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2015-2016学年高中数学 1.1.2弧度制课时作业 新人教A版必修4

时间:2015-12-11


2015-2016 学年高中数学 1.1.2 弧度制课时作业 新人 A 教版必修 4
基础巩固 一、选择题 1.2145°转化为弧度数为( A. C. 16 3 16π 3 ) B. 32 2

143π D. 12

[答案] D π 143 [解析] 2145°=2015? rad= π rad. 180 12 2.α =-2 rad,则 α 的终边在( A.第一象限 C.第三象限 [答案] C [解析] ∵1 rad≈=57.30°,∴-2 rad≈-114.60°.故 α 的终边在第三象限. 3. (2015?青岛高二检测)将-1485°化成 α +2kπ (0≤α <2π , k∈Z)的形式是( π A.- -8π 4 C. π -10π 4 7 B. π -8π 4 7 D. π -10π 4 ) ) B.第二象限 D.第四象限

[答案] D [解析] ∵-1485°=-5?360°+315°, 7 又 2π rad=360°,315°= π rad. 4 7 故-1485°化成 α +2kπ (0≤α <2π ,k∈Z)的形式是 π -10π . 4 4.下列各式正确的是( A. π =90 2 ) π B. =10° 18 38 D.38°= π

60 C.3°= π [答案] B 5.下列各式不正确的是( 7π A.-210°=- 6 )

9π B.405°= 4

1

23π C.335°= 12 [答案] C

47π D.705°= 12

6.圆的半径变为原来的 2 倍,弧长也增加到原来的 2 倍,则( A.扇形的面积不变 B.扇形的圆心角不变 C.扇形的面积增大到原来的 2 倍 D.扇形的圆心角增大到原来的 2 倍 [答案] B

)

l 2l [解析] α = = =α ,故圆心角不变. r 2r
二、填空题 7.扇形 AOB,半径为 2 cm,|AB|=2 2 cm,则 AB 所对的圆心角弧度数为________. [答案] π 2

π [解析] ∵|AO|=|OB|=2,|AB|=2 2,∴∠AOB=90°= . 2 8. (2015?山东潍坊高一检测)如图所示, 图中公路弯道处 AB 的弧长 l=________.(精 确到 1m).

[答案] 47 m π [解析] 根据弧长公式,l=α = ?45≈47(m). 3 三、解答题 9.(1)已知扇形的周长为 20 cm,面积为 9 cm ,求扇形圆心角的弧度数; (2)已知某扇形的圆心角为 75°,半径为 15 cm,求扇形的面积. [解析] (1) 如图所示,设扇形的半径为 r cm,弧长为 l cm,圆心角为 θ (0<θ <2π ), 由 l+2r=20,得 l=20-2r, 1 1 由 lr=9,得 (20-2r)r=9, 2 2 ∴r -10r+9=0,解得 r1=1,r2=9.
2 2

2

l 18 当 r1=1 cm 时,l=18 cm,θ = = =18>2π (舍去). r 1 l 2 当 r2=9 cm 时,l=2 cm,θ = = . r 9
2 ∴扇形的圆心角的弧度数为 . 9 π 5π 1 1 5π 2 (2)扇形的圆心角为 75? = ,扇形半径为 15 cm,扇形面积 S= |α |r = ? 180 12 2 2 12 375 2 2 ?15 = π (cm ). 8 10.(1)把 310°化成弧度; 5π (2)把 rad 化成角度; 12 π 7π (3)已知 α =15°、β = 、γ =1、θ =105°、φ = ,试比较 α 、β 、γ 、θ 、 10 12 φ 的大小. π 31π [解析] (1)310°= rad?310= rad. 180 18 5π ?180 5π ? (2) rad=? ? ?°=75°. 12 ? 12 ?π (3)解法一(化为弧度): π π π 7π α =15°=15? = .θ =105°=105? = . 180 12 180 12 π π 7π 显然 < <1< . 12 10 12 故 α <β < γ <θ =φ . 解法二(化为角度): π π 180 β = = ?( )°=18°,γ =1≈57.30°, 10 10 π 7π 180° φ = ?( )°=105°. 12 π 显然,15°<18°<57.30°<105°. 故 α <β <γ <θ =φ . 能力提升 一、选择题 α π α 1.若 =2kπ + (k∈Z),则 的终边在( 3 3 2 A.第一象限 )

B.第四象限
3

C.x 轴上 [答案] D α π [解析] ∵ =2kπ + (k∈Z), 3 3 ∴α =6kπ +π (k∈Z),∴

D.y 轴上

α π =3kπ + (k∈Z). 2 2

α α 当 k 为奇数量, 的终边在 y 轴的非正半轴上;当 k 为偶数时, 的终边在 y 轴的非负 2 2 α 半轴上.综上, 终边在 y 轴上,故选 D. 2 11π 2.把- 表示成 θ +2kπ (k∈Z)的形式,使|θ |最小的 θ 值是( 4 3π A.- 4 C. π 4 π B.- 4 3π D. 4 )

[答案] A 11π 3π 11 5π [解析] ∵- =-2π - 或- π =-4π + , 4 4 4 4 3π ∴使|θ |最小的 θ 的值是- . 4 3. 设集合 M={x|x= A.M?N C.M=N [答案] A [解析] 集合 M 中角 x 的终边落在各象限的角平分线上, 而集合 N 中角 x 的终边不仅落 在各象限的角平分线上,而且也落在各坐标轴上.实际上,集合 M 与集合{x|x= ∈Z}是相等的.故选 A. 4.一个半径为 R 的扇形,它的周长是 4R,则这个扇形所含弓形的面积是( 1 2 A. (2-sin1cos1)R 2 1 2 C. R 2 [答案] D 1 l 2 [解析] 设弧长为 l,则 l+2R=4R,∴l=2R,∴S 扇形= lR=R .∵圆心角|α |= =2, 2 R
4



π kπ ± , k∈Z}, N={x|x= , k∈Z}, 则 M、 N 之间的关系为( 2 4 4 B.M?N D.M∩N=?

)


2



π ,k 4

)

1 2 B. R sin1cos1 2 D.R -R sin1cos1
2 2

1 2 2 2 ∴S 三角形= ?2R?sin1?Rcos1=R sin1?cos1,∴S 弓形=S 扇形-S 三角形=R -R sin1cos1. 2 二、填空题 5.已知两角和为 1 弧度,且两角差为 1°,则这两个角的弧度数分别是________. [答案] 1 π 1 π + , - 2 360 2 360

π [解析] 设两个角的弧度分别为 x,y,因为 1°= rad, 180

x+y=1, ? ? 所以有? π x-y= , ? 180 ?

1 π ? ?x=2+360, 解得? 1 π ? ?y=2-360.

1 π 1 π 即所求两角的弧度数分别为 + , - . 2 360 2 360 π π 6.若 α 、β 满足- <α <β < ,则 α -β 的取值范围是________. 2 2 [答案] (-π ,0) π π π π [解析] 由题意,得- <α < ,- <-β < , 2 2 2 2 ∴-π <α -β <π .又 α <β ,∴α -β <0. ∴-π <α -β <0. 三、解答题 7.如图所示,用弧度制表示顶点在原点,始边重合于 x 轴的非负半轴,终边落在阴影 部分的角的集合.

[解析] (1)将阴影部分看成是由 OA 逆时针转到 OB 所形成.故满足条件的角的集合为 3π 4π {α | +2kπ <α < +2kπ ,k∈Z}. 4 3 π (2)若将终边为 OA 的一个角改写为- , 此时阴影部分可以看成是 OA 逆时针旋转到 OB 6 π 5π 所形成,故满足条件的角的集合为{α |- +2kπ <α ≤ +2kπ ,k∈Z}. 6 12 (3)将图中 x 轴下方的阴影部分看成是由 x 轴上方的阴影部分旋转 π rad 而得到, 所以

5

π 满足条件的角的集合为{α |kπ ≤α ≤ +kπ ,k∈Z}. 2 (4)与第(3)小题的解法类似,将第二象限阴影部分旋转 π rad 后可得到第四象限的阴 2π 5π 影部分.所以满足条件的角的集合为{α | +kπ <α < +kπ ,k∈Z}. 3 6 8.集合 A={α |α =


2

2π 2 ,n∈Z}∪{α |α =2nπ ± ,n∈Z},B={β |β = nπ ,n 3 3

π ∈Z}∪{β |β =nπ + ,n∈Z},求 A 与 B 的关系. 2 [解析] 解法一:如图所示.

∴B?A. 解法二:{α |α =


2

π ,n∈Z}={α |α =kπ ,k∈Z}∪{α |α =kπ + ,k∈Z}; 2

2nπ 2π {β |β = , n∈Z}={β |β =2kπ , k∈Z}∪{β |β =2kπ ± , k∈Z}比较集合 A、 3 3

B 的元素知,B 中的元素都是 A 中的元素,但 A 中元素 α =(2k+1)π (k∈Z)不是 B 的元素,
所以 A?B.

6


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