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专题六解析几何第2讲椭圆双曲线抛物线专题突破讲义 文 含答案 2018年高考数学二轮复习专题

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第2讲 椭圆、双曲线、抛物线 1.以选择题、填空题形式考查圆锥曲线的方程、几何性质(特别是离心率). 2.以解答题形式考查直线与圆锥曲线的位置关系(弦长、中点等). 热点一 圆锥曲线的定义与标准方程 1.圆锥曲线的定义 (1)椭圆:|PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F2|). (2)双曲线:||PF1|-|PF2||=2a(2a<|F1F2|). (3)抛物线:|PF|=|PM|,点 F 不在直线 l 上,PM⊥l 于 M. 2.求解圆锥曲线标准方程“先定型,后计算” 所谓“定型”,就是确定曲线焦点所在的坐标轴的位置;所谓“计算”,就是指利用待定系 数法求出方程中的 a ,b ,p 的值. 例 1 (1)(2017·湛江模拟)已知双曲线 2- =1(a>0)的一个焦点与抛物线 y =8x 的焦点重 a 3 合,则 a 等于( A.1 C. 13 答案 A 解析 抛物线 y =8x 的焦点为 F(2,0),在双曲线 2- =1(a>0)中, c=2,c =4,b =3, a 3 2 2 2 2 2 x2 y2 2 ) B.2 D. 19 x2 y2 所以 a =c -b =4-3=1, 所以 a=1,故选 A. (2)如图, 过抛物线 y =2px(p>0)的焦点 F 的直线 l 交抛物线于点 A, 2 2 2 2 B,交其准线于点 C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则此抛物线方程 为( 2 ) A.y =9x B.y =6x C.y =3x D.y = 3x 答案 C 解析 如图分别过点 A,B 作准线的垂线,分别交准线于点 E,D, 2 2 2 设|BF|=a,则由已知得|BC|=2a,由抛物线定义,得|BD|=a,故∠BCD=30 ,在 Rt△ACE ° 中, ∵|AE|=|AF|=3, |AC|=3+3a,∴2|AE|=|AC|,即 3+3a=6,从而得 a=1,|FC|=3a=3. 1 3 ∴p=|FG|= |FC|= , 2 2 因此抛物线方程为 y =3x,故选 C. 思维升华 (1)准确把握圆锥曲线的定义和标准方程及其简单几何性质,注意当焦点在不同坐 标轴上时,椭圆、双曲线、抛物线方程的不同表示形式. (2)求圆锥曲线方程的基本方法就是待定系数法,可结合草图确定. 跟踪演练 1 (1)(2017 届沈阳市东北育才学校模拟)已知双曲线与椭圆 + =1 的焦点相同, 9 25 8 且它们的离心率的乘积等于 ,则此双曲线的方程为( 5 A. - =1 4 12 ) 2 x2 y2 x2 y2 B. - =1 4 12 y2 x2 x2 C. - =1 D. - =1 12 4 12 4 答案 B 4 4 8 2 解析 由题意得 c=4, × = ? a=2,∴b =12.又双曲线的焦点在 y 轴上,∴双曲线的方 a 5 5 程为 - =1,故选 B. 4 12 (2)△ABC 的两个顶点为 A(-4,0),B(4,0),△ABC 的周长为 18,则 C 点轨迹方程为( A. + =1(y≠0) 16 9 C. + =1(y≠0) 16 9 答案 D 解析 ∵△ABC 的两顶点 A(-4,0), B(4,0), 周长为 18, ∴|AB|=8, |BC|+|AC|=10.∵10>8, ∴点 C 到两个定点的距离之和等于定值,满足椭圆的定义,∴点 C 的轨迹是以 A,B 为焦点的 椭圆.∴2a=10,2c=8,即 a=5,c=4,∴b=3.∴C 点的轨迹方程为 + =1(

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