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3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义导学案

时间:2016-03-10


§3.2.1

复数代数形式的加减运算及其几何意义

学习目标 掌握复数的代数形式的加、减运算及其几何意义. 学习过程 一、课前准备 (预习教材 P56~ P58,找出疑惑之处) 复习 1:试判断下列复数 1 ? 4i,7 ? 2i,6, i, ?2 ? 0i,7i,0 ? 3i 在复平面中落在哪象限?并画 出其对应的向量.

复习 2:求复数 z ? log2 2 ? 3i 的模

二、新课导学 探究任务一:复数代数形式的加减运算 规定:复数的加法法则如下: 设 z1 ? a ? bi, z2 ? c ? di ,是任意两个复数,那么。
(a ? bi) ? (c ? di) ? (a ? c) ? (b ? d )i

很明显,两个复数的和仍然是 . 问题:复数的加法满足交换律、结合律吗? 新知:对于任意 z 1 , z2 , z3 ? C ,有 z 1 ? z2 ? z2 ? z1
( z1 ? z2 ) ? z3 ? z1 ? ( z2 ? z3 )

探究任务二:复数加法的几何意义 问题:复数与复平面内的向量有一一对应的关系 .我们讨论过向量加法的几何意

义,你能由此出发讨论复数加法的几何意义吗? 由平面向量的坐标运算,有 OZ = OZ1 ? OZ2 =( 新知:
??? ? ???? ? ???? ?



1

复数加法的几何意义:复数的加法可以按照向量的加法来进行(满足平行四边形、 三角形法则) 试试:计算 (1) (1 ? 4i)+(7 ? 2i) = (2) (7 ? 2i)+(1 ? 4i) = (3) [(3 ? 2i)+(?4 ? 3i)] ? (5 ? i) = (4) (3 ? 2i)+[(?4 ? 3i) ? (5 ? i)] = 反思:复数的加法运算即是: 探究任务三:复数减法的几何意义 问题:复数是否有减法?如何理解复数的减法? 类比实数集中减法的意义,我们规定,复数的减法是加法的逆运算. 新知:复数的减法法则为:
(a ? bi) ? (c ? di) ? (a ? c) ? (b ? d )i

由此可见,两个复数的差是一个确定的复数. 复数减法的几何意义:复数的减法运算也可以按向量的减法来进行. ※ 典型例题 例 1 计算 (5 ? 6i) ? (?2 ? i) ? (3 ? 4i)

变式:计算 (1) ?8 ? 4i ? ? 5 (2) ? 5 ? 4i ? ? 3i (3)
2 ? 3i 3 ? ? ?2 ? 9i ? ?

?

2 ?i

?

小结: 两复数相加减,结果是实部、虚部分别相加减.
3 ? 2i , ?2 ? 4i , 例 2 已知平行四边形 OABC 的三个顶点 O、 A、 C 对应的复数分别为 0, 试求: ???? ??? ? (1) AO 表示的复数; (2) CA 表示的复数; (3)B 点对应的复数.

2

变式: ABCD 是复平面内的平行四边形, A, B, C 三点对应的复数分别是 1 ? 3i, ?i, 2 ? i , 求点 D 对应的复数.

小结:减法运算的实质为终点复数减去起点复数,即: AB ? zB ? zA ※ 动手试试 练 1. 计算: (1) (2 ? 4i) ? (3 ? 4i) ; (2) 5 ? (3 ? 2i) ; (3) (?3 ? 4i) ? (2 ? i) ? (1 ? 5i) ; (4) (2 ? i) ? (2 ? 3i) ? 4i

??? ?

练 2. 在复平面内, 复数 6 ? 5i 与 ?3 ? 4i 对应的向量分别是 OA 与 OB , 其中 O 是原点, ??? ? ??? ? 求向量 AB , BA 对应的复数.

??? ?

??? ?

三、总结提升 两复数相加减,结果是实部、虚部分别相加减,复数的加减运算都可以按照向量 的加减法进行. ※ 知识拓展 复数的四则运算类似于多项式的四则运算,此时含有虚数单位的看作一类同 类项,不含的看作另一类同类项,分别合并即可. ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. a ? 0 是复数 a ? bi(a, b ? R) 为纯虚数的( ) A.充分非必要条件 B.必要非充分条件
3

C.充分必要条件 D.既非充分也非必要条件 ??? ? ??? ? ??? ? 2. 设 O 是原点,向量 OA ,OB 对应的复数分别为 2 ? 3i , ?3 ? 2i ,那么向量 BA 对应 的复数是( ) A. ?5 ? 5i B. ?5 ? 5i C. 5 ? 5i D. 5 ? 5i 3. 当 ? m ? 1 时,复数 m(3 ? i) ? (2 ? i) 在复平面内对应的点位于(
2 3



A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2 4. i ? i 在复平面内表示的点在第 象限. 5. 已知 z1 ? 3 ? 4i ,点 z 2 和点 z1 关于实轴对称,点 z 3 和点 z 2 关于虚轴对称,点 z 4 和 点 z 2 关于原点对称,则 z 2 = ; z3 = ; z4 = 课后作业 1. 计算: (1) (6 ? 5i) ? (3 ? 2i) ; (2) 5i ? (2 ? 2i) ;
2 2 1 3 3 3 2 4 (4) (0.5 ? 1.3i) ? (1.2 ? 0.7i) ? (1 ? 0.4i)

(3) ( ? i) ? (1 ? i) ? ( ? i) ;

2. 如图的向量 OZ 对应的复数是 z ,试作出下列运算的结果对应的向量: (1) z ?1 ; (2) z ? i ; (3) z ? (2 ? i)

??? ?

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