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【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学人教A版选修4-4 第一章 坐标系 学业分层测评1 Word版含答案

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学业分层测评(一)
(建议用时:45 分钟) [学业达标] 一、选择题 1.动点 P 到直线 x+y-4=0 的距离等于它到点 M(2,2)的距离,则点 P 的轨 迹是( ) B.椭圆 D.抛物线 ∵M(2,2)在直线 x+y-4=0 上,

A.直线 C.双曲线 【解析】

∴点 P 的轨迹是过 M 与直线 x+y-4=0 垂直的直线. 【答案】 A

2.已知线段 BC 长为 8,点 A 到 B,C 两点距离之和为 10,则动点 A 的轨迹 为( ) A.直线 C.椭圆 【解析】 【答案】 B.圆 D.双曲线 由椭圆的定义可知,动点 A 的轨迹为一椭圆. C

3.若△ABC 三个顶点的坐标分别是 A(1,2),B(2,3),C(3,1),则△ABC 的形状 为( ) A.等腰三角形 C.直角三角形 【解析】 B.等边三角形 D.钝角三角形

|AB|= ?2-1?2+?3-2?2= 2,

|BC|= ?3-2?2+?1-3?2= 5, |AC|= ?3-1?2+?1-2?2= 5, |BC|=|AC|≠|AB|,△ABC 为等腰三角形. 【答案】 A

4.已知两定点 A(-2,0),B(1,0),如果动点 P 满足|PA|=2|PB|,则点 P 的轨迹 所围成的图形的面积等于( A.π ) B.4π

C.8π 【解析】

D.9π 设 P 点的坐标为(x,y),

∵|PA|=2|PB|, ∴(x+2)2+y2=4[(x-1)2+y2], 即(x-2)2+y2=4. 故 P 点的轨迹是以(2,0)为圆心,以 2 为半径的圆,它的面积为 4π. 【答案】 B

?x′=2x, 1 5.在同一平面直角坐标系中,将曲线 y=3cos 2x 按伸缩变换? 后 ?y′=3y, 为( ) A.y′=cos x′ 1 C.y′=2cos3x′ ?x′=2x, 由? ?y′=3y, 1 B.y′=3cos2x′ 1 D.y′=2cos 3x′ x′ ? ?x= 2 , 得? y′ y = ? ? 3.

【解析】

y′ 1 1 代入 y=3cos 2x,得 3 =3cos x′, ∴y′=cos x′. 【答案】 二、填空题 x x ′= ? ? 2 017, 6.若点 P(-2 016,2 017)经过伸缩变换? y ? ?y′=2 016 =k 上,则 k=________. x ? ?x′=2 017, 017) 经 过 伸 缩 变 换 ? y y ′ = ? ? 2 016, A

后的点在曲线 x′y′

【解析】

∵P( - 2 016,2



-2 016 ? x ′ = ? 2 017 , ? 2 017 ? ?y′=2 016, 代入 x′y′=k, 得 k=-1. 【答案】 -1

7.将点 P(2,3)变换为点 P′(1,1)的一个伸缩变换公式为________. 【导学号:91060002】 【解析】 ?x′=hx?h>0?, 设伸缩变换为? ?y′=ky?k>0?, 1 h = ? ? 2, 解得? 1 k = ? ? 3, x ? ?x′=2 ? y y ′= ? ? 3 x x ′ = ? ? 2, ∴? y y ′ = ? ? 3.

?1=2h, 由? ?1=3k,

【答案】

8.平面直角坐标系中,在伸缩变换 φ: ?x′=λx?λ>0,λ≠1?, ? 作用下仍是其本身的点为________. ?y′=μy?μ>0,μ≠1?, ?x′=λx?λ>0?, ? 【解析】 设 P(x, y)在伸缩变换 φ: 作用下得到 P′(λx, μy). ?y′=μy?μ>0? ?x=λx, 依题意得? 其中 λ>0,μ>0,λ≠1,μ≠1, ?y=μy, ∴x=y=0,即 P(0,0)为所求. 【答案】 三、解答题 9.在平面直角坐标系中,求下列方程所对应的图形经过伸缩变换 (0,0)

x ? ?x′=3, ? y y ′= ? ? 2

后的图形.

(1)x2-y2=1; x2 y2 (2) 9 + 8 =1. x ? ?x′=3, 由伸缩变换? y ? ?y′=2, ?x=3x′, 得? ① ?y=2y′.

【解】

(1)将①代入 x2-y2=1 得 9x′2-4y′2=1, x x ′ = ? ? 3, 因此,经过伸缩变换? y ? ?y′=2 4y′2=1,如图甲所示. x x′=3, ? ? y′ x y (2)将①代入 + =1 得 x′2+ =1, 因此, 经过伸缩变换? 9 8 2 y y ′ = ? ? 2
2 2 2 2 x2 y2 2 y′ 椭圆 9 + 8 =1 变成椭圆 x′ + 2 =1,如图乙所示.

后,双曲线 x2-y2=1 变成双曲线 9x′2-

后,

10. 台风中心从 A 地以 20 km/h 的速度向东北方向移动, 离台风中心 30 km 内 的地区为危险区,城市 B 在 A 地正东 40 km 处.求城市 B 处于危险区内的时间. 【解】 B(40,0), 以点 B 为圆心,30 为半径的圆的方程为(x-40)2+y2=302, 台风中心移动到圆 B 内时,城市 B 处于危险区.台风中心移动的轨迹为直线 y=x,与圆 B 相交于点 M,N, 以 A 为坐标原点,AB 所在直线为 x 轴,建立平面直角坐标系,则

点 B 到直线 y=x 的距离 d=

40 =20 2. 2

|MN| 求得|MN|=2 302-d2=20(km),故 20 =1, 所以城市 B 处于危险区的时间为 1 h.

[能力提升] ?x′=5x, 1.在同一平面直角坐标系中经过伸缩变换 ? 后曲线 C 变为曲线 ?y′=3y 2x′2+8y′2=0,则曲线 C 的方程为( A.25x2+36y2=0 C.10x+24y=0 【解析】 ) B.9x2+100y2=0 2 8 D.25x2+9y2=0

?x′=5x, 将? 代入 2x′2+8y′2=0,得: ?y′=3y,

2· (5x)2+8· (3y)2=0,即:25x2+36y2=0. 【答案】 A

2.如图 111,在平面直角坐标系中,Ω 是一个与 x 轴的正半轴、y 轴的正半 轴分别相切于点 C、D 的定圆所围成的区域(含边界),A、B、C、D 是该圆的四等 分点.若点 P(x,y)、点 P′(x′,y′)满足 x≤x′且 y≥y′,则称 P 优于 P′.如 果 Ω 中的点 Q 满足: 不存在 Ω 中的其他点优于点 Q, 那么所有这样的点 Q 组成的 集合是劣弧( )

图 111 ︵ A. AB 【解析】 ︵ B. BC ︵ C. CD ︵ D. DA

如图,过任一点 P 作与坐标轴平行的直线,则两直线将平面分为

Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ四部分,由题意,Ⅱ(包含边界)区域内的点优于 P,在圆周上取点, ︵ ︵ 易知只有 P 在AD上时,Ⅱ(含边界)内才不含 Ω 内的点,故点 Q 的集合为DA.

【答案】

D

→ → → 3.已知 A(2,-1),B(-1,1),O 为坐标原点,动点 M 满足OM=mOA+nOB, 其中 m,n∈R,且 2m2-n2=2,则 M 的轨迹方程为________. 【解析】 ?x=2m-n, ∴? ?y=n-m. x2 又 2m2-n2=2,消去 m,n 得 2 -y2=1. 【答案】 x2 2 2 -y =1 设 M(x,y),则(x,y)=m(2,-1)+n(-1,1)=(2m-n,n-m),

4.学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验.设计方案如图 112, x2 y2 航天器运行(按顺时针方向)的轨迹方程为 100+25=1,变轨(即航天器运行轨迹由 64? ? 椭圆变为抛物线)后返回的轨迹是以 y 轴为对称轴,M?0, 7 ?为顶点的抛物线的实 ? ? 线部分,降落点为 D(8,0),观测点 A(4,0),B(6,0)同时跟踪航天器.

图 112 (1)求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程; (2)试问:当航天器在 x 轴上方时,观测点 A,B 测得离航天器的距离分别为多 少时,应向航天器发出变轨指令? 【解】 64 (1)设曲线方程为 y=ax2+ 7 .

1 因为 D(8,0)在抛物线上,∴a=-7, 1 64 ∴曲线方程为 y=-7x2+ 7 . (2)设变轨点为 C(x,y). x y ? ?100+25=1, 根据题意可知? 1 2 64 y =- ? ? 7x + 7 , ∴4y2-7y-36=0, 9 解得 y=4 或 y=-4(不合题意,舍去), ∴y=4. 解得 x=6 或 x=-6(不合题意,舍去), ∴C 点的坐标为(6,4),|AC|=2 5,|BC|=4. 即当观测点 A、B 测得离航天器的距离分别为 2 5、4 时,应向航天器发出变 轨指令.
2 2


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