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苏教版高中数学选修2-1第二章圆锥曲线同步练习(二)

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高中数学学习材料
(灿若寒星 精心整理制作)

第二章 圆锥曲线 同步练习(二)

一、选择题

1.如果 x 2 ? ky2 ? 2 表示焦点在 y 轴上的椭圆,那么实数 k 的取值范围是( )
A. ?0,??? B. ?0,2? C. ?1,??? D. ?0,1?

2.以椭圆 x 2 ? y 2 ? 1的顶点为顶点,离心率为 2 的双曲线方程(



25 16

A. x 2 ? y 2 ? 1 16 48

B. x 2 ? y 2 ? 1 9 27

C. x 2 ? y 2 ? 1 或 x 2 ? y 2 ? 1

16 48

9 27

D.以上都不对

3.过双曲线的一个焦点

F2

作垂直于实轴的弦

PQ ,

F1 是另一焦点,若∠

PF1Q

?

? 2



则双曲线的离心率 e 等于( )

A. 2 ?1 B. 2 C. 2 ?1 D. 2 ? 2

4. F1 , F2

是椭圆 x 2 9

?

y2 7

? 1的两个焦点, A 为椭圆上一点,且∠ AF1F2

? 45 0 ,则

Δ AF1F2 的面积为(



A. 7

B. 7 4

C. 7 2

D. 7 5 2

5.以坐标轴为对称轴,以原点为顶点且过圆 x 2 ? y 2 ? 2x ? 6 y ? 9 ? 0 的圆心的抛物线的方

程是( )

A. y ? 3x 2 或 y ? ?3x 2

B. y ? 3x 2

C. y 2 ? ?9x 或 y ? 3x 2

D. y ? ?3x 2 或 y 2 ? 9x

6.设 AB 为过抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点的弦,则 AB 的最小值为( )

A. p B. p 2

C. 2 p D.无法确定

二、填空题

1.椭圆 x2 ? y2 ? 1的离心率为 1 ,则 k 的值为______________。

k ?8 9

2

2.双曲线 8kx2 ? ky2 ? 8 的一个焦点为 (0,3) ,则 k 的值为______________。

3.若直线 x ? y ? 2 与抛物线 y 2 ? 4x 交于 A 、 B 两点,则线段 AB 的中点坐标是______。

4.对于抛物线 y2 ? 4x 上任意一点 Q ,点 P(a,0) 都满足 PQ ? a ,则 a 的取值范围是____。

5.若双曲线 x 2 ? y 2 ? 1 的渐近线方程为 y ? ? 3 x ,则双曲线的焦点坐标是_________.

4m

2

6.设

AB

是椭圆

x2 a2

?

y2 b2

? 1的不垂直于对称轴的弦, M



AB 的中点, O 为坐标原点,

则 kAB ? kOM ? ____________。

三、解答题
1.已知定点 A(?2, 3) , F 是椭圆 x2 ? y2 ? 1的右焦点,在椭圆上求一点 M , 16 12
使 AM ? 2 MF 取得最小值。
2. k 代表实数,讨论方程 kx2 ? 2 y2 ? 8 ? 0 所表示的曲线
3.双曲线与椭圆 x 2 ? y 2 ? 1有相同焦点,且经过点 ( 15, 4) ,求其方程。 27 36
4. 已知顶点在原点,焦点在 x 轴上的抛物线被直线 y ? 2x ?1截得的弦长为 15 ,
求抛物线的方程。
参考答案
一、选择题
1.D 焦点在 y 轴上,则 y2 ? x2 ? 1, 2 ? 2 ? 0 ? k ? 1 22 k k
2.C 当顶点为 (?4, 0) 时, a ? 4, c ? 8,b ? 4 3, x2 ? y2 ? 1; 16 48
当顶点为 (0, ?3) 时, a ? 3, c ? 6,b ? 3 3, y2 ? x2 ? 1 9 27

3.C Δ PF1F2 是等腰直角三角形, PF2 ? F1F2 ? 2c, PF1 ? 2 2c

c1

PF1 ? PF2 ? 2a, 2

2c ? 2c ? 2a, e ? ? a

? 2 ?1

2 ?1

4.C F1F2 ? 2 2, AF1 ? AF2 ? 6, AF2 ? 6 ? AF1

AF22 ? AF12 ? F1F22 ? 2 AF1 ? F1F2 cos 450 ? AF12 ? 4 AF1 ? 8

(6 ?

AF1 )2

?

AF12

? 4AF1

? 8,

AF1

?

7, 2

S ? 1?7?2 2? 2 ? 7

22

22

5.D 圆心为 (1, ?3) ,设 x2 ? 2 py, p ? ? 1 , x2 ? ? 1 y ;

6

3

设 y2 ? 2 px, p ? 9 , y2 ? 9x 2

6.C 垂直于对称轴的通径时最短,即当 x ? p , y ? ? p, AB ? 2 p

2

min

二、填空题

1. 4,或 ? 5 4

当 k ? 8 ? 9 时, e2

?

c2 a2

?

k

?8?9 k ?8

?

1,k 4

?

4;

当 k ? 8 ? 9时, e2

?

c2 a2

?

9?k ?8 9

?

1,k 4

??5 4

2. ?1

焦点在 y 轴上,则 y2 ? x2 ? 1, ? 8 ? (? 1 ) ? 9, k ? ?1

?8 ?1

kk

kk

3. (4, 2)

?y2 ? 4x

?

,

?y ? x?2

x2

? 8x

?

4

?

0,

x1

?

x2

?

8,

y1

?

y2

?

x1

?

x2

?

4

?

4

中点坐标为 ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) ? (4, 2)

2

2

4. ???, 2? 设 Q(t2 ,t) ,由 PQ ? a 得 (t2 ? a)2 ? t2 ? a2,t2 (t2 ?16 ? 8a) ? 0,

4

4

t2 ?16 ? 8a ? 0,t2 ? 8a ?16 恒成立,则 8a ?16 ? 0, a ? 2

5. (? 7, 0) 渐近线方程为 y ? ? m x ,得 m ? 3, c ? 7 ,且焦点在 x 轴上 2

6.

b2 ? a2



A( x1 ,

y1), B(x2 ,

y2 ) ,则中点 M ( x1

? x2 2

,

y1

? 2

y2

)

,得

k AB

?

y2 x2

? ?

y1 x1

,

kOM

?

y2 x2

? ?

y1 x1



k AB

?

kOM

?

y22 x22

? y12 ? x12

, b2 x12 ? a2 y12

? a2b2 ,

b2 x22

? a2 y22

?

a2b2 , 得 b2 (x22

? x12 ) ? a2 ( y22

?

y12 )

? 0, 即

y22 x22

? y12 ? x12

b2 ? ? a2

三、解答题

1.解:显然椭圆 x2 ? y2 ? 1的 a ? 4, c ? 2, e ? 1 ,记点 M 到右准线的距离为 MN

16 12

2

则 MF ? e ? 1 , MN ? 2 MF ,即 AM ? 2 MF ? AM ? MN

MN

2

当 A, M , N 同时在垂直于右准线的一条直线上时, AM ? 2 MF 取得最小值,

此时 M y ? Ay ?

3 ,代入到 x2 16

?

y2 12

?1得 Mx

?

?2

3

而点 M 在第一象限,? M (2 3, 3)

2.解:当 k

? 0 时,曲线

y2 4

?

x2 ?8

? 1为焦点在

y 轴的双曲线;

k

当 k ? 0 时,曲线 2 y2 ? 8 ? 0 为两条平行的垂直于 y 轴的直线;

当0?k

? 2 时,曲线

x2 8

?

y2 4

? 1为焦点在 x

轴的椭圆;

k

当 k ? 2 时,曲线 x2 ? y2 ? 4 为一个圆;

当k

?

2 时,曲线

y2 4

?

x2 8

? 1为焦点在

y

轴的椭圆。

k

3.解:椭圆 y2 36

?

x2 27

? 1的焦点为 (0, ?3), c

? 3,设双曲线方程为

y2 a2

? x2 9 ? a2

?1

过点 (

15, 4) ,则 16 a2

? 15 9 ? a2

? 1 ,得 a2

?

4,或36 ,而 a2

?9,

?a2 ? 4 ,双曲线方程为 y2 ? x2 ? 1 。 45

4.解:设抛物线的方程为

y2

?

2 px

,则

? ?

y

2

?

2 px

, 消去

y



?y ? 2x ?1

4x2

? (2 p ? 4)x ?1 ? 0, x1 ? x2

?

p?2 2 , x1x2

?

1 4

AB ?

1? k 2 x1 ? x2 ?

5

(x1 ? x2 )2 ? 4x1x2 ?

5

( p ? 2)2 ? 4? 1 ?

2

4

15 ,

则 p2 ? p ? 3, p2 ? 4 p ?12 ? 0, p ? ?2,或6 4

? y2 ? ?4x,或y2 ? 12x


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