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广东省各地市2011年高考数学最新联考试题分类汇编第3部分数列

时间:2011-04-09


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广东省各地市 2011 年高考数学最新联考试题分类汇编 第 3 部分:数列 一、选择题: 3、 (广东省深圳市 2011 年 3 月高三第一次调研理科) 已知

Sn

为等差数列

{an } 的前 n 项和,

S4 S6 =4 S = 1 S2 S , ,则 4 的值为( 若 1
9 A、 4 3 B、 2



5 C、 4

D、 4

S4 S4 ? S2 =4 =3 S 2 , S 4 ? S 2 , S6 ? S 4 S ? S 4 = 5S 2 S2 S2 3.A【解析】 成等差数列,由 得 ,则 6 , S 4 = 4 S 2 , S6 = 9 S 2 ,
所以

S6 9 = S4 4 .

5.(广东省深圳市 2011 年 3 月高三第一次调研文科)设数列
对任意正整数 n ,
n ?(?1)n ? 1? ? ? 2 A.

{(?1) } 的前 n 项和为 S
n

n

,则

Sn =
(?1)n?1 + 1 2 B.
n

(?1)n + 1 2 C.

(?1)n ? 1 2 D.

5.D【解析】数列

{(?1) } 是首项与公比均为 ?1 的等比 数列.

7. (广东省珠海一中 2011 年 2 月高三第二学期第一次调研 理科)删去正整数数列 1, 3, 2, …… 中的所有完全平方数,得到一个新数列,这个新数列的第 2003 项是( A ) A.2048 B.2 049 C.2050 D.2051

⒎( 广 东 省 江 门 市 2011 年 高 考 一 模 文 科 ) 已 知 数 列


{a n }(n ∈ N + ,

a n ≠ 0)

,则

a n+1 = a n ? a n + 2

”是“

{a n }是等比数列”的(

C )

[来源:Zxxk.Com]

A.充要条件

B.必要不充分条件

C.充分不必要条件

D.以上都不是

⒍(广东省江门市 20 11 年高考一模理科) a 、 b 、 c > 0 ,“ ln a 、 ln b 、 ln c 成等差数列”
是“ 2 、 2 、 2 成等比数列”的( D
a b c

)
[来源:Z#xx#k.Com]

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.(广东省广雅金山佛一中 2011 年 2 月高三联考文科)下列关于数列的命题 ① 若数列

{an } 是等差数列,且 p + q = r ( p, q, r 为正整数)则 a p + aq = ar

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② 若数列

{a n }满足a n +1 = 2a n , 则{a n }是公比为 2 的等比数列

③ 2 和 8 的等比中项为±4 ④ 已知等差数列

{an } 的通项公式为 an =
C.3

f (n) ,则 f (n) 是关于 n 的一次 函数
( A D.4 )

其中真命题的个数为 A.1 B.2

6.(广东执信中学 2011 年 2 月高三考试文科)等差数列

{an }

的前 n 项之和为

Sn

,已知

a5 5 S9 = = a3 9 ,则 S5 ( A
B. ?1



A. 1

C. 2

1 D. 2 {a n }
中,若

4 . ( 广 东 省 遂 溪 县 2011 年 高 考 第 一 次 模 拟 数 学 文 科 ) 在 等 差 数 列

1 a9 ? a11 a4 + a6 + a8 + a10 + a12 = 120 3 ,则 的值为 :( C )
A.14 二、填空题: B.15 C.16 D.17

11、(广东省珠海一中 2011 年 2 月高三第二学期第一次调研理科)设数列

{an } 是公差不为零

am ? am +1 S a + a = a + a , S7 = 7 am + 2 为数列 {an } 的等差数列,前 n 项和为 n ,满足 ,则使得 中的项的所有正整数 m 的值为 2
2 2 2 3 2 4 2 5

11.(广东省珠海一中 2011 年 2 月高三第二学期第一次调研文科)已知等比数列

{an } 中,各项

1 a1 , a3 , 2a2 2 都是正数,且 成等差数列,则公比 q = __________. q = 1 + 2
12.(广东省广雅金山佛一中 2011 年 2 月高三联考理科)定义等积数 列:在一个数列中,若 每一项与它的后一项的 积是同一常数,那么这个 数列叫做等积数列,这个数叫做公积。已 知等积数列

{a n }

S 中, a1 = 2, 公积为 5,当 n 为奇数时,这个数列的前 n 项和 n =_________。

9n ? 1 4 21 世纪教育网
9. (广东省东莞市 2011 年高三一模理科)等比数列 则

{a n }的前 n 项和为 S n , S2 = 6, S4 = 30 , 若

S6 =

126

.

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三 、解答题 20.(广东省深圳市 2011 年 3 月高三第一次调研理科)(本小题满分 14 分) 已知数列

{an } 是各项均不为 0 的等差数列,公差为 d , S n 为其前 n 项和,且满足
*

a = S 2 n ?1 , n ∈ N .数列 {bn } 满足
2 n

bn =

1 an ? an +1 , Tn 为数列 {bn } 的前 n 项和.

(1)求 a1 、 d 和

Tn


*

(2)若对任意的 n ∈ N ,不等式

λTn < n + 8 ? ( ?1) n 恒成立,求实数 λ 的取值范围;

( 3)是否存在正整数 m, n (1 < m < n ) ,使得 T1 , Tm , Tn 成等比数列?若存在,求出所有

m, n 的值;若不存在,请说明理由.
20、【解析】(1)(法一)在
2 an = S 2 n ?1 中,令 n = 1 , n = 2 ,

?a1 2 = S1 , ? ? 2 ?a = S 3 , 得? 2



?a1 2 = a1 , ? ? ?(a1 + d ) 2 = 3a1 + 3d , ?

……………………………2 分 ……………………………3 分

解得 a1 = 1 , d = 2 ,

∴ an = 2 n ? 1 .
Q bn = 1 1 1 1 1 = = ( ? ) an an +1 (2n ? 1)(2n + 1) 2 2n ? 1 2n + 1 ,
1 1 1 1 1 1 n (1 ? + ? + L + )= ? 2 3 3 5 2 n ? 1 2n + 1 2n + 1 .

∴Tn =

……………5 分

{a } (法二)Q n 是等差数列,
∴ S 2 n ?1 =



a1 + a 2 n ?1 = an 2

a1 + a 2 n?1 (2n ? 1) = ( 2n ? 1) a n 2 .
2

…………………2 分

由 又 (

2 an = S 2 n ?1 ,得 a n = (2n ? 1)a n ,

Q an ≠ 0 ,∴ an = 2n ? 1 ,则 a1 = 1, d = 2 .
求法同法一)

………………3 分

Tn

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λTn < n + 8 ? ( ?1) n 恒 成 立 , 即 需 不 等 式 (2)①当 n 为偶数时,要使不等式

λ<

( n + 8)(2n + 1) 8 = 2n + + 17 n n 恒成立. 8 ≥8 n ,等号在 n = 2 时取得.

…………………………6 分

Q 2n +

∴ 此时 λ 需满 足 λ < 25 .

……………………………………7 分
n

λTn < n + 8 ? ( ?1) ② 当 n 为 奇 数 时 , 要 使 不 等 式

恒 成 立 , 即 需 不 等 式

λ<

(n ? 8)(2n + 1) 8 = 2n ? ? 15 n n 恒成立.

………………………8 分

Q 2n ?

8 8 2n ? n 是随 n 的增大而增大, ∴ n = 1 时 n 取得最小值 ?6 .
…………………………………9 分 ………………………………10 分

∴ 此时 λ 需满足 λ < ?21 .
综合①、②可得 λ 的取值范围是 λ < ?21 .

1 m n , Tn = T1 = , Tm = 3 2m + 1 2n + 1 , (3)

m2 n m 2 1 n = ( ) = ( ) 2 T1 , Tm , Tn 3 2n + 1 ,即 4m + 4m + 1 6n + 3 .…11 分 若 成等比数列,则 2m + 1 m2 n = 2 (法一)由 4m + 4m + 1 6n + 3 ,
2 即 ?2 m + 4 m + 1 > 0 ,

3 ?2m 2 + 4m + 1 = >0 m2 可得 n ,
…………………………12 分



1?

6 6 < m < 1+ 2 2 .

………………………13 分

又 m ∈ N ,且 m > 1 ,所以 m = 2 ,此时 n = 12 .

{T } 因此,当且仅当 m = 2 , n = 12 时, 数列 n 中的 T1 , Tm , Tn 成等比数列.……14 分
n 1 1 = < m2 1 6n + 3 6 + 3 6 < 2 2 n ,故 4m + 4m + 1 6 ,即 2 m ? 4 m ? 1 < 0 , (法二)因为

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1?

6 6 < m < 1+ 2 2 ,(以下同上).

…………………………………13 分

【说明】考查了等差数列、等比数列的概念及其性质,以及数列的求和、利用均值不等式求 最值等知识;考查了学生的函数思想方法,及其推理论证和探究的能力. 21.(广东省深圳市 2011 年 3 月高三第一次调研文科)(本小题满分 14 分)
a 设数列 { n } 是公差为 d 的等差数列,其前 n 项和为 Sn .

(1)已知 a1 = 1 , d = 2 ,
S n + 64 (ⅰ)求当 n ∈ N 时, n 的最小值;
?

(ⅱ)当 n ∈ N 时,求证:

?

2 3 n +1 5 + +L + < S1 S3 S 2 S4 Sn Sn + 2 16



(2)是否存在实数 a1 ,使得对任意正整数 n ,关于 m 的不等式 am ≥ n 的最小正整数解为
3n ? 2 ?若存在,则求 a1 的取值范围;若不存在,则说明理由. 21. 【命题意图】本小题主要考查等差数列通项、求和与不等式等知识,考查化归与转化 的 数学思想方法,以及抽象概括能力、运算求解能力.

【解析】(1) (ⅰ) 解:

Q a1 = 1, d = 2,

∴ S n = na1 + n=

S + 64 64 64 n(n ? 1)d = n+ ≥ 2 n× = 16, = n2 , n n n n 2
64 , n 即 n = 8 时,上式取等号.

当且仅当

S n + 64 n 的最大值是 16. ……………………………………………………4 分 故
(ⅱ) 证明: 由(ⅰ)知

Sn = n 2



n +1 n +1 1? 1 1 ? = 2 = ? 2? 2 ? SS n (n + 2) 4 ? n (n + 2) 2 ? ,……6 分 ? 当 n ∈ N 时, n n + 2
2 3 n +1 1 ? 1 1 ? 1 ? 1 1 ? 1? 1 1 ? + +L+ = ? 2 ? 2 ? + ? 2 ? 2 ? +L+ ? 2 ? S1S3 S 2 S 4 Sn Sn + 2 4 ? 1 3 ? 4 ? 2 4 ? 4 ? n (n + 2) 2 ? , ? 1? 1 1 1 ? 1?1 1 1 1 ? = ? 2 + 2 +L+ 2 ? ? ? 2 + 2 +L+ + 2 4 ?1 2 n ? 4 ?3 5 (n + 1) (n + 2) 2 ? ?

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=

1?1 1 1 1 ? ?12 + 22 ? (n + 1) 2 ? (n + 2) 2 ? , 4? ? ……………………………………8 分 1 1 + > 0, 2 (n + 1) (n + 2) 2
2 3 n +1 1 1 1 5 + +L+ < ( 2 + 2)< . S1S3 S 2 S 4 Sn Sn + 2 4 1 2 16 ……………………………………9 分
?

Q



(2)对 ?n ∈ N ,关于 m 的不等式 当 n = 1 时,

am = a1 + (m ? 1)d ≥ n

的最小正整数解为

cn = 3n ? 2



a1 + (c1 ? 1)d = a1 ≥ 1

;……………………10 分

?a1 + (cn ? 1)d ≥ n ?(3d ? 1)n + (a1 ? 3d ) ≥ 0 ? ? a + (cn ? 2)d < n (3d ? 1)n + (a1 ? 4d ) < 0 ,即 ? , 当 n ≥ 2 时,恒有 ? 1
?3d ? 1 ≥ 0 ?(3d ? 1) × 2 + (a ? 3d ) ≥ 0 1 4 ? 1 ? d = ,1 ≤ a1 < . ? 3 3 ?3d ? 1 ≤ 0 ?(3d ? 1) × 2 + (a1 ? 4d ) < 0 从而 ? ……………………12 分
1 4 d = ,1 ≤ a1 < 3 3 时,对 ?n ∈ N ? ,且 n ≥ 2 时, 当正整数 m < cn 时, 当 a1 + c ?1 m ?1 < a1 + n < n. 3 3 ……………………13 分



? 4? ? ?1, 3 ? a1 a1 所以存在这样的实数 ,且 的取值范围是 ? .……………………14 分
18. (广东省珠海一中 2011 年 2 月高三第二学期第一次调研理科) ( 本小题满分 14 分) 某商店 投入 38 万元经销某种纪念品,经销时间共 60 天,为了获得更多的利润,商店将每天获得 的利润投入到次日的经营中,市场调研表明,该商店在经销这一产品期间第 n 天的利润

?1, ? an = ? 1 ? 25 n, ?

1 ≤ n ≤ 25 26 ≤ n ≤ 60
? ( 单 位 : 万 元 , n ∈ N ), 记 第 n 天 的 利 润 率

a3 第n天的利润 b3 = . bn = 前n天投入的资金总和 38 + a1 + a 2 ,例如
(1)求 b1 ,b2 的值; (2)求第 n 天的利润率

bn

;

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(3)该商店在经销此纪念品期间,哪一天的利润率最大?并求该天的利润 率. 18. 解:(1)当 n = 1 时,

b1 =

1 1 ; b2 = 38 当 n = 2 时, 39 .
.

…………2 分

(2)当 1 ≤ n ≤ 25 时,

a1 = a 2 = L = a n ?1 = a n = 1

∴ bn =

an 1 1 = = 38 + a1 + a 2 + L + a n ?1 38 + n ? 1 37 + n .

…………4 分

当 26 ≤ n ≤ 60 时,

an bn = = 38 + a1 + L a 25 + a 26 + L + a n ?1
…6 分

n 2n 25 (n ? 26)(n + 25) = n 2 ? n + 2500 63 + 50 ,………

? 1 ? 37 + n , ? bn = ? 2n ? 2 ? n ? n + 2500 ? ∴ 第 n 天的利润率
(3) 当 1 ≤ n ≤ 25 时,

1 ≤ n ≤ 25 n ∈ N ?

(

) )
…………8 分

26 ≤ n ≤ 60 n ∈ N ?

(

bn =

1 1 b1 = bn 37 + n 是递减数列,此时 的最大值为 38 ;………10 分

当 26 ≤ n ≤ 60 时,

bn =

2n 2 2 2 = ≤ = 2500 n ? n + 2500 n + 2500 ? 1 2 2500 ? 1 99 n= , n n 即 n = 50 (当且仅当
2

时,“ = ”成立). …………12 分

Q


1 2 > ,∴ n = 1 (bn )max = 1 38 99 38 . 时,

…………14 分

19. (广东省珠海一中 2011 年 2 月高三第二学期第一次调研文理科) (本小题共 14 分) 已知点列

An ( x n ,0 ) 满 足 : A0 An ? A1 An +1 = a ? 1 , 其 中 n ∈ N , 又 已 知 x0 = ?1 ,

x1 = 1 a > 1 . ,
(1)若

x n +1 = f (x n )(n ∈ N ? )

,求 f ( x ) 的表达式;

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(2)已知点 B (

? a, ,记 a n = BAn (n ∈ N ),且 a n +1 < a n 成立,试求 a 的取值范围; 0

)

Sn < {a } S 2? (3)设(2)中的数列 n 的前 n 项和为 n ,试求:
19. (1)∵

a ?1 a 。

A0 (?1,0) , A1 (1,0) ,∴ A0 An ? A1 An +1 = ( xn + 1)( xn +1 ? 1) ,



( xn + 1)( xn +1 ? 1) = a ? 1

xn +1 = f ( xn ) =
,∴

xn + a xn + 1 ,



f ( x) =

x+a x +1 . a n = BAn = x n ? a

………………3 分

(2)∵ ∵

BAn = ( xn ? a ,0)

,∴

.

an +1 = x n +1? a = f ( xn ) ? a
= xn + a ( a ? 1) ? a = ? xn ? a < ( a ? 1) ? xn ? a = ( a ? 1)an xn + 1 xn + 1

∴要使

a n +1 < a n

成立,只要 a ? 1 ≤ 1 ,即 1 < a ≤ 4 ………………6 分

∴ a ∈ (1,4] 为所求. (3)∵

an +1 < ( a ? 1) xn ? a < ( a ? 1) 2 ? x n ?1? a < … < ( a ? 1) n ? x1? a = ( a ? 1) n +1
, ………………9 分

∴ ∴

an < ( a ? 1)n

Sn = a1 + a2 + L + an < ( a ? 1) + ( a ? 1)2 + L + ( a ? 1)n
= ( a ? 1) ? 1 ? ( a ? 1) n 2? a

[

]
………………11 分

∵ 1 < a ≤ 4 ,∴ 0 <

n a ? 1 ≤ 1 ,∴ 0 < ( a ? 1) ≤ 1

………13 分



Sn <

a ?1 2? a

………………14 分

⒛(广东省江门市 2011 年高考一模文科)(本小题满分 14 分)在平面直角坐标系 xOy 中,
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Pn (n , n 2 )(n ∈ N + )
源:学科网 ZXXK]

?OPn Pn+1 S 是抛物线 y = x 上的点, 的面积为 n . [来源:21 世纪教育网]
2

[来

⑴求

Sn



1 1 1 + +L+ S S2 Sn ; ⑵化简 1
S1 + S 2 + L + S n = n(n + 1)(n + 2) 6 .

⑶试证明

y ? n 2 (n + 1) 2 ? n 2 = P (n + 1 , (n + 1) 2 ) PP (n + 1) ? n ……2 分, ⒛⑴依题意, n +1 , 直线 n n +1 的方程为 x ? n
P P = [(n + 1) ? n] + [(n + 1) ? n ] 即 (2n + 1) x ? y ? n( n + 1) = 0 ……3 分, n n +1
2 2 2 2

= 4n + 4n + 2 ……4 分,点 O 到直线 Pn Pn +1 的距离
2

d=

n(n + 1) 4n 2 + 4n + 2 ……5 分,所以

Sn =

1 n(n + 1) × Pn Pn +1 × d = 2 2 ……6 分.

1 2 2 2 1 1 1 2 2 2n = = ? + +L+ = ? = S n(n + 1) n n + 1 ……8 分, S1 S 2 S n 1 n + 1 n + 1 ……10 分 ⑵ n
n(n + 1)(n + 2) (n ? 1)n(n + 1) 3n(n + 1) n(n + 1) ? = = = Sn 6 6 6 2 ……12 分, ⑶因为

(n ? 1)n(n + 1) (n ? 2)(n ? 1)n 2 × 3 × 4 1× 2 × 3 ? = S n ?1 ? = S2 6 6 6 6 从 而 , … … , , 1× 2 × 3 0 × 1× 2 n(n + 1)(n + 2) ? = S1 S1 + S 2 + L + S n = 6 6 6 ……13 分,以上各式累加得
……14 分. ⒛(广东省江门市 2011 年高考一模理科) (本小题满分 12 分) 已知数列

{a n }(n ∈ N + ) , 1 = 0 , a

a n+1 = 2a n + n × 2 n (n ≥ 1) .
⑴求数列 ⑵设数列

{a n }的通项; {a n }的前 n 项和为 S n ,试用数学归纳法证明 S n
= 2 n ?1 × (n 2 ? 3n + 4) ? 2


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n ?1 2 ⑵ n = 1 时,左边 S1 = a1 = 0 ,右边 2 × ( n ? 3n + 4) ? 2 = 1 × (1 ? 3 + 4) ? 2 = 0 ,左边

=右边,命题成立……7 分;

S =2 设 n = k (k ∈ N + ) 时 , 命 题 成 立 , 即 k S k +1 = S k + a k +1
… …

k ?1

× (k 2 ? 3k + 4) ? 2
9

……8 分,则 分 ,

= 2 k ?1 × (k 2 ? 3k + 4) ? 2 + 2 k ?1 × k (k + 1) = 2 k (k 2 ? k + 2) ? 2 2 k × [(k + 1) 2 ? 3(k + 1) + 4] ? 2 ,从而 n = k + 1 时,命题成立……11 分.
综上所述,数列

{a n }的前 n 项和 S n
a1 =

= 2 n ?1 × (n 2 ? 3n + 4) ? 2

……12 分.

18.(广东省广雅金山佛一中 2011 年 2 月高三联考文科)(本小题满分 14 分)

已知数列

{a n }中,

1 ? 2 ,点 ( n ,2an +1 ? an ) ( n ∈ N ) 在直线 y = x 上.

(Ⅰ)计算 (Ⅱ)令

a 2 , a3 , a 4

的值; ,求证:数列

bn = a n +1 ? a n ? 1

{bn }是等比数列;

(Ⅲ)求数列

{a n }的通项公式.
2a n +1 ? a n = n, a1 = 1 , 2a 2 ? a1 = 1, 2 3 a2 = . 4 ……… 2 分

18.解:(Ⅰ)由题意,

同理

a3 =

11 35 , a4 = , 8 16 2a n +1 ? a n = n,

……………………………………… 3 分

(Ⅱ)因为

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所以

bn +1 = a n + 2 ? a n +1 ? 1 =

a n +1 + n + 1 n ? a n +1 ? 1 ? a n +1 ? 1 = , 2 2 ………… 5 分

bn = a n +1 ? a n ? 1 = a n +1 ? (2a n +1 ? n) ? 1 = n ? a n +1 ? 1 = 2bn +1 ,

bn +1 1 = bn 2… 7分



b1 = a 2 ? a1 ? 1 = ?

3 3 1 ? 4 ,所以数列 {bn }是以 4 为首项, 2 为公比的等比数列. 9 分
n ?1

3 ?1? bn = ? ? ? ? 4 ?2? (Ⅲ) 由(Ⅱ)知

……………………………………… 10 分

∴ ∴

3 ?1? ? ?? ? an +1 ? an ? 1 = 4 ?2?

n?1



3 ?1? ? ?? ? an +1 ? an = 4 ?2?

n?1

+1

…………… 11 分

an = a1 + ( a2 ? a1 ) + ( a3 ? a2 ) + L + ( an ? an ?1 )
? ? ? ? 1 3 ?? 1 ? + ? 1 ? + ? 1 ? + L + ? 1 ? ? ? ? ? ? 4 ?? 2 ? ? 2 ? ? 2 ? ?2? =2- ?
0 1 2 n? 2

…………………………… 12 分

? ? ? + n -1 ?



n?2+

3 2n

……………………………………… 14 分

21.(广东省广雅金山佛一中 2011 年 2 月高三联考理科)(本小 题满分 14 分)

已知数列

{ xn } 的前 n 项和为 S n 满足 {un }

S n+1 = S n +

1 1 S = , n∈ N* 1 + xn , 1 2

( Ι ) 猜想数列 { x2 n } 的单调性,并证明你的结论;
( Ⅱ ) 对 于 数 列 若 存 在 常 数 M > 0, 对 任 意 的 n ∈ N ′ , 恒 有 ,, 则称数列

un +1 ? un + un ? un ?1 + ... + u2 ? u1 ≤ M
问数列 21

{un } 为 B-数列。

{ xn } 是 B-数列吗?

并证明你的结论。 解 :

(Ι)

由已知得x1 =

1 1 及x n +1 = , LL1分 L 2 1 + xn

2 3 5 8 13 求得x2 = , x3 = , x4 = , x5 = , x6 = 3 5 8 13 21


x2 > x4 > x6

猜想:数列

{ x2 n } 是递减数列

…………3 分

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下面用数学归纳法证明:[来源:21 世纪教育网 (1)当 n=1 时,已证命题成立 (2)假设当 n=k 时命题 成立,即

x2 k > x2 k + 2

易知

x2 k > 0

x2 k + 2 ? x2 k + 4 =
,那么

x2 k +3 ? x2 k +1 1 1 ? = 1 + x2 k +1 1 + x2 k +3 (1 + x2 k +1 )(1 + x2 k +3 )

x2 k ? x2 k + 2 >0 (1 + x2 k )(1 + x2 k +1 )(1 + x2 k + 2 )(1 + x2 k +3 ) =


x2( k +1) > x2( k +1)+ 2

也就是说,当 n=k+1 时命题也成立,结合(1)和(2)知,命题成立 …………6 分 (Ⅱ) 数列

{ xn } 是 B-数列。
xn +1 ? xn = x2 ? x1 = 1 6,
1 1 > 1 + xn ?1 2

…………7 分

当 n=1 时,

…………8 分

当 n ≥ 2 时,易知

0 < xn ?1 < 1,∴1 + xn ?1 < 2, xn =

…………9 分

∴ (1 + xn )(1 + xn ?1 ) = (1 +

1 5 )(1 + xn ?1 ) = 2 + xn ?1 ≥ 1 + xn ?1 2

…………10 分

∴ xn +1 ? xn =


xn ? xn ?1 1 1 ? = 1 + xn 1 + xn ?1 (1 + xn )(1 + xn ?1 )

2 2 2 xn ? xn ?1 ≤ ) xn ?1 ? xn ? 2 ≤ K ≤ ) x2 ? x1 ( 2 ( n-1 5 5 5 1 2 n-1 = ( ) 6 5

…………12 分

xn +1 ? xn + xn ? xn ?1
所以数列

2 1? ( )n 1 5 < 5 ≤ ? 2 6 18 1? + ... + x2 ? x1 5
…………14 分

{ xn } 是 B-数列。

21. (广东省东莞市 2011 年高三一模理科)(本小题满分 14 分) 已知

{a n }是等差数列,其前 n 项和为 S n .已知 a4 {an } 的通项公式;
[来源:学#科#网 Z#X#X#K]

= 2 , S 5 = 20 .

(1)求数列 (2)设

Tn = a1 + a 2 + ... + a n

,求

Tn

;

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bn =
(3)设

1 (n ∈ N ? ) R = b1 + b2 + ... + bn n(12 ? a n ) , n ,是否存在最大的整数 m ,使得对任意
Rn > m 32 成立?若存在,求出 m 值;若不存在,请说明理由.

n ∈ N ,均有

?

21. (本题满分 14 分) 解:(1)设数列

{an } 的公差为 d ,则

?a1 + 3d = 2 ? ? 5? 4 ?5a1 + 2 ? d = 20 ? ………………………….2 分

解上面方程组得 所以,数列 即

?a1 = 8 ? ? d = ?2

…………………..3 分

{an } 的通项公式为 a n

= 8 + (n ? 1) ? (?2)

a n = 10 ? 2n an ≥ 0


……………………………..4 分 ,解得 ;…………….…..5 分

(2)由

a n+1 < 0

当n ≤ 5时

Tn = ? n 2 + 9n
2

T = n ? 9n + 40 当n > 5时 n ;……………7 分

? 2 ? ? n + 9 n, n ≤ 5 Tn = ? 2 ?n ? 9n + 40, n > 5 (n ∈ N ? ) ? 所以, ……………..8 分 bn =
(3)由

1 1 1 1 = ( ? ) n(12 ? a n ) 2 n n + 1 ,裂项相消求和得

Rn =

n 2(n + 1) ……………………10 分 Rn +1 ? Rn = 1 1 >0 {Rn } 单调递增,即 R1 = 4 是数列 {Rn } 的最小 2(n + 2)(n + 1) ,所以

因为

值,……….12 分

要使

Rn >

m m 1 < R1 = ? 32 对 n ∈ N 总成立,只须 32 4,

所以 m < 8 又因为 m ∈ Z ,所以 m 的最大值为 7…………………14 分

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21.(广东省东莞市 2011 年高三一模文科)(本小题满分 14 分)设 和,对任意的 n ∈ N ,都有
*

Sn

为数列

{a } 的前 n 项
n

Sn = ( m + 1) ? man ( m 为常数,且 m > 0) .

(1)求证:数列 (2)设数列

{a } 是等比数列;
n n
n

{a } 的 公 比 q = f (m) , 数 列 {b } 满 足 b

1

= 2a1 , bn = f ( bn ?1 ) ( n ≥ 2 ,

n ∈N * ) ,求数列 {bn } 的通项公式;
? 2n +1 ? ? ? ? bn ? 的前 n 项和 Tn . (3)在满足(2)的条件下,求数列

a = S1 = ( m + 1) ? ma1 21.解:(1)证明:当 n = 1 时, 1 ,解得 a1 = 1 .………………1 分
当 n ≥ 2 时, 即

an = S n ? S n ?1 = man ?1 ? man .

……………………………………………2 分

(1 + m ) an = man?1 .

an m = a 1 + m ( n ≥ 2 ) . ………………………………………3 分 ∵ m 为常数,且 m > 0 ,∴ n ?1

{a } 是首项为 1,公比为 1 + m 的等比数列. ∴数列
n

m

…………………………………4 分

(2)解:由(1)得, q = f (m )

=

m 1 + m , b1 = 2a1 = 2 . ……………………………5 分

bn = f ( bn ?1 ) =


bn ?1 1 + bn ?1 , ………………………………………………………………6 分

1 1 1 1 = +1 ? =1 ( n ≥ 2 ) . ……………………………………………7 分 bn bn ?1 bn bn ?1 ∴ ,即



?1? ? ? ? bn ?

1 是首项为 2 ,公差为 1 的等差数列. ……………………………………………8 分

1 1 2n ? 1 2 = + ( n ? 1) ?1 = b = bn 2 2 ,即 n 2n ? 1 ( n ∈ N* ). …………………………9 分 ∴ 2 2 = 2n ( 2n ? 1) bn = 2n ? 1 ,则 bn (3)解:由(2)知 . ……………………………10 分
n +1

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2 2 23 2 4 2 n 2n +1 Tn = + + + L + + b1 b2 b3 bn ?1 bn , 所以
即 则
1 2 3 n ?1 n Tn = 2 ×1 + 2 × 3 + 2 × 5 + L + 2 × ( 2n ? 3) + 2 × ( 2n ? 1)

, ,

① ……11 分 ② ……12 分

2Tn = 22 ×1 + 23 × 3 + 24 × 5 + L + 2n × ( 2n ? 3) + 2n+1 × ( 2n ? 1) Tn = 2n +1 × ( 2n ? 1) ? 2 ? 23 ? 24 ? L ? 2n +1
× ( 2n ? 1) ? 2 ? 23 (1 ? 2 n ?1 ) 1? 2


②-①得

………………………………13 分



Tn = 2

n +1

= 2 n +1 × ( 2n ? 3) + 6

. ……………………14 分

20、(广东执信中学 2011 年 2 月高三考试文科)(本小题满分 14 分 )已知等差数列 差为 ?1 , 且

{an }的公

a2 + a7 + a12 = ?6 ,

(1)求数列 (2)将数列

{an } 的通项公式 an 与前 n 项和 S n ;

{an }的前 4 项抽去其中一项后,剩下三项按原来顺序恰为等比数列 {bn } {bn }的前 n 项和为 Tn ,
若存在 m ∈ N , 使对任意 n ∈ N 总有
*
?

的前 3 项,记

Sn < Tm + λ

恒成

立, 求实数 λ 的取值范围. 20、 解:(1) 由

a2 + a7 + a12 = ?6



a7 = ?2

,所以

a1 = 4

∴ an = 5 ? n ,
(2)由题意知

从而

Sn =

n(9 ? n) 2 ----------------------------6 分

b1 = 4, b2 = 2, b3 = 1

设等比数列

{bn }的公比为 q ,则

q=

b2 1 = b1 2 ,

1 ? ? 4 ?1 ? ( )m ? 1 ? 2 ? ? Tm = ? = 8 ?1 ? ( ) m ? 1 2 ? ? 1? 2 ∴ ∴ {Tm } 为递增数列,得 4 ≤ Tm < 8 Sn =


1 Q ( )m 2 随 m 递减,

[来源:学科网 ZXXK]

n(9 ? n) 1 1? 9 81 ? = ? ( n 2 ? 9 n) = ? ? ( n ? ) 2 ? ? 2 2 2? 2 4 ?,

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( S n ) max = S 4 = S5 = 10
*


?

若存在 m ∈ N , 使对任意 n ∈ N 总有

Sn < Tm + λ

则 10 ≤ 8 + λ ,得 λ ≥ 2 ------------------------14 分 20.(广东省遂溪县 2011 年高考第一次模拟数学文科)(本小题满分 14 分)

已知函数

f ( x) =

x ( a, b为常数且 a ≠ 0) ax + b 满足 f ( 2) = 1 且 f ( x ) = x 有唯一解。

(1)求 f (x ) 的表达式 ; (2)记

x n = f ( x n ?1 )( n ∈ N 且 n > 1) y n = x n ? x n +1

,且

x1

{x } = f (1) ,求数列 n 的通项公式。

(3)记

,数列{

yn

}的前 n 项和为

Sn

,求证

Sn <

4 3

20.解:(1) 由

f ( x) =

x =x ax 2 + ( b ? 1) x = 0 ax + b 即 有唯一解,∴ b = 1



f ( 2) =

2
ax + 1
2

=1

∴a =

1 2 ,

∴ f ( x) =

x 1 x +1 2

=

2x x+2
……4 分

xn = f ( xn ?1 ) =
(2) 由

xn ?1 1 xn ?1 + 1 2
1 3 = x1 2 ,



1 1 1 = + xn xn ?1 2

…………6 分



x1 = f (1) =

2 3



?1? 3 1 ? ? xn ? ∴ 数列 ? 是以首项为 2 ,公差为 2 的等差数列……8 分


1 3 1 n+2 = + ( n ? 1) × = xn 2 2 2 y n = x n ? x n +1 =

∴ xn =

2 n+2

………10 分

(3) 由 网

2 2 1 1 × = 4( ? ) n+2 n+3 n+2 n+3

…………12 分 21 世纪教育

∴ S n = y1 + y2 + y3 + ... + yn x1 x 2 + x 2 x3 + LL + x n x n +1
=

21 世纪教育网

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?? 1 1 ? ? 1 1 ? 1 ?? ? 1 1 ? 4 ?1 = 4 ?? ? ? + ? ? ? + ... + ? ? ?? = 4 ? ? ?< ? n + 2 n + 3 ?? ?? 3 4 ? ? 4 5 ? ?3 n+3? 3

…14 分

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