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湖北省武汉市部分重点中学2011-2012学年度上学期高一期中考试数学试卷

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湖北省武汉市部分重点中学 2011-2012 学年度上学期高一期中考试 数 学 试 卷
全卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。共 150 分,考试时间 120 分钟。

第Ⅰ卷(选择题 共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1.已知集合 U={x︱x 是小于 6 的正整数},A={1,2}, B I (CU A) ={4},则 CU ( A U B ) =( )

A.{3,5} B.{3,4} C.{2,3} D.{2,4} 2.设 A={x| 0 ≤ x ≤ 2 },B={y|1 ≤ y ≤ 2 },下列图形表示集合 A 到集合 B 的函数图形的是 ( )

A B 3.下列函数中,与函数 y=x 相同的函数是( A.y=
x2 x
1 2

C ) C. y = ln e x

D
log 2 x

B.y=( x )

2

D.y= 2

4.给定函数① y = x ,② y = log 1 ( x + 1) ,③ y =| x ? 1| ,④ y = 2 x +1 ,其中在区间
2

(0,1)上单调递减的函数序号是( ) A. ①④ B. ①②
x

C. ②③

D.③④

5.由表格中的数据可以判定方程 e ? x ? 2 = 0 的一个零点所在的区间 ( k , k + 1)( k ∈ N ) , 则 k 的值为( x ) -1 0.37 1 B.1 0 1 2 1 2.72 3 C.2 ) 2 7.39 4 D.3 3 20.09 5

ex
x+2
A.0

6.下列幂函数中,定义域为 R 且为偶函数的个数为( (1) y = x ?2 A.1 个 (2) y = x B.2 个 (3)

y = x3
1

(4) C.3 个

y = x3
2

D.4 个

p q 7. 设 m, n, p 均为正数,且 3 = log 1 m , ( ) = log 3 p , ( ) = log 1 q ,则( 3
m
3

1 3

1 3



A.m>p>q

B. p>m>q

C. m>q>p

D. p>q>m

8.已知 f ( x ) 为偶函数,在 [0, +∞ ) 上为增函数,若 f (l o g 2 x) > f (1) ,则 x 的取值范围为 ( ) B. (0, ) ∪ (2, +∞ )
? x2 + x + 2

A. (2, +∞ ) 9.设函数

1 2

C. ( , 2)

1 2

D. (0,1) ∪ (2, +∞)

f ( x) = 2

,对于给定的正数 K,定义函数 f K ( x) = ?

? f ( x), f ( x) ≤ K 若 ? K , f ( x) > K
)

对于函数 f ( x) = 2 A.K 的最小值为 1

? x2 + x + 2

定义域内的任意 x ,恒有 f K ( x) = f ( x) ,则( B. K 的最大值为 1 D. K 的最大值为 2 2

C.K 的最小值为 2 2

10.已知定义在 [ ?2, 2] 上的函数 y = f (x) 和 y = g (x) ,其图象如下图所示:

给出下列四个命题: ①方程 f [ g ( x)] = 0 有且仅有 6 个根 ③方程 f [ f ( x)] = 0 有且仅有 5 个根 其中正确命题的序号( ) A.①②③ B. ②③④ ②方程 g[ f ( x)] = 0 有且仅有 3 个根 ④方程 g[ g ( x)] = 0 有且仅有 4 个根

C. ①②④

D. ①③④

第Ⅱ卷(非选择题
2

共 100 分)
log 1 x },则 M I N =
2

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.若集合 M={y|y=x -2x+1,x ∈ R},N={x| y = .

12.不查表,化简: log 2

7 1 + log 2 12 ? log 2 42 为 48 2

.

13. 已知 a + a

1 2

?

1 2

= 3 ,则 a + a
2

3 2

?

3 2

的值等于__________.

14. 设集合 P= x|x =1}, { Q={x|ax=1}, Q ? P, 若 则实数 a 的值所组成的集合是_____. 15.定义在 R 上的函数 f ( x ) , 如果存在函数 g ( x ) = kx + b( k , b 为常数) 使得 f ( x ) ≥ g ( x ) , 对一切实数 x 都成立,则称 g ( x ) 为 f ( x ) 的一个承托函数.现有如下命题: ①对给定的函数 f ( x ) ,其承托函数可能不存在,也可能无数个; ② g ( x ) =2x 为函数 f ( x) = 2 x 的一个承托函数; ③定义域和值域都是 R 的函数 f ( x) 不存在承托函数; 其中正确命题的序号是 .

三、解答题:本大题共 6 个小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.(本题满分 12 分) 已知全集 U=R, A = {x | f ( x) =

( x ? 1)( x ? 2)} , B = {x | log 2 ( x ? a ) < 1} .

(1)若 a=1,求 (CU A) ∩ B . (2)若 (CU A) ∩ B = ? ,求实数 a 的取值范围.

17. (本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) =| x ? 1| + | x + 1| ( x ∈ R ) (1)证明:函数 f ( x) 是偶函数; (2)利用 绝对值及分 段函数知 识,将函数 解析式写成 分段 函数的形式,然后画出函数图像,并写出函数的值域; (3)在同一坐标系中画出直线 y = x + 2 ,观察图像写出不等式 f ( x) > x + 2 的解集.

18. (本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) = ax 2 + bx + 1( a, b 为实数), x ∈ R , (1)若 f(x)有一个零点为-1,且函数 f ( x ) 的值域为 ? 0, + ∞ ) ,求 f ( x ) 的解析式; ? (2)在(1)的条件下,当 x ∈ [?2,2]时, g ( x) = f ( x) ? kx 是单调函数,求实数 k 的取值范围;

19.(本题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) = 2a ? 4 x ? 2 x ? 1. (1)当 a = 1 时,求函数 f ( x ) 在 x ∈ [ ?3,0] 的值域; (2)若关于 x 的方程 f ( x ) = 0 有解,求 a 的取值范围.

20. (本题满分 13 分) 某公司生产一种产品每年需投入固定成本为 0.5 万元, 此外每生产 100 件这种产品还 需要增加投入 0.25 万元.经预测知,当售出这种产品 t 百件时,若 0 < t ≤ 5 ,则销售所得 的收入为 5t ?

1 2 1 23 t 万元:若 t > 5 ,则销售所得收入为 t + 万元. 2 8 2

(1)若该公司的这种产品的年产量为 x 百件 ( x > 0) , 请把该公司生产并销售这种产品所得 的年利润 y 表示为当年生产量 x 的函数; (2)当年产量为多少时,当年公司所获利润最大? (3)当年产量为多少时,当年公司不会亏本?(取 21.5625 为 4.64)

21.(本题满分 14 分)

| f ( x) ? g ( x) |≤ 1 , 则称 f ( x ) 与 g ( x ) 在 [ a, b ] 上是接近的, 否则称 f ( x ) 与 g ( x ) 在 [ a, b ] 上
是非接近的.现在有两个函数 f ( x ) = log t ( x ? 3t ) 与 g ( x ) = log t ( 定区间 [t + 2, t + 3] . (1)若 t =

对于在 [ a, b ] 上有意义的两个函数 f ( x ) 与 g ( x ) ,如果对任意的 x ∈ [ a,, b] ,均有

1 )(t > 0且t ≠ 1) , 现给 x?t

1 ,判断 f ( x ) 与 g ( x ) 是否在给定区间上接近; 2 (2)若 f ( x ) 与 g ( x ) 在给定区间 [t + 2, t + 3] 上都有意义,求 t 的取值范围; (3)讨论 f ( x ) 与 g ( x ) 在给定区间 [t + 2, t + 3] 上是否是接近的.

数学试卷参考答案
一、 选择题:
题号 答案 1 A 2 D 3 C 4 C 5 B 6 A 7 D 8 B 9 C 10 D

二、 填空题
11. (0,1] 12. ?

1 2

13.18

14.{0,1,-1}

15. ①

三、解答题
16. (本题满分 12 分) 解:由已知得 A = {x | x ≤ 1或x ≥ 2} , B = {x | a < x < a + 2}

∴ CU A = {x |1 < x < 2}

……………………4 分

(1)当 a=时, B = {x |1 < x < 3} , ∴ (CU A) I B = {x |1 < x < 2} ………………6 分 (2)若 (CU A) ∩ B = ? ,则 a ≥ 2 或 a + 2 ≤ 1 ,∴ a ≥ 2 或 a ≤ 1 . 即 a 的取值范围为 ( ?∞,1] U [2, +∞ ) . 17. (本题满分 12 分) 解: (1) f ( ? x ) =| ? x ? 1| + | ? x + 1|=| x + 1| + | x ? 1|= f ( x ) …………………12 分

∴ f ( x) 是偶函数

……………………4 分

( x < ?1) ??2 x (2) f ( x) = ? 2 ( ?1 ≤ x ≤ 1) ? ? 2x ( x > 1) ?

由函数图象知,函数的值域为 [2, +∞)

…………9 分

(3 由函数图象知,不等式的解集为 {x | x < 0或x > 2} ………12 分

18. (本题满分 12 分)

?a ? b + 1 = 0 ? 解:(1)由题意得: ? b ?? 2a = ?1 ?

?a = 1 解得: ? ?b = 2

所以: f ( x) = x + 2 x + 1
2

…………………6 分

2 (2)由(1)得 g ( x) = x + ( 2 ? k ) x + 1

当 x ∈ [? 2,2] 时, g (x ) 是单调函数的充要条件是:

?

2?k 2?k ≥ 2或 ? ≤ ?2 2 2

解得: k ≥ 6或k ≤ ?2

…………………12 分

19.(本小题满分 12 分) 解:(1)当 a = 1 时, f ( x ) = 2 ? 4 ? 2 ? 1 = 2( 2 ) ? 2 ? 1 ,
x x x 2 x x 令 t = 2 , x ∈ [ ?3,0] ,则 t ∈ [ ,1] ,

1 8

故 y = 2t ? t ? 1 = 2(t ? ) ?
2 2

1 4

9 1 , t ∈ [ ,1] , 8 8
…………………6 分

故值域为 [? ,0] (2)关于 x 的方程 2a ( 2 x ) 2 ? 2 x ? 1 = 0 有解,等价于 方程 2ax ? x ? 1 = 0 在 (0,+∞) 上有解
2

9 8

…………………8 分

解法一:记 g ( x ) = 2ax 2 ? x ? 1 当 a = 0 时,解为 x = ?1 < 0 ,不成立

1 < 0 ,过点 (0,?1) ,不成立 4a 1 当 a > 0 时,开口向上,对称轴 x = > 0 ,过点 (0,?1) ,必有一个根为正 4a 所以, a > 0
当 a < 0 时,开口向下,对称轴 x = 解法二:方程 2ax ? x ? 1 = 0 可化为 a =
2

…………………12 分

x +1 1 1 1 2 1 = ( + ) ? 2 x2 2 x 2 8 1 1 1 1 ∴ a 的范围即为函数 g ( x) = ( + ) 2 ? 在 (0, +∞) 上的值域 2 x 2 8 所以, a > 0

…………………12 分

20. (本题满分 13 分) 解: (1)当 0 < x ≤ 5 时, f ( x ) = 5 x ? 0.5 x 2 ? (0.5 + 0.25 x ) = ?0.5 x + 4.75 x ? 0.5
2

当 x > 5 时, f ( x ) =

1 23 x + ? (0.5 + 0.25 x) = ?0.125 x + 11 8 2

??0.5 x 2 + 4.75 x ? 0.5, 0 < x ≤ 5 ∴ f ( x) = ? ??0.125 x + 11, x > 5
2

………………4 分

(2)当 0 < x ≤ 5 时, f ( x ) = ?0.5 x + 4.75 x ? 0.5 = ?0.5( x ? 4.75) 2 + 10.78125

∴ 当 x = 4.75 时, f ( x) max = 10.78125
当 x > 5 时, f ( x) = ?0.125 x + 11 < ?0.125 × 5 + 11 = 10.375 < 10.78125

∴ 当年产量为 4.75(百件)时,当年公司所得利润最大,最大为 10.78125 万元.……9 分
(3)由题意知 f ( x) ≥ 0 当 0 < x ≤ 5 时, ?0.5 x + 4.75 x ? 0.5 ≥ 0 ,即 ? 21.5625 + 4.75 ≤ x ≤
2

21.5625 + 4.75

∴ 0.11 ≤ x ≤ 9.39 ,又 0 < x ≤ 5 ,∴ 0.11 ≤ x ≤ 5
当 x > 5 时, ?0.125 x + 11 ≥ 0,∴ 5 < x ≤ 88 综上可得,∴ 0.11 ≤ x ≤ 88

∴ 当年产量为 11 件 8800 件之间时,公司不会亏本.
21.(本小题满分 14 分) 解: (1)当 t =

………………13 分

1 3 1 1 2 时, f ( x ) ? g ( x ) = log 1 [( x ? )( x ? )] = log 1 [( x ? 1) ? ] 2 2 2 2 2 4 1 5 7 2 令 h( x ) = log 1 [( x ? 1) ? ] ,当 x ∈ [ , ] 时, h( x ) ∈ [log 1 6, ?1] 2 2 4 2 2 ………………4 分 即 | f ( x ) ? g ( x ) |≥ 1 , f ( x ) 与 g ( x ) 是否在给定区间上是非接近的. (2)由题意知, t > 0 且 t ≠ 1 , t + 2 ? 3t > 0 , t + 2 ? t > 0 ∴0 < t < 1 ………………4 分 2 2 (3)Q| f ( x ) ? g ( x ) |=| log t ( x ? 4tx + 3t ) |
假设 f ( x ) 与 g ( x ) 在给定区间 [t + 2, t + 3] 上是接近的,则有 | log t ( x ? 4tx + 3t ) |≤ 1
2 2

∴?1 ≤ log t ( x 2 ? 4tx + 3t 2 ) ≤ 1
2 2 2 2

…………(*)

令 G(x)= log t ( x ? 4tx + 3t ) ,当∴ 0 < t < 1 时, [t + 2, t + 3] 在 x = 2t 的右侧, 即 G(x)= log t ( x ? 4tx + 3t ) ,在 [t + 2, t + 3] 上为减函数,

∴ G ( x)max = log t (4 ? 4t ) ,∴ G ( x)min = log t (9 ? 6t )
所以由(*)式可得

?0 < t < 1 9 ? 57 ? ,解得 0 < t ≤ ?log t (4 ? 4t ) ≤ 1 12 ?log (9 ? 6t ) ≥ ?1 ? t 9 ? 57 因此,当 0 < t ≤ 时, f ( x ) 与 g ( x ) 在给定区间 [t + 2, t + 3] 上是接近的; 12 9 ? 57 时, f ( x ) 与 g ( x ) 在给定区间 [t + 2, t + 3] 上是非接近的. ………14 分 当t > 12


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