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北京市西城区2013届高三第二次模拟数学理科2013.5

时间:2013-05-12


2013 北京西城区高三二模数学理科
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 在每小题给出的四个选项中,选出符合要求 的一项 1. 设集合 U ? {1, 2,3, 4,5} , A ? {1, 2,3} , B ? {3, 4,5} ,则 CU ( A ? B) 等于 A. {1, 2,3, 4,5} B. {1, 2, 4,5} √ C. {1, 2,5} D. {3}

2. “ ln x ? 1 ”是“ x ? 1 ”的 A.充分不必要条件 √ C.充要条件 3. 若 b ? a ? 0 ,则下列不等式中正确的是 A.

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

1 1 ? a b

B. a ? b

C.

b a ? ?2 √ a b

D. a ? b ? ab

4. 如图,三棱柱 ABC ? A1B1C1 的侧棱长和底面 边长均为 2 , 且侧棱 AA1 ? 底面 ABC , (主) 其正 视图是边长为 2 的正方形,则此三棱柱侧(左) 视图的面积为 A. 3 C. 2 2 B. 2 3 D. 4 √ A C1 A1
1 1

B1
2

C B
正(主)视图

5. 数列 {an } 满足 a1 ? 1 , a2 ? 3 , an?1 ? (2n ? ? )an ( n ? 1, 2,? ) ,则 a3 等于 A. 15 √ B. 10 C. 9 D. 5

6. 在 数 列 {an } 中 , a1 ? 1 , an ? an?1 ? n ,

n ? 2. 为计算这个数列前 10 项的和, 现给出该
问题算法的程序框图(如图所示) ,则图中判断 框(1)处合适的语句是 A. i ? 8 B. i ? 9 C. i ? 10 D. i ? 11 √

开始

i ? 0, a ? 0, s ? 0
(1) 否 是

i ? i ?1
a ? a?i

输出 s 结束

s ? s ?a

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7. 设集合 S ? {1 2, , ,集合 A ? {a1 , a2 , a3} 是 S 的子集,且 a1 , a2 , a3 满足 a1 ? a2 ? a3 , , ? 9}

a3 ? a2 ? 6 ,那么满足条件的子集 A 的个数为 A. 78 B. 76 C. 84
8. 如图,在等腰梯形 ABCD 中, AB // CD ,且 AB ? 2 AD .

D. 83 √

? 设 ?DAB ? ? , ? (0,

?
2

) , A ,B 为焦点且过点 D 的 以

D

C

双曲线的离心率为 e1 , C ,D 为焦点且过点 A 的椭圆的离 A 以 心率为 e2 ,则 A.随着角度 ? 的增大, e1 增大, e1e2 为定值 B.随着角度 ? 的增大, e1 减小, e1e2 为定值 C.随着角度 ? 的增大, e1 增大, e1e2 也增大 D.随着角度 ? 的增大, e1 减小, e1e2 也减小 √

?

B

第 2 页 共 5 页

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9. 某区高二年级的一次数学统考中,随机抽取 200 名同学 的成绩,成绩全部在 50 分至 100 分之间,将成绩按如下方 0.045 式分成 5 组:第一组,成绩大于等于 50 分且小于 60 分; 第二组,成绩大于等于 60 分且小于 70 分;??第五组, 成绩大于等于 90 分且小于等于 100 分, 据此绘制了如图所 示的频率分布直方图. 则这 200 名同学中成绩大于等于 80 分且小于 90 分的学生有______名. 10. 在 ( x ?
2

频率/组距

0.025 0.005 0 50 60 70 80 90 100 分数

1 6 ) 的展开式中,常数项是______.(结果用数值表示) x

B C 点D.

11. 如图, ?ABC 是圆的内接三角形, PA 切圆于点 A , PB 交圆于 若

?ABC ? 60?



PD ? 1



BD ? 8



则 A D P

?PAC ? ________, PA ? ________.

12. 圆 C : ?

? x ? 1 ? 2 cos ? , ? ? y ? 2 ? 2 sin ? ?

( ? 为参数)的半径为______, 若圆 C 与直线 x ? y ? m ? 0 相切,则

m ? ______.
13. 设 a, b, c 为单位向量, a , b 的夹角为 60 ,则 (a ? b ? c ) ? c 的最大值为_____.
?

14. 已知函数 f ( x) ? e x ? a ln x 的定义域是 D ,关于函数 f ( x ) 给出下列命题: ①对于任意 a ? (0, ??) ,函数 f ( x ) 是 D 上的减函数; ②对于任意 a ? (??,0) ,函数 f ( x ) 存在最小值; ③存在 a ? (0, ??) ,使得对于任意的 x ? D ,都有 f ( x) ? 0 成立; ④存在 a ? (??,0) ,使得函数 f ( x ) 有两个零点. 其中正确命题的序号是_____. (写出所有正确命题的序号)②、④

.

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三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分 13 分)
? 如图,在四边形 ABCD 中, AB ? 3 , AD ? BC ? CD ? 2 , A ? 60 . (Ⅰ)求 sin ?ABD 的值; (Ⅱ)求 ?BCD 的面积.

C

D

A 16.(本小题满分 13 分)

B

一个盒子中装有 5 张卡片,每张卡片上写有一个数字,数字分别是 1、2、3、4、5,现从盒子 中随机抽取卡片. (Ⅰ)若从盒子中有放回的取 3 次卡片,每次抽取一张,求恰有两次取到的卡片上数字为偶数 的概率; (Ⅱ)若从盒子中依次抽取卡片,每次抽取一张,取出的卡片不放回,当取到一张记有偶数的 卡片即停止抽取,否则继续抽取卡片,求抽取次数 X 的分布列和期望.

17.(本小题满分 13 分) 如图,四棱柱 ABCD ? A B1C1D1 中, A1D ? 平面 ABCD ,底面 ABCD 是边长为1 的正方形, 1 侧棱 AA ? 2 . 1 (Ⅰ)求证: C1D // 平面 ABB1 A ; 1 (Ⅱ) 求直线 BD1 与平面 AC1D 所成角的正弦值; 1 (Ⅲ)求二面角 D ? AC1 ? A 的余弦值. 1 B1 A1 C1 D1

A B C

D

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18.(本小题满分 13 分) 已知 a ? 0 ,函数 f ( x) ? x2 ? ax .设 x1 ? (?? ,?

a ) ,记曲线 y ? f ( x) 在点 M ( x1, f ( x1 )) 处的 2

切线为 l , l 与 x 轴的交点是 N ( x2 ,0) , O 为坐标原点.

x12 (Ⅰ)证明: x2 ? ; 2 x1 ? a
(Ⅱ)若对于任意的 x1 ? ( ??, ? ) ,都有 OM ? ON ?

a 2

???? ???? ?

9a 成立,求 a 的取值范围. 16

19.(本小题满分 14 分) 如图,椭圆 C : x ?
2

y2 ? 1 短轴的左右两个端点分别为 A, B ,直线 l : y ? kx ? 1 与 x 轴、 y 轴分 4
y l D F A E C O B x 求

别交于两点 E , F ,与椭圆交于两点 C , D ,.

??? ??? ? ? (Ⅰ)若 CE ? FD ,求直线 l 的方程;
(Ⅱ) 设直线 AD, CB 的斜率分别为 k1 , k2 , k1 : k2 ? 2 :1 , 若

k 的值.

20.(本小题满分 14 分)

b n 在数列 {an } 和 {bn } 中, n ? a n , n ? (a ? 1)n ? b , ? 1, 2,3,? , 其中 a ? 2 且 a ? N , ? R . b a
*

(Ⅰ)若 a1 ? b1 , a2 ? b2 ,求数列 {bn } 的前 n 项和; (Ⅱ)证明:当 a ? 2, b ? 2 时,数列 {bn } 中的任意三项都不能构成等比数列; (Ⅲ)设 A ? {a1 , a2 , a3 ,? , B ? {b1 , b2 , b3 ,? ,试问在区间 [1, a] 上是否存在实数 b 使得 } }

C ? A ? B ? ? .若存在,求出 b 的一切可能的取值及相应的集合 C ;若不存在,试说明理由.

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