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专题六解析几何第2讲椭圆双曲线抛物线专题突破讲义 文 含答案 2018年高考数学二轮复习专题

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第2讲 椭圆、双曲线、抛物线 1.以选择题、填空题形式考查圆锥曲线的方程、几何性质(特别是离心率). 2.以解答题形式考查直线与圆锥曲线的位置关系(弦长、中点等). 热点一 圆锥曲线的定义与标准方程 1.圆锥曲线的定义 (1)椭圆:|PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F2|). (2)双曲线:||PF1|-|PF2||=2a(2a<|F1F2|). (3)抛物线:|PF|=|PM|,点 F 不在直线 l 上,PM⊥l 于 M. 2.求解圆锥曲线标准方程“先定型,后计算” 所谓“定型”,就是确定曲线焦点所在的坐标轴的位置;所谓“计算”,就是指利用待定系 数法求出方程中的 a ,b ,p 的值. 例 1 (1)(2017·湛江模拟)已知双曲线 2- =1(a>0)的一个焦点与抛物线 y =8x 的焦点重 a 3 合,则 a 等于( A.1 C. 13 答案 A 解析 抛物线 y =8x 的焦点为 F(2,0),在双曲线 2- =1(a>0)中, c=2,c =4,b =3, a 3 2 2 2 2 2 x2 y2 2 ) B.2 D. 19 x2 y2 所以 a =c -b =4-3=1, 所以 a=1,故选 A. (2)如图, 过抛物线 y =2px(p>0)的焦点 F 的直线 l 交抛物线于点 A, 2 2 2 2 B,交其准线于点 C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则此抛物线方程 为( 2 ) A.y =9x B.y =6x C.y =3x D.y = 3x 答案 C 解析 如图分别过点 A,B 作准线的垂线,分别交准线于点 E,D, 2 2 2 设|BF|=a,则由已知得|BC|=2a,由抛物线定义,得|BD|=a,故∠BCD=30 ,在 Rt△ACE ° 中, ∵|AE|=|AF|=3, |AC|=3+3a,∴2|AE|=|AC|,即 3+3a=6,从而得 a=1,|FC|=3a=3. 1 3 ∴p=|FG|= |FC|= , 2 2 因此抛物线方程为 y =3x,故选 C. 思维升华 (1)准确把握圆锥曲线的定义和标准方程及其简单几何性质,注意当焦点在不同坐 标轴上时,椭圆、双曲线、抛物线方程的不同表示形式. (2)求圆锥曲线方程的基本方法就是待定系数法,可结合草图确定. 跟踪演练 1 (1)(2017 届沈阳市东北育才学校模拟)已知双曲线与椭圆 + =1 的焦点相同, 9 25 8 且它们的离心率的乘积等于 ,则此双曲线的方程为( 5 A. - =1 4 12 ) 2 x2 y2 x2 y2 B. - =1 4 12 y2 x2 x2 C. - =1 D. - =1 12 4 12 4 答案 B 4 4 8 2 解析 由题意得 c=4, × = ? a=2,∴b =12.又双曲线的焦点在 y 轴上,∴双曲线的方 a 5 5 程为 - =1,故选 B. 4 12 (2)△ABC 的两个顶点为 A(-4,0),B(4,0),△ABC 的周长为 18,则 C 点轨迹方程为( A. + =1(y≠0) 16 9 C. + =1(y≠0) 16 9 答案 D 解析 ∵△ABC 的两顶点 A(-4,0), B(4,0), 周长为 18, ∴|AB|=8, |BC|+|AC|=10.∵10>8, ∴点 C 到两个定点的距离之和等于定值,满足椭圆的定义,∴点 C 的轨迹是以 A,B 为焦点的 椭圆.∴2a=10,2c=8,即 a=5,c=4,∴b=3.∴C 点的轨迹方程为 + =1(y≠0).故选 25 9 D. 热点二 圆锥曲线的几何性质 1.椭圆、双曲线中 a,b,c 之间的关系 (1)在椭圆中:a =b +c ,离心率为 e= = 2 2 2 x2 y2 y2 y2 x2 ) x 2 y 2 B. D. + =1(y≠0) 25 9 + =1(y≠0) 25 9 y 2 x 2 y2 x2 x2 y2 x2 y2 c a 1-? ? . a ?b?2 ? ? (2)在双曲线中:c =a +b ,离心率为 e= = 2 2 2 c a 1+? ? . ?b?2 ?a? 2. 双曲线 2- 2=1(a>0, b>0)的渐近线方程为 y=± x.注意离心率 e 与渐近线的斜率的关系. 例 2 (1)(2017·全国Ⅲ)已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右顶点分别为 A1,A2,且以线 段 A1A2 为直径的圆与直线 bx-ay+2ab=0 相切,则椭圆 C 的离心率为( A. 6 3 B. 3 3 C. 2 3 1 D. 3 ) x2 y2 a b b a x2 y2 a b 答案 A 解析 由题意知,以 A1A2 为直径的圆的圆心坐标为(0,0),半径为 a.又直线 bx-ay+2ab=0 与圆相切, 所以圆心到直线的距离 d= 所以 = 2ab a2+b2 =a,解得 a= 3b, b a 1 3 . 所以 e= = 故选 A. c a a2-b2 = a 1-? ? = ?b?2 ?a? 1-? 6 ? 1 ?2 ?= 3 . ? 3? (2)(2017 届百校大联考全国名校联盟联考)过双曲线 E: 2- 2=1(a>0, x2 y2 a b b>0)的右顶点 A 作斜率为-1 的直线,该直线与 E 的渐近线交于 B,C 两 → → 点,若BC+2BA=0,则双曲线 E 的渐近线方程为 ( A.y=± 3x C.y=± 2x 答案 D B.y=±4x D.y=±2x ) ? a , ab ?,直线 l:y=-x+ 解析 直线 l:y=-x+a 与渐近线 l1:bx-ay=0 交于点 B? ? ?a+b a+b? 2 → → → → ? a ,- ab ?, a 与渐近线 l2: bx+ay=0 交于点 C? A(a,0

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