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高中数学圆的方程专题复习

时间:2014-10-06

【高二数学辅导资料】

高二数学辅导资料(三)
内容:圆与方程
本章考试要求 考试内容 圆的标准方程与一般方程 直线与圆的位置关系 两圆的位置关系 用直线和圆的方程解决简单的问题 空间直角坐标系 空间两点间的距离公式 A 要求层次 B √ √ √ √ √ C √

问题 3.点 P ? 4, ?2? 与圆 x2 ? y 2 ? 4 上任一点连线的中点轨迹方程是

A. ( x ? 2)2 ? ( y ? 1)2 ? 1 C. ( x ? 4)2 ? ( y ? 2)2 ? 4
迹.

B. ( x ? 2)2 ? ( y ? 1)2 ? 4 D. ( x ? 2)2 ? ( y ?1)2 ? 1

问题 4.设两点 A ? ?3,0? , B ?3,0? ,动点 P 到点 A 的距离与到点 B 的距离的比为 2 ,求 P 点的轨

圆与方程

空间直角坐标系

一、圆的方程 【知识要点】 1. 圆心为 C (a, b) ,半径为 r 的圆的标准方程为: ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 (r ? 0) a ? b ? 0 时,圆心在原点的圆的方程为: x 2 ? y 2 ? r 2 .

? D E? 2. 圆的一般方程 x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ,圆心为点 ? ? , ? ? ,半径 r ? 2? ? 2
2 2

D ? E ? 4F , 2
2 2

二、直线和圆、圆与圆的位置关系 【知识要点】 1. 直线与圆的位置关系 将直线方程代入圆的方程得到一元二次方程,设它的判别式 为 △ ,圆的半径为 r ,圆心 C 到直线 l 的距离为 d ,则直线与 圆的位置关系满足以下关系: 2. 直线截圆所得弦长的计算方法:
2 2

位置关系 几何特征 代数特征

相切

相交

相离

d ?r △? 0

d?r △? 0

d ?r △? 0

利用垂径定理和勾股定理: AB ? 2 r ? d (其中 r 为圆的半径, d 直线到圆心的距离).

其中 D ? E ? 4F ? 0 . 3. 圆系方程:过圆 C1 : x2 ? y2 ? D1x ? E1 y ? F1 ? 0 与圆 C2 : x2 ? y2 ? D2 x ? E2 y ? F2 ? 0 当 ? ? ?1 时圆系方程变为两圆公共弦所在直线方程. 【互动探究】 考点一 求圆的方程 问题 1. 求满足下列各条件圆的方程:

交点的圆系方程是 x 2 ? y 2 ? D1 x ? E1 y ? F1 ? ? ? x 2 ? y 2 ? D2 x ? E2 y ? F2 ? ? 0 (不含圆 C2 ),

3. 圆与圆的位置关系:①设两圆的半径分别为 R 和 r ,圆心距为 d ,则两圆的位置关系满足关系: 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 几何特征 d ? R ? r d ? R ? r R?r ? d ? R?r d ? R?r 0? d ? R?r 代数特征 无实数解 一组实数解 两组实数解 一组实数解 无实数解
②设两圆 C1 : x ? y ? D1 x ? E1 y ? F1 ? 0 , C2 : x ? y ? D2 x ? E2 y ? F2 ? 0 ,若两圆相交,则两 圆的公共弦所在的直线方程是 4. 相切问题的解法: ①利用圆心到切线的距离等于半径列方程求解 ②利用圆心、切点连线的斜率与切线的斜率的乘积为 ?1 (或一条直线存在斜率,另一条不存在) ③利用直线与圆的方程联立的方程组的解只有一个,即 ? ? 0 来求解.
2 2 2 2

?1? 以两点 A(?3 , ? 1) , B(5 , 5) 为直径端点的圆的方程是
A. ? x ? 1?2 ? ? y ? 2 ?2 ? 100 B. ? x ? 1?2 ? ? y ? 2 ?2 ? 100 C. ? x ? 1?2 ? ? y ? 2 ?2 ? 25 D. ? x ? 1?2 ? ? y ? 2 ?2 ? 25

? 2 ? 求经过 A(5 , 2) , B(3 , ? 2) 两点,圆心在直线 2 x ? y ? 3 上的圆的方程;

特殊地,已知切点 P( x0 , y0 ) ,圆 x ? y ? r 的切线方程为
2 2 2

.

? 3? 过点 A ? 4,1? 的圆 C 与直线 x ? y ? 1 ? 0 相切于点 B ? 2,1? ,则圆 C 的方程是?

圆 ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 的切线方程为 【互动探究】 考点一 直线与圆的位置关系
2 2

问题 1: ?1? 已知圆 C : x ? y ? 4 x ? 0 , l 过点 P(3, 0) 的直线,则

A. l 与 C 相交 A. 相离

B. l 与 C 相切
2

C. l 与 C 相离
2

D. 以上三个选项均有可能

? 2 ? 直线 l : mx ? y ? 1 ? m 与圆 C : x ? ? y ? 1?
考点二 圆的标准方程与一般方程
2 2 2 2

? 1 的位置关系是

问题 2.方程 x ? y ? ax ? 2ay ? 2a ? a ? 1 ? 0 表示圆,则 a 的取值范围是

B. 相切 C. 相交 D. 无法确定,与 m 的取值有关. 2 ? 3? 过点 P ?1,3? 引圆 x ? y ? 4x ? 4 y ?10 ? 0 的弦,则所作的弦中最短的弦长为 B. 4 C. 8 ? 4 ? 求圆心为 ?1, 2? 且与直线 5x ? 12 y ? 7 ? 0 相切的圆
考点二 第1页 共2页 直线与圆相切的有关问题 认真对待学习的每一个环节,就是认真对待自己的命运!

A. a ? ?2

2 B. ? ? a ? 0 3

C . ?2 ? a ? 0

2 D. ?2 ? a ? 3

A. 2 2

D. 4 2
.

考点三 轨迹问题

广成教育· 【高二数学辅导资料】 问题 2. ?1? 圆 x 2 ? y 2 ? 4 x ? 0 在点 P(1,
A. x ? 3 y ? 2 ? 0 B. x ? 3 y ? 4 ? 0
2 2

3) 处的切线方程为
C. x ? 3 y ? 4 ? 0 D. x ? 3 y ? 2 ? 0

A. ? 2, ?3? ; 2
2 2

B. ? 2, ?3? ; 2

C. ? ?2,3? ; 1 ;

D. ? ?2,3? ; 2

2. 已知圆 x ? y ? 2x ? 4 y ? 4 ? 0 关于直线 y ? 2 x ? b 成轴对称,则 b ?
3. 圆 ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 5 关于原点 ? 0, 0 ? 对称的圆的方程为 A. ? x ? 2 ? ? y 2 ? 5
2

? 2 ? 过点 P ? 2,3? 的圆 x ? y ? 4 的切线方程是 若两条切 线的夹角是 60 ? , 则点 P 的 ? 3? 过直线 x ? y ? 2 2 ? 0 上点 P 作圆 x2 ? y 2 ? 1的两条切线,
坐标是 考点三 直线与圆相交时的弦长问题 问题 3. 已知圆 C 方程为:x 2 ? y 2 ? 4 .直线 l 过点 P ?1,2? , 且与圆 C 交于 A 、B 两点, 若 AB ? 2 3 , 求直线 l 的方程.

B. x 2 ? ? y ? 2 ? ? 5
2

C. ( x ? 2) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 5

D. x 2 ? ( y ? 2) 2 ? 5

4. 圆 x2 ? y 2 ? 2x ? 6 y ? 9 ? 0 关于直线 2 x ? y ? 5 ? 0 对称的圆的方程是 A. ( x ? 7)2 ? ( y ? 1)2 ? 1 B. ( x ? 7)2 ? ( y ? 2)2 ? 1 C. ( x ? 6)2 ? ( y ? 2)2 ? 1 D. ( x ? 6)2 ? ( y ? 2)2 ? 1 5. 两个圆 C1 : x2 ? y 2 ? 2x ? 2 y ? 2 ? 0 与 C2 x2 ? y2 ? 4x ? 2 y ? 1 ? 0 的公切线有且仅有 A. 1 条 B. 2 条 C. 3 条 D. 4 条 2 2 6. 圆 x ? y ? 4x ? 4 y ?10 ? 0 上的点到直线 x ? y ? 14 ? 0 的最大距离与最小距离的差是 A. 36 B. 18 C. 6 2 D. 5 2 2 2 7. 若 P(2, ? 1) 为圆 ( x ? 1) ? y ? 25的弦 AB 的中点,则直线 AB 的方程是 A. x ? y ? 3 ? 0 B. 2 x ? y ? 3 ? 0 C. x ? y ? 1 ? 0 D. 2 x ? y ? 5 ? 0
8. 由直线 y ? x ? 1 上的一点向圆 ( x ? 3)2 ? y 2 ? 1引切线,则切线长的最小值为

问题 4.已知直线 l : 2mx ? y ? 8m ? 3 ? 0 和圆 C : x2 ? y 2 ? 6 x ? 12 y ? 20 ? 0 ;

?1? m ? R 时,证明 l 与 C 总相交; ? 2 ? m 取何值时, l 被 C 截得弦长最短,求此弦长.

A. 1
2

B. 2 2
2

C. 7

D. 3


9. 直线 y ? x 被圆 x ? ? y ? 2 ? ? 4 截得的弦长为

10. 圆 x2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 3 ? 0 上到直线 x ? y ? 1 ? 0 的距离为 2 的点共有
考点四 圆与圆的位置关系
2

11. 由点 P ? 0,1? 引圆 x2 ? y 2 ? 4 的割线 l , 交圆于 A, B 两点, 使 △ AOB 的面积为
2 2 2

问题 5. ?1? )圆 ( x ? 2) ? y ? 4 与圆 ( x ? 2) ? ( y ? 1) ? 9 的位置关系为

7 ( O 为原点) , 2

求直线 l 的方程.
2

A. 内切

B. 相交

C. 外切
2 2

D. 相离

? 2 ? ( 2013 重庆)已知圆 C1 : ? x ? 2 ? ? ? y ? 3?
A. 5 2 ? 4

? 1 ,圆 C2 : ? x ? 3? ? ? y ? 4 ? ? 9 , M , N 分别是
2

圆 C1 , C2 上的动点, P 为 x 轴上的动点,则 PM ? PN 的最小值为

B. 17 ?1 C. 6 ? 2 2 D. 17 2 2 2 2 问题 6.已知圆 ⊙C1 : x ? y ? 2 x ? 2 y ? 8 ? 0 与 ⊙C2 : x ? y ? 2 x ? 10 y ? 24 ? 0 相交于 A, B 两点,

12. [2014· 全国新课标卷Ⅰ] 已知点 P(2,2),圆 C:x2+y2-8y=0,过点 P 的动直线 l 与圆 C 交于 A,
B 两点,线段 AB 的中点为 M,O 为坐标原点. (1)求 M 的轨迹方程; (2)当|OP|=|OM|时,求 l 的方程及△POM 的面积.

?1? 求公共弦 AB 所在的直线方程; ? 2 ? 求圆心在直线 y ? ? x 上,且经过 A, B 两点的圆的方程;

【巩固训练】

1. 圆 x2 ? y 2 ? 4 x ? 6 y ? 11 ? 0 的圆心和半径分别是
第2页 共2页

不会学会,会的做对. 心若在,梦就在!


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