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数学奥林匹克高中训练题(26)及答案

时间:2011-01-14


数学奥林匹克高中训练题(26)
第一试
一、选择题(本题满分36分,每小题6分) 1.(训练题26) z1 = 关系为(B). (A) z1 > z2 (B) z1 = z2 (C) z1 < z2 (D)不能比较大小

1 1 cos θ + i sin θ cos θ ? i sin θ , z2 = + + 的 1 + cos θ + i sin θ 1 + cosθ ? i sin θ 1 + cos θ + i sin θ 1 + cos θ ? i sin θ

2.(训练题26)已知函数 y = 2 x 2 在 [ a, b] ( a < b) 上的值域为 [0, 2] ,则点 (a, b) 的轨迹为图中的(A). (A)线段 AB, BC (C)线段 OA, BC (B)线段 AB, OC (D)线段 OA, OC C -1 O x B y A 1

3.(训练题26)设三角形三个内角的对边分别为 a, b, c ,如果 a 2 = b(b + c ), b 2 = c (c + a ) ,那么,下列 等式中不成立的是(D).

1 (D) sin A2 + sin B2 + sin C2 = 2 2 1 1 4.(训练题26)与三角式 2(cos 2θ + cos θ + )(cos 4θ ? cos 3θ + cos θ ? ) 恒等的是(A). 2 2 1 1 1 1 (A) cos6θ + cos3θ + (B) cos6θ + cos3θ ? (C) cos 5θ + cos 4θ + (D) cos 5θ + cos 4θ ? 2 2 2 2 5.(训练题26)给定四棱锥 S ? ABCD ,其中底面四边形 ABCD 不是平行四边形,用平面截四棱锥得
(A) ∠A = 2∠B = 4∠C (B) (C) cos C ? cos B ? cos A = 四边形 A1 B1C1 D1 ( A1 , B1 , C1 , D1 分别在侧棱 SA, SB, SC , SD 上) ,记集合 M = {四边形 A1 B1C1 D1 为平 行四边形},则有(B). (A) M 为空集 (B) M 为无穷集合 (C) M 为单元集合 (D) M 的元素与底面形状有关,不能确定 6.(训练题26)红,黄,蓝变色灯的拉线开关是这样设计的:接上电源即出红色,拉第一次开关时灯色 由红变黄,拉第二次时灯色由黄变蓝,拉第三次开关时灯色由蓝变红,如此循环往复.现对编号为

1 1 1 + = a b c

1, 2,3,? ,1997 的 1997 盏变色灯通上电源,先将编号为2的倍数的灯线拉一下,然后将编号为3的倍数
的灯拉一下,最后将编号为5的倍数的灯拉一下后,拉完后黄色灯的盏数为(C). (A) 1530 (B) 1464 (C) 932 (D) 866

二、填空题(本题满分54分,每小题9分) 1.(训练题26)已知 (?1) 2 ≡ bn (mod 9), 0 ≤ bn ≤ 8 ,则 bn 的值域为
n n

1



2.(训练题26)如图,三棱柱上有一个空间五边形 ABCDE , AB 的中点为 A1 , BC 的中点为 A2 , CD 的中

点为 A3 , DE 的中点为 A4 ,连 A1 A3 , A2 A4 , M 是 A1 A3 的中点, N 是 A2 A4 的中点,则

MN = AE
D

1 4



A A4 E A1 M N C A2 A3

3. (训练题26)双曲线 y2 ? x2 =1与 y =

? ? ? ?x1 = 0, ?x2 = 2 2, ?x3 = ?2 2 + 5, ?x4 = ?2 2 ? 5, 4x + 2 的交点为 ? . ? ? ? x+ 2 ? ? y1 =1; ? y2 = 3; ? y3 = 2 ? 10; ? y4 = 2 + 10. ? ?

B

4.(训练题26)对 S n = {1, 2,? , n} 的每一个非空子集 A ,我们将 A 中每一个元素 k (1 ≤ k ≤ n) 都乘以

(?1) k 然后求和.则所有的这此和的总和为

(?1) n [n +

1 ? (?1) n ] ? 2n ? 2 2



5.(训练题26)不等式 lg x > lg 4 x > lg 2 x 的解集为

{x |

2 1 <x< } 4 2



6.(训练题26)有 n( n ≥ 6) 名乒乓球选手进行单循环赛(无和局) ,比赛结果显示:任意5人中既有1人 胜于其余4人,又有1人负于其余4人.则恰胜两场的人数为
2 2 2

1
2 2

个.

三、(训练题26)(本题满分20分)对于曲线 C1 : 3( x + 2 y ) = 2( x + 4 y ) 上原点之外的每一点 P ,求 证存在过 P 的直线与椭圆 C2 : x + 2 y = 2 相交于两点 A, B ,使 ?AOP与?BOP 均为等腰三角形.
2 2

四、(训练题26)(本题满分20分)已知直线 l1 , l2 , l3 两两成异面直线,问是否存在直线 l 同时与 l1 , l2 , l3 相 交?证明你的结论. 五、(训练题26)(本题满分20分) 某县位于沙漠地带,人与自然长期进行顽强的斗争,到1996年底全县 的绿化率已达到30%(成为绿洲) ,从1997年开始,每年将出现这样的局面,原有沙漠面积的16%被栽上 树,改造为绿洲,而同时,原有绿洲的面积的4%又被侵蚀,变为沙漠.(1)设全县面积为1,1996年底 绿洲面积为 a1 ?

3 4 4 ,经过 n 年绿洲面积为 an ?1 ,求证: an +1 = an + .(2)至少需经过多少年的努 10 5 25

力才能使全县的绿化率超过60%(年取整数)? 5

第二试
一、(训练题26)(本题满分50分)在锐角 ?ABC 中, BD 是 AC 上的高, E 是 AB 边上一点,满足

∠AEC = 45 , BD = 2CE ,求证: DE // BC 的充要条件是 CE = AC + AD .
( z + 4) 2 ? ( z + 4) 2 二、(训练题26)(本题满分50分)已知复数 z 的模为1,求 u = 的最大值. 4i
三、(训练题26)(本题满分50分)将直线上的 a 点染成红色, b 点染成黄色, c 点染成蓝色,使同色点互 不相邻,其染色方法的种数记为 F ( a, b, c ) ,显然有

F (1,1,1) = 6;

? 0, 当 a ? b > 1时, ? F (a, b,0) = ? 1, 当 a ? b = 1时, ?2, 当 a ? b = 0时; ?

?0, 当a > 1时, F (a,0,0) = ? ?1,当a = 1时;
(1)证明:对不全为 1 的自然数 a, b, c 有

F (a, b, c) = F (a ? 1, b ? 1, c) + F (a ? 1, b, c ? 1) + F (a, b ? 1, c ? 1) + 2 F (a ? 1, b ? 1, c ? 1)
(2)利用上述递推关系求解下题: 书架上有 4 本不同的数学书,5 本不同的物理书,3 本不同的化学书,全部竖起排成一行,如果 要求同类书本身互不相邻邦,共有多少种排法?


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