2 ; ④平均数 x ? 3 且极差小于或等于 2;⑤众数等于 1 且极差小于或等于 1。 A.①②B.③④C.③④⑤D.④⑤ 5.在长方体 ABCD—A1B1C1D1 中, 对角线 B1D 与平面 A1BC1 相交于点 E, 则点 E 为△A1BC1 的 (
第 1 页 共 12 页





A.垂心 B.内心 C.外心 D.重心

?3 x ? y ? 6 ? 0, ? 6. 设 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ? 0, 若目标函数 z ? ax ? by (a, b ? 0) 的最大 ? x, y ? 0, ?
值是 12,则 a 2 ? b 2 的最小值是( A. )

6 13

B.

36 5

C.

6 5

D.

36 13


7.已知三棱锥的三视图如图所示,则它的外接球表面积为( A.16 ? B.4 ? C.8 ? D.2 ?

8.已知函数 f ? x ? ? 2sin(? x ? ? ) (? ? 0, ?? ? ? ? ?) 图像的一部分(如 图所示) ,则 ? 与 ? 的值分别为( A. )

11 5? ,? 10 6

B. 1, ?

2? 3

C.

7 ? ,? 10 6

D.

4 ? ,? 5 3

9. 双曲线 C 的左右焦点分别为 F1 , F2 , 且 F2 恰为抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点 , 设 双曲线 C 与该抛物线的一个交点为 A ,若 ?AF1 F2 是以 AF1 为底边的等腰三角形, 率为( )

则双曲线 C 的离心

A. 2 B. 1 ? 2 C. 1 ? 3 D. 2 ? 3 10. 已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,若对于任意给定的不等实数 x1 , x2 ,不等式

x1 f ( x1 ) ? x 2 f ( x 2 ) ? x1 f ( x 2 ) ? x 2 f ( x1 ) 恒 成 立 , 则 不 等 式 f (1 ? x) ? 0 的 解 集 为
( ) A. (??,0)
2

B. ?0,?? ?
2

C. (??,1)

D. ?1,?? ?

11.已知圆的方程 x ? y ? 4 ,若抛物线过点 A(0,-1),B(0,1)且以圆的切线为准线,则 抛物线的焦点轨迹方程是( A. + =1(y≠0) 3 4 C. + =1(x≠0) 3 4 12. 已知函数 f ( x) ? )

x2 y2 x2 y2

B. + =1(y≠0) 4 3 D. + =1 (x≠0) 4 3

x2 y2 x2 y2

4 3 与 g ( x) ? x ? t ,若 f ( x) 与 g ( x) 的交点在直线 y ? x 的两侧, x

第 2 页 共 12 页

则实数 t 的取值范围是 (

A. (?6, 0]

B. (?6, 6)

C. (4, ??)

D. (?4, 4)

第Ⅱ卷

非选择题 (共 90 分)

二、填空题(本题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分. 把每小题的答案填在答题纸的相应 位置) 13.将一枚骰子抛掷两次,若先后出现的点数分别为 b, c ,则方程 x 2 ? bx ? c ? 0 有实根的 概率为 14.某程序框图如图所示,该程序运行后输出的 S 的值是 15. 边长为 2 2 的正△ABC 内接于体积为 4 3? 的球, 则球面上的点 到△ABC 最大距离为 。

16. 在 ?ABC 中, P 是 BC 边中点,角 A , B , C 的对边分别是 a ,

b , c ,若 c AC ? aPA ? bPB ? 0 ,则 ?ABC 的形状为

????

??? ?

??? ?

?



三、解答题(共 6 个题, 共 70 分,把每题的答案填在答卷纸的相应 位置) 17.(本题 12 分) 在△ ABC 中, a, b, c 是角 A, B, C 对应的边,向量
F E

D

m ? (a ? b, c) , n ? ?a ? b,?c ? ,且 m ? n ? ( 3 ? 2)ab .
B

G A C

(1)求角 C ; (2)函数 f (x ) ? 2 sin(A ? B ) cos 2 (?x ) ? cos(A ? B ) sin(2?x ) ? 1 的 2 相邻两个极值的横坐标分别为 x0 ?

?
2

、 x0 ,求 f ( x) 的单调递减区间.

18.(本题 12 分)如图,三角形 ABC 中, AC ? BC ?

2 AB , ABED 是边长为 1 的正方形, 2

平面 ABED ⊥底面 ABC ,若 G 、 F 分别是 EC 、 BD 的中点. (1)求证: GF ∥底面 ABC ;
第 3 页 共 12 页

(2)求证: AC ⊥平面 EBC ; (3)求几何体 ADEBC 的体积.

19.(本题 12 分)参加市数学调研抽测的某校高三学生成绩分析的茎叶图和频率分布直方 图均受到不同程度的破坏,但可见部分信息如下,据此解答如下问题:

(1)求参加数学抽测的人数 n 、抽测成绩的中位数及分数分别在 ?80,90 ? , ?90,100? 内的 人数; ( 2 )若从分数在 ?80,100? 内的学生中任选两人进行调研谈话,求恰好有一人分数在

?90,100? 内的概率.

20.(本题12分) 已知椭圆 C :

1 x2 y2 ,且椭圆C的离心率为 . ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )过点(2,0) 2 2 a b

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ) 若动点 P 在直线 x ? ?1 上, 过 P 作直线交椭圆 C 于 M , 且 P 为线段 MN 中 N 两点, 点,再过 P 作直线 l ? MN .求直线 l 是否恒过定点,若果是则求出该定点的坐标,不是请 说明理由。
第 4 页 共 12 页

21. (本题 12 分)已知函数 f ( x) ? ax ? ln x ( a ? R )
2

当 a=2 时,求 f ( x) 在区间[e,e ]上的最大值和最小值; (2)如果函数 g ( x) 、 f1 ( x) 、 f 2 ( x) 在公共定义域 D 上,满足 f1 ( x) < g ( x) < f 2 ( x) ,那么就 称 g ( x) 为 f1 ( x) 、f 2 ( x) 的“伴随函数”. 已知函数 f1 ( x) ? (a ? ) x 2 ? 2ax ? (1 ? a 2 ) ln x ,

2

1 2

f 2 ( x) ?

1 2 x ? 2ax ,若在区间(1,+∞)上,函数 f ( x) 是 f1 ( x) 、 f 2 ( x) 的“伴随函数”, 2

求 a 的取值范围。

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.答题时 用 2B 铅笔在答题卡上把所选的题号涂黑. 22. (本小题满分 10 分) 选修 4—1:几何证明选讲 已知 PQ 与圆 O 相切于点 A,直线 PBC 交圆于 B、C 两点,D 是圆上一点,且 AB∥CD,DC 的

延长线交 PQ 于点 Q

(1) 求证: AC

2

? CQ ? AB

(2) 若 AQ=2AP,AB= 3 ,BP=2,求 QD.

23.(本小题满分 10 分) 选修 4—4:坐标系与参数方程
第 5 页 共 12 页

在平面直角坐标系中,曲线 C1 的参数方程为 ?

? x ? a cos ? ? y ? b sin ?

(a>b>0, ? 为参数),以

Ο 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 是圆心在极轴上且经过极点的圆, 已知曲线 C1 上的点 M (2, 3 ) 对应的参数 φ = (1)求曲线 C1,C2 的方程; (2)A(ρ 1,θ ),Β (ρ 2,θ +

?
3

,? ?

?
4

与曲线 C2 交于点 D ( 2 ,

?
4

)

?
2

)是曲线 C1 上的两点,求

1

?

2 1

?

1
2 ?2

的值。

24.(本小题满分 l0 分) 选修 4—5:不等式选讲 已知关于 x 的不等式 | 2 x ? 1 | ? | x ? 1 |? log 2 a (其中 a ? 0 ) . (1)当 a ? 4 时,求不等式的解集; (2)若不等式有解,求实数 a 的取值范围

2013~2014 学年度第二学期高三年级一模考试
第 6 页 共 12 页

数学(文科)答案
一、选择题 (A 卷)CACDD DBABC CB (B 卷)CACBB BDADC CD

二、填空题 13、

19 36

14、 ?

1 2

15、等边三角形

16.

4 3 3

三、解答题 17、 解: (1) 因为 m ? (a ? b , c ), n ? (a ? b ,?c ), m ? n ? ( 3 ? 2)ab , 所以 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 3ab , 故

cos C ?

? 3 ,? 0 ? C ? ? ,?C ? . ---------5 分 6 2
1 2

(2) f (x ) ? 2 sin( A ? B ) cos 2 (?x ) ? cos(A ? B ) sin( 2?x ) ? = 2 sin C cos 2 (?x ) ? cos C sin( 2?x ) ? = cos 2 (?x ) ? = sin( 2?x ?

1 2

3 1 sin( 2?x ) ? 2 2
----------8 分

? ) 6

因为相邻两个极值的横坐标分别为 x0 ?

?
2

、 x0 ,所以 f (x ) 的最小正周期为

T ? ? ,? ?1

) ---------10 分 6 ? ? 3? ,k ?Z 由 2k ? ? ? 2x ? ? 2k ? ? 2 6 2 ? 2 所以 f ( x) 的单调递减区间为 [k ? ? , k ? ? ? ], k ? Z . 6 3
18、解: (I)解:取 BE 的中点 H ,连结 HF , GH , (如图)

所以 f (x ) ? sin( 2x ?

?

---------12 分

因为 G , F 分别是 EC 和 BD 的中点,所以 HG // BC , HF // DE , 又因为 ADEB 为正方形, 所以 DE // AB ,从而 HF // AB ,

所以 HF // 平面 ABC , HG // 平面 ABC , HF ? HG ? H , 所以平面 HGF //平面 ABC ,所以 GF //平面 ABC . ------- 4 分

(2)因为 ADEB 为正方形,所以 EB ? AB ,所以 GF // 平面 ABC , 又因为平面 ABED ⊥平面 ABC ,所以 BE ? 平面 ABC ,
第 7 页 共 12 页

所以 BE ? AC ,又因为 CA ? CB ? AB ,
2 2 2

所以 AC ? BC ,因为 BC ? BE ? B , 所以 AC ? 平面 BCE . ------- 8 分

连结 CN ,因为 AC ? BC ,所以 CN ? AB , 又平面 ABED ⊥平面 ABC , CN 平面 ABC ,所以 CN ⊥平面 ABED 。 因为三角形 ABC 是等腰直角三角形,所以 CN ?

1 1 AB ? , 2 2 1 1 因为 C ? ABED 是四棱锥,所以 VC ? ABED = S ABED ? CN ? . 3 6

------- 12 分

19. 解:解析: ( 1)分数在 ?50, 60 ? 内的频数为 2 , 由频率分布直方图可以看出,分数在

?90,100? 内同样有 2


人.

-------

2 分,

2 ? 10 ? 0.008 , 得 n ? 25 , n

茎叶图可知抽测成绩的中位数为 73 .

? 分数在 ?80,90 ? 之间的人数为 25 ? ? 2 ? 7 ? 10 ? 2 ? ? 4
参加数学竞赛人数 n ? 25 , 中位数为 73, 分数在 ?80,90 ? 、 ?90,100? 内的人数分别为 4 人、

2 人.

------- 6 分

(2)设“在 ?80,100? 内的学生中任选两人,恰好有一人分数在 ?90,100? 内”为事件 M , 将 ?80,90 ? 内的 4 人编号为 a,b,c,d ; ?90,100? 内的 2 人编号为 A,B , 在 ?80,100? 内 的 任 取 两 人 的 基 本 事 件 为 : ab,ac, ad ,aA,aB, bc,bd ,

bA,bB, cd ,cA,cB,dA,dB,AB 共 15 个

------- 9 分

其中,恰好有一人分数在 ?90,100? 内的基本事件有 aA,aB, bA,bB, cA, cB,dA,dB,共 8 个, 故所求的概率得 P ? M ? =

8 15 8 15
------- 12 分

答:恰好有一人分数在 ?90,100? 内的概率为

20.解析:解: (Ⅰ)因为点 (2 , 0) 在椭圆 C 上,所以 所以 a 2 ? 4 , ------1分
第 8 页 共 12 页

4 0 ? ? 1, a 2 b2

a ?b 1 c 1 1 因为椭圆 C 的离心率为 ,所以 ? ,即 ? , ------- 2 分 2 2 a 4 a 2
2 2

解得 b 2 ? 3 ,

所以椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1. 4 3

-------

4分

(Ⅱ)设 P (?1 , y0 ) , y0 ? (?

3 3 ,), 2 2

① 当 直 线 MN 的 斜 率 存 在 时 , 设 直 线 MN 的 方 程 为 y ? y0 ? k ( x ? 1) , M ( x1 , y1 ) ,

N ( x2 , y2 ) ,

?3 x 2 ? 4 y 2 ? 12 , 2 由? 得 (3 ? 4k 2 ) x 2 ? (8ky0 ? 8k 2 ) x ? (4 y0 ? 8ky0 ? 4k 2 ? 12) ? 0 , y ? y ? k ( x ? 1) , 0 ?
所以 x1 +x2 ? ?

8ky0 ? 8k 2 , 3 ? 4k 2

8ky0 ? 8k 2 x1 ? x2 因为 P 为 MN 中点,所以 = ? 2. = ? 1 ,即 ? 3 ? 4k 2 2
所以 k MN ?

3 ( y0 ? 0) , 4 y0

------- 8 分

4 y0 , 3 4y 4y 1 所以直线 l 的方程为 y ? y0 ? ? 0 ( x ? 1) ,即 y ? ? 0 ( x ? ) , 3 3 4 1 显然直线 l 恒过定点 (? , 0) . ------- 10 分 4
因为直线 l ? MN ,所以 kl ? ? ②当直线 MN 的斜率不存在时,直线 MN 的方程为 x ? ?1 , 此时直线 l 为 x 轴,也过点 (? 综上所述直线 l 恒过定点 (?

1 , 0) . 4

1 , 0) .------- 12 分 4
2

21.解:(Ⅰ)当 a=2 时, f ( x) ? 2 x ? ln x ,则 f ?( x) ? 4 x ? 当 x∈[e,e2]时, f ?( x) ? 0 ,即此时函数 f ( x) 单调递增, ∴ f ( x) 的最大值为 f(e2)=4e4+lne2=2+4e4,
第 9 页 共 12 页

1 4x2 ?1 ? x x

最小值为 f(e)=2e2+lne=1+2e2.---------4 分 (Ⅱ)若在区间(1,+∞)上,函数 f ( x) 是 f1 ( x) 、 f 2 ( x) 的“伴随函数”, 即 f1 ( x) < f ( x) < f 2 ( x) ,令 p ( x) ? f ( x) ? f 2 ( x) ? (a ? ) x 2 ? 2ax ? ln x ? 0 在 (1,+∞)上恒成立, h( x) ? f1 ( x) ? f ( x) ? ? 立, 因为 p?( x) ? (2a ? 1) x ? 2a ? ① 若a ?

1 2

1 2 x ? 2ax ? a 2 ln x ? 0 在(1,+∞)上恒成 2

1 (2a ? 1) x 2 ? 2ax ? 1 ( x ? 1)[(2a ? 1) x ? 1] ? ? x x x

1 1 ,由 p?( x) ? 0 得 x1 ? 1或x 2 ? 2 2a ? 1 1 当 x2 ? x1 ? 1 ,即 ? a ? 1 时,在(x2,+∞)上,有 p?( x) ? 0 ,此时函数单调递增, 2
并且在该区间上有 p ( x) ? p ( x2 ) ,不合题意. 当 x2<x1=1,即 a≥1 时,同理可知在区间(1,+∞)上,有 p ( x) ? p (1) ,不合题意.

1 ,则有 2a-1≤0,此时在区间(1,+∞)上,有 p'(x)<0,此时函数 p(x) 2 1 1 单调递减,要使 p(x)<0 恒成立,只需要满足 p (1) ? ? a ? ? 0 ,即 a ? ? 可 2 2 1 1 此时 ? ? a ? ,--------9 分 2 2
②若 a≤ 又 h?)( x) ? ? x ? 2a ?

a 2 ? x 2 ? 2ax ? a 2 ? ( x ? a ) 2 ? ? ? 0 ,则 h(x)在(1,+∞) x x x
1 1 ? 2a ? 0 ,所以 a ? 2 4
--------11 分

上为减函数,则 h(x)<h(1)= ?

即 a 的取值范围是 [ ?

1 1 , ]。 2 4

--------12 分

22. (Ⅰ) 因为 AB∥CD, 所以∠PAB=∠AQC, 又 PQ 与圆 O 相切于点 A, 所以∠PAB=∠ACB, 因为 AQ 为切线,所以∠QAC=∠CBA,所以△ACB∽△CQA,所以 所以 AC
2

AC AB , ? CQ AC

? CQ ? AB

???5 分

第 10 页 共 12 页

( Ⅱ ) 因 为 AB ∥ CD , AQ=2AP , 所 以

BP AP AB 1 ? ? ? , 由 AB= PC PQ QC 3

3 ,BP=2 得

QC ? 3 3 ,PC=6

AP 为圆 O 的切线 ? AP 2 ? PB ? PC ? 12 ? QA ? 4 3
又因为 AQ 为圆 O 的切线 ? AQ 2 ? QC ? QD ? QD ? 23.解:(1)将 M (2, 3 ) 及对应的参数 φ =

16 3 3

???10 分

?
3

,? ?

?
4

;代入 ?

? x ? a cos ? 得 ? y ? b sin ?

? ? 2 ? a cos ? ?a ? 4 x2 y2 ? 3 ,所以 ? , 所 以 C1 的方程为 ? ? 1, ? 16 4 ?b ? 2 ? 3 ? b sin ? ? 3 ?
设圆 C2 的半径 R,则圆 C2 的方程为:ρ =2Rcosθ (或(x-R) +y =R ),将点 D ( 2 , 入得:∴R=1 ∴圆 C2 的方程为:ρ =2cosθ (或(x-1) +y =1)--------5 分 (2)曲线 C1 的极坐标方程为:
2 2 2 2 2

?
4

)代

? 2 cos 2 ?
16
2

?

? 2 sin 2 ?
4

? 1 ,将 A(ρ 1,θ ),Β (ρ 2,

θ +

?
2

)代入得:

?1 cos ?
2 2

16

?

?1 sin ?
2

4

? 1,

? ? 2 2 cos 2 (? ? )
16

2 ?

? ? 2 2 sin 2 (? ? )
4

2 ?1

所以

1

?12
1
2 1

?

1
2 ?2

?(

cos 2 ? sin 2 ? sin 2 ? cos 2 ? 1 1 5 ? )?( ? )? ? ? 16 4 16 4 16 4 16
5 。 16
--------10 分



?

?

1

?

2 2

的值为

1 时, 不等式为-x-2≤2, 2 1 1 1 2 解 得? 4≤ x < ? ;当? ≤ x ≤ 1 时,不等式为 3x≤2,解得? ≤ x ≤ ;当 x> 2 2 2 3
24.解: (Ⅰ) 当 a=4 时, 不等式即|2x+1|-|x-1|≤2, 当 x< ? 1 时,不等式为 x+2≤2,此时 x 不存在. 综上,不等式的解集为{ x | ? 4≤ x ≤

2 } 3

--------5 分

第 11 页 共 12 页

?? x ? 2 ? ?3x (Ⅱ)设 f(x)=|2x+1|-|x-1|= ?x ? 2 ?
故f (x) 的最小值为?

x?? ?

1 2

1 ? x ?1 2 x ?1

2 3 3 , 所以, 当f ( x) ≤log2a 有解, 则有 log 2 a ? ? , 解得 a ≥ , 4 2 2

即 a 的取值范围是 [

2 ,??) 。 4

--------10 分

第 12 页 共 12 页


赞助商链接

2018届河北省衡水中学高三下学期第一次模拟考试语文试...

2018届河北省衡水中学高三下学期第一次模拟考试语文试题及答案 - 2018 学年度第二学期高三一模考试 语文试题 A卷 本试卷分第 I 卷(阅读题)和第 II 卷(表达题...

2018届河北省衡水中学高三下学期第一次模拟考试理科综...

2018届河北省衡水中学高三下学期第一次模拟考试理科综合试题及答案 - 河北衡水中学度第二学年度高三年级第一次 模拟考试 理科综合试卷 (考试时间 150 分钟 注意...

2018届河北省衡水中学高三下学期第一次模拟考试历史试...

2018届河北省衡水中学高三下学期第一次模拟考试历史试题及答案 - 试卷类型:A 2018~2018学年度高三下学期一模考试 文科综合能力(历史)测试 注意事项: ⑴本试卷分...

数学文卷·2014届河北省衡水中学高三下学期二调考试(20...

数学文卷·2014届河北省衡水中学高三下学期二调考试(2014.03)_数学_高中教育_教育专区。2013—2014 学年度下学期二调考试 高三年级数学试卷(文)本试卷分第I卷和...

2017届河北省衡水中学高三下学期第一次模拟考试物理试...

2017届河北省衡水中学高三下学期第一次模拟考试物理试题及答案 - 河北衡水中学 2017 年度第二学年度高三年 级第一次模拟考试 理科综合(物理)试卷 (考试时间 150 ...

2018届河北省衡水中学高三下学期第一次模拟考试生物试...

2018届河北省衡水中学高三下学期第一次模拟考试生物试题及答案 - 河北衡水中学度第二学年度高三年级第一 次模拟考试 理科综合(生物)试卷 (考试时间 150 分钟 注意...

2017届河北省衡水中学高三下学期第一次模拟考试生物试...

2017届河北省衡水中学高三下学期第一次模拟考试生物试题及答案 - 河北衡水中学 2017 年度第二学年度高三年 级第一次模拟考试 理科综合(生物)试卷 (考试时间 150 ...

河北省衡水中学2016届高三数学下学期第二次模拟考试试...

暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档河北省衡水中学2016届高三数学下学期第次模拟考试试题 理(扫描版)_数学_高中教育_教育专区。河北省衡水中学 2016 届高三数学...

2018届河北省衡水中学高三下学期第一次模拟考试理科综...

2018届河北省衡水中学高三下学期第一次模拟考试理科综合试题及答案 精品 - 河北衡水中学 2018-2018 年度第二学年度高 三年级第一次模拟考试 理科综合试卷 (考试...

2018届河北省衡水中学高三下学期一调考试理科综合试题...

2018届河北省衡水中学高三下学期一调考试理科综合试题及答案 - 2017~2018 学年度高三年级第二学期第一次 调研考试 理科综合能力测试 本试题卷共 11 页,40 题(...