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【优化指导】高中数学 1-5课时演练(含解析)新人教版必修4

时间:2014-07-12


第一章

1.5

π 1.将函数 y=sin x 的图象上所有的点向右平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标 10 伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),所得图象的函数解析式是( π? ? A.y=sin?2x- ? 10? ? π? ? B.y=sin?2x- ? 5? ? )

?1 π ? C.y=sin? x- ? ?2 10?
解析:函数 y=sin x

?1 π ? D.y=sin? x- ? ?2 20?
y=sin?x- ? ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― → y= 纵坐标不变 10

? ?

π ?横坐标伸长到原来的2倍

?

?1 π ? sin? x- ?. ?2 10?
答案:C 2. 若直线 y=a 与函数 y=sin x 的图象相交, 则相邻的两交点间的距离的最大值为( A. π 2 B.π D.2π )

3 C. π 2

解析:所求最大值,即为 y=sin x 的一个周期的长度 2π . 答案:D 5π ? ? 3.函数 y=sin?2x+ ?的图象的一条对称轴方程是( 2 ? ? π A.x=- 2 π C.x= 8 π B.x=- 4 5π D.x= 4 )

5π ? 5π π ? 解析:函数 y=sin?2x+ ?的图象的对称轴方程为 2x+ = +kπ ,k∈Z,即 x=- 2 2 2 ? ? π+


2

π ,k∈Z.当 k=1 时,x=- .故选 A. 2

答案:A π? ? 4.y=-2sin?3x- ?的振幅为______,周期为______,初相 φ =______. 3? ? π? ? 解析:y=-2sin?3x- ? 3? ?
-1-

π ?? 2 ? ? ? ? =2sin?π +?3x- ??=2sin?3x+ π ?, 3 ?? 3 ? ? ? ? 2 2 故振幅为 2,周期为 π ,初相为 π . 3 3 答案:2 2 π 3 2 π 3

5.将函数 y=f(x)的图象上的每一点的纵坐标扩大到原来 的 4 倍,横坐标扩大到原来的 π 2 倍,若把所得的图象沿 x 轴向左平移 个单位后得到的曲线与 y=2sin x 的图象相同,则函 2 数 y=f(x)的解析式为________________________.

解析:y=2sin x

y=2sin?x- ? 2

? ?

π?

?

y=2sin?2x- ? 2

? ?

π?

?

y= sin?2x- ? 2

1 2

? ?

π?

?

1 =- cos 2x. 2 1 答案:y=- cos 2x 2 π? ? 6.函数 y=Asin(ω x+φ )?|φ |< ?的图象如图,求函数的表 2? ? 式. 解:由函数图象可知 A=1, 函数周期 T=2×[3- (-1)]=8, 2π π ?π ? ∴ω = = ,又 sin? +φ ?=0, T 4 ?4 ? ∴ π π +φ =kπ (k∈Z),即 φ =kπ - (k∈Z), 4 4 达

π π 而|φ |< ,∴φ =- , 2 4 π? ?π ∴函数的表达式为 y=sin? x- ?. 4 4? ?

(时间:30 分钟 满分:60 分)

-2-

难易度及题号 知识点及角度 基础 作函数 y=Asin(ω x+φ )的图象 求函数 y=Asin(ω x+φ )的解析式 函数 y=Asin(ω x+φ )的性质及应用 一、选择题(每小题 4 分,共 16 分) π 1.将函数 y=sin 2x 的图象向左平移 个单位,再向上平移 1 个单位,所得图象的函数 4 解析式是( ) B.y=1+cos 2x D.y=2sin x
2

中档 2 9 5、7、9

稍 难 10

1、6、8 3 4

A.y=cos 2x π? ? C.y=1+sin?2x+ ? 4? ?

π 解析:将函数 y=sin 2x 的图象向左平移 个单位,得到函数 y=sin 4

? π? 2?x+ ?即 y= 4? ?

π? ? sin?2x+ ?=cos 2x 的图象, 再向上平移 1 个单位,所得图象的函数解析式为 y=1+cos 2x, 2? ? 故选 B. 答案:B π? ? 2.为得到函数 y=cos?2x+ ?的图象,只需将函数 y=sin 2x 的图象( 3? ? 5π A.向左平 移 个单位长度 12 5π B.向右平移 个单位长度 12 5π C.向左平移 个单位长度 6 5π D.向右平移 个单位长度 6 π ?? π? ?π ? ? 解析:∵y=cos?2x+ ?=sin? +?2x+ ?? 3 ?? 3? ? ?2 ? 5π ? ? =sin?2x+ ?. 6 ? ? 5π ? 5π ? 由题意知,要得到 y=sin?2x+ ?的图象只需将 y=sin 2x 的图象向左平移 个单位 6 ? 12 ? 长度. 答案:A )

-3-

3.函数 y=sin(ω x+φ )(x∈R,ω >0,0≤φ <2π )的部分图象如 图所 示,则( )

π π A.ω = ,φ = 2 4 π π B.ω = ,φ = 3 6 π π C.ω = ,φ = 4 4 π 5π D.ω = ,φ = 4 4 π ? ?ω = 4 解得? π ? ?φ = 4 .

? π 解析:由?ω ×1+φ = , 2 ?

ω ×3+φ =π ,

答案:C

?A≠0,ω >0,|φ |<π ?的图象关于直线 x=2π 对称, 4. 设函数 f(x)=Asin(ω x+φ ), ? ? 2? 3 ?
它的周期是 π ,则( )

? 1? A.f(x)的图象过点?0, ? ? 2?
B.f(x)在?

?5π ,2π ?上是减函数 ? 3 ? ? 12 ?5π ,0? ? ? 12 ?

C.f(x)的一个对称点中心是? D.f(x)的最大值是 A

2π 解析:∵周期 T=π ,∴ =π ,∴ω =2. ω 2π 又∵f(x)的图象关于直线 x= 对称, 3 2π 3π π ∴2× +φ = +kπ ,k∈Z,∵|φ |< , 3 2 2 ∴φ = π? π ? .∴f(x)=Asin?2x+ ?. 6? 6 ?

5π ? A? ∴图象过点?0, ?.又当 x= 时, 12 ? 2? π ?5π ? 2x + =π ,即 f? ?=0, 6 ? 12 ?

-4-

∴?

?5π ,0?是 f(x)的一个对称中心. ? ? 12 ?

答案:C 二、填空题(每小题 4 分,共 12 分) π 5. 若函数 y=sin(2x+θ )的图象向左平移 个单位长度后恰好与 y=sin 2x 的图象重合, 6 则 θ 的最小正值为________. 解析:y=sin (2x+θ )的图象 π 向左平移 个单位 ? ? π? ? 6― ― ― ― ― ― ― ― → y=sin?2?x+ ?+θ ? 6? ? ? ? π ? ? =sin?2x+ +θ ?=sin 2x, 3 ? ? ∴ π π +θ =2kπ ,即 θ =2kπ - (k∈Z), 3 3

π 5 ∴θ 的最小正值为 2π - = π . 3 3 5 答案: π 3 6.已知函数 f(x)=sin(ω x+φ )(ω >0).f(x)的图象的相邻最高点和最低点的横坐标相 π π 差 ,初相为 ,则 f(x)的表达式为________________. 2 6 π 2π 2π π 解析:由题意知.T=2· =π ,则 ω = = =2,φ = . 2 T π 6 π? ? ∴表达式为 f(x)=sin?2x+ ?. 6? ? π? ? 答案:f(x)=sin?2x+ ? 6? ? π? ? 7.关于函数 f(x)=4sin?2x+ ?(x∈R)有下列命题,其中正确的是________. 3? ? π? ? ①y=f(x)的表达式可改写为 y=4cos?2x- ?; 6? ? ②y=f(x)是以 2π 为最小正周期的周期函数;

? π ? ③y=f(x)的图象关于点?- ,0?对称; ? 6 ?
π ④y=f(x)的图象关于直线 x=- 对称. 6 π? π? ? ?π ? ? 解析:∵4sin?2x+ ?=4cos? -2x?=4cos?2x- ?,∴①正确,②④不正确,而③中 3? 6? ? ?6 ? ?
-5-

f?- ?=0, 6

? π? ? ?

? π ? 故?- ,0?是对称中心. ? 6 ?
答案:①③ 三、解答题 π? ? 8.(10 分)已知函数 y=sin?2x+ ?+1. 4? ? (1)用“五点法”画出函数的草图; (2)函数图象可由 y=sin x 的图象怎样变换得到? 解:(1)列表:

π 2x+ 4

0 - π 8

π 2 π 8 2

π 3π 8 1

3π 2 5π 8 0

2π 7π 8 1

x y
描点、连线如图所示.

1

π? ? ? π 7π ? 将 y=sin?2x+ ?+1 在?- , ?上的图象向左(右)平移 kπ (k∈Z)个单位,即可得 4 8 ? ? ? ? 8 π? ? 到 y=sin?2x+ ?+1 的图象. 4? ? (2)y=sin x

y=sin?x+ ? 4

? ?

π?

?

y=sin?2x+ ? 4

? ?

π?

?

π? 所有点向上平移1个单位 ? ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― → y=sin?2x+ ?+1. 4? ? 9.(10 分)已知函数 y=Asin(ω x+φ )(A>0,ω >0,|φ |<π )在 一个周期内的图象如图所示, (1)求函数的解析式; (2)求函数的单调递增区间. 解:(1)由图得 A=2,

-6-

T=2?

?5π -?-π ??=π , ? ?? ? 12 ? 12??

2π 2π ω = = =2, T π 故 y=2sin(2x+φ ). π ? ? 又 2sin?-2× +φ ?=2, 12 ? ?

? π ? 即 sin?- +φ ?=1, ? 6 ?
2π ∴φ =2kπ + ,k∈Z. 3 2π 又|φ |<π ,∴φ = 3 2π ? ? 得函数解析式为 y=2sin?2x+ ?. 3 ? ? 2π (2)令 z=2x+ ,函数 y=sin z 的单调递增区间是 3

?-π +2kπ ,π +2kπ ?(k∈Z). ? 2 ? 2 ? ?
π 2π π 由- +2kπ ≤2x+ ≤ +2kπ 得 2 3 2 - 7π π +kπ ≤x≤- +kπ (k∈Z), 12 12

2π ? π ? ? 7π ? 所以函数 y=2sin?2x+ ?的递增区间为?- +kπ ,- +kπ ?(k∈Z). 3 ? 12 ? ? 12 ? 10.(12 分)将函数 y=lg x 的图象向左平 移一个单位长度,可得函数 f(x)的图象;将函 π π 数 y=c os (2x- )的图象向左平移 个单位长度,可得函数 g(x)的图象. 6 12 (1)在同一直角坐标系中画出函数 f(x)和 g(x)的图象; (2)判断方程 f(x)=g(x)解的个数. 解:函数 y=lg x 的图象向左平移一个单位长度, π? π ? 可得函数 f(x)=lg(x+1) 的图象,即图象 C1;函数 y=cos?2x- ?的图象向左平移 个 6? 12 ?

? ? π? π? 单位长度,可得函数 g(x)=cos?2?x+ ?- ?=cos 2x 的图象,即图象 C2. ? ? 12? 6 ?
(1)画出图象 C1 和 C2 的图象如图所示.

-7-

(2)由图象可知:两个图象共有 7 个交点.即方程 f(x)=g(x)解的个数为 7.

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