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等差等比数列的性质总结

时间:2016-05-06


数学

一、等差数列
1.等差数列的定义: an ? an?1 ? d (d为常数) (n ? 2) ; 2.等差数列通项公式:

an ? a1 ? (n ?1)d ? dn ? a1 ? d (n ? N * )
推广: an ? am ? (n ? m)d . 3.等差中项

, 首项: a1 ,公差:d,末项: an

从而 d ?

an ? am ; n?m
a?b 或 2A ? a ? b 2

(1)如果 a , A , b 成等差数列,那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项.即: A ?

(2)等差中项:数列 ?an ? 是等差数列 ? 2an ? an-1 ? an?1 (n ? 2) ? 2an?1 ? an ? an?2 4.等差数列的前 n 项和公式:

Sn ?

n(a1 ? an ) n(n ? 1) d 1 ? na1 ? d ? n 2 ? ( a1 ? d ) n ? An2 ? Bn 2 2 2 2

(其中A、B是常数,所以当d≠0时,Sn是关于n的二次式且常数项为0) 特别地,当项数为奇数 2n ? 1 时, an ?1 是项数为 2n+1 的等差数列的中间项

S2 n?1 ?

? 2n ? 1?? a1 ? a2n?1 ? ?
2

? 2n ? 1? an?1 (项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项)
?

5.等差数列的判定方法 (1) 定义法:若 an ? an?1 ? d 或 an?1 ? an ? d (常数 n ? N ) ? ⑶数列 ?an ? 是等差数列 ? an ? kn ? b (其中 k , b 是常数)。

(2) 等差中项:数列 ?an ? 是等差数列 ? 2an ? an-1 ? an?1 (n ? 2) ? 2an?1 ? an ? an?2 . (4)数列 ?an ? 是等差数列 ? Sn ? An2 ? Bn ,(其中A、B是常数)。 6.等差数列的证明方法 定义法:若 an ? an?1 ? d 或 an?1 ? an ? d (常数 n ? N ) ?
?

?an ? 是等差数列.

?an ?是等差数列.

7.提醒: (1)等差数列的通项公式及前 n 和公式中,涉及到 5 个元素: a1 、 d 、 n 、 an 及 Sn ,其中 a1 、 d 称作为 基本元素。只要已知这 5 个元素中的任意 3 个,便可求出其余 2 个,即知 3 求 2。 (2)设项技巧: ①一般可设通项 an ? a1 ? (n ?1)d ②奇数个数成等差,可设为?, a ? 2d , a ? d , a, a ? d , a ? 2d ?(公差为 d ) ; ③偶数个数成等差,可设为?, a ? 3d , a ? d , a ? d , a ? 3d ,?(注意;公差为 2 d ) 8..等差数列的性质: (1)当公差 d ? 0 时, 等差数列的通项公式 an ? a1 ? (n ?1)d ? dn ? a1 ? d 是关于 n 的一次函数,且斜率为公差 d ; 前 n 和 S n ? na1 ?

n(n ? 1) d d d ? n 2 ? (a1 ? )n 是关于 n 的二次函数且常数项为 0. 2 2 2

(2)若公差 d ? 0 ,则为递增等差数列,若公差 d ? 0 ,则为递减等差数列,若公差 d ? 0 ,则为常数列。 (3)当 m ? n ? p ? q 时,则有 am ? an ? a p ? aq ,特别地,当 m ? n ? 2 p 时,则有 am ? an ? 2a p . 注: a1 ? an ? a2 ? an?1 ? a3 ? an?2 ? ??? ,

-1-

数学 (4)若 ?an ? 、 ?bn ? 为等差数列,则 ??an ? b?, ??1an ? ?2bn? 都为等差数列 (5) 若{ an }是等差数列,则 Sn , S2n ? Sn , S3n ? S2n ,?也成等差数列 (6)数列 {an } 为等差数列,每隔 k(k ? N )项取出一项( am , am?k , am?2k , am?3k , ??? )仍为等差数列
*

(7)设数列 ?an ? 是等差数列,d 为公差, S 奇 是奇数项的和, S 偶 是偶数项项的和, S n 是前 n 项的和 1.当项数为偶数 2n 时,

S奇 ? a1 ? a3 ? a5 ? ??? ? a2 n?1 ?

n ? a1 ? a2 n?1 ? ? nan 2 n ? a2 ? a2 n ? S偶 ? a2 ? a4 ? a6 ? ??? ? a2 n ? ? nan ?1 2 S偶 ? S奇 ? nan?1 ? nan ? n ? an?1 ? an ?

S奇 nan a ? ? n S偶 nan?1 an?1
2、当项数为奇数 2n ? 1 时,则

? S n ?1 ? S2 n ?1 ? S奇 ? S偶 ? (2n ? 1) an+1 ? ?S奇 ? (n ? 1)an+1 ?? ? 奇? ? S奇 ? S偶 ? an+1 S偶 n ? ? ? S偶 ? nan+1 ? (其中 an+1 是项数为 2n+1 的等差数列的中间项) .
(8) 、 {bn } 的前 n 和分别为 An 、 Bn ,且 则

An ? f ( n) , Bn

an (2n ? 1)an A2 n ?1 ? ? ? f (2n ? 1) . bn (2n ? 1)bn B2 n ?1

(9)等差数列 {an } 的前 n 项和 Sm ? n ,前 m 项和 Sn ? m ,则前 m+n 项和 Sm?n ? ? ? m ? n ? (10)求 Sn 的最值 法一:因等差数列前 n 项是关于 n 的二次函数,故可转化为求二次函数的最值,但要注意数列的特殊性

n? N* 。
法二: (1) “首正”的递减等差数列中,前 n 项和的最大值是所有非负项之和 即当 a1 ? 0,d ? 0,由 ?

?an ? 0 可得 Sn 达到最大值时的 n 值. ?an?1 ? 0 ?a n ? 0 可得 Sn 达到最小值时的 n 值. ?an ?1 ? 0

(2) “首负”的递增等差数列中,前 n 项和的最小值是所有非正项之和。 即 当 a1 ? 0,d ? 0,由 ? 或求 ?an ?中正负分界项

法三:直接利用二次函数的对称性:由于等差数列前n项和的图像是过原点的二次函数,故n取离二次函数对 称轴最近的整数时, S n 取最大值(或最小值) 。若S p = S q则其对称轴为 n ? 注意:解决等差数列问题时,通常考虑两类方法: ①基本量法:即运用条件转化为关于 a1 和 d 的方程; ②巧妙运用等差数列的性质,一般地运用性质可以化繁为简,减少运算量.

p?q 2

-2-

数学

二、等比数列
1. 等比数列的定义: 2. 通项公式:

an ? q ? q ? 0 ? ? n ? 2, 且n ? N * ? , q 称为公比 an?1

an ? a1q n ?1 ?

a1 n q ? A ? B n ? a1 ? q ? 0, A ? B ? 0 ? , q

首项: a1 ;公比: q

推广: an ? amqn?m , 3. 等比中项

从而得 q

n?m

?

an a 或 q ? n?m n am am
2

(1)如果 a, A, b 成等比数列,那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项.即: A ? ab 或 A ? ? ab 注意:同号的两个数才有等比中项,并且它们的等比中项有两个(两个等比中项互为相反数) (2)数列 ?an ? 是等比数列 ? an 2 ? an?1 ? an?1 4. 等比数列的前 n 项和 Sn 公式: (1) 当 q ? 1 时, Sn ? na1 (2) 当 q ? 1 时, Sn ?

a1 ?1 ? q n ? 1? q
?

?

a1 ? an q 1? q

a1 a ? 1 q n ? A ? A ? B n ? A ' B n ? A ' ( A, B, A ', B ' 为常数) 1? q 1? q

5. 等比数列的判定方法 (1)用定义:对任意的 n,都有 an?1 ? qan或

an?1 ? q(q为常数,an ? 0) ? {an } 为等比数列 an

(2) 等比中项: an 2 ? an?1an?1 ( an ?1an ?1 ? 0) ? {an } 为等比数列 (3) 通项公式: an ? A ? B
n

? A ? B ? 0? ? {an } 为等比数列
n n

(4) 前 n 项和公式: Sn ? A ? A ? B 或Sn ? A ' B ? A ' A, B, A ', B '为常数 ? {an } 为等比数列 6. 等比数列的证明方法 依据定义:若

?

?

an ? q ? q ? 0 ? ? n ? 2, 且n ? N * ? 或 an?1 ? qan ? {an } 为等比数列 an?1

7. 注意 (1)等比数列的通项公式及前 n 和公式中,涉及到 5 个元素: a1 、 q 、 n 、 an 及 Sn ,其中 a1 、 q 称作为 基本元素。只要已知这 5 个元素中的任意 3 个,便可求出其余 2 个,即知 3 求 2。 (2)为减少运算量,要注意设项的技巧,一般可设为通项; an ? a1q n?1 如奇数个数成等差,可设为?,

a a , , a, aq, aq 2 ?(公比为 q ,中间项用 a 表示) ; q2 q
-3-

数学

8. 等比数列的性质 (1) 当 q ? 1 时
①等比数列通项公式 an ? a1q
n ?1

?

a1 n q ? A ? B n ? A ? B ? 0 ? 是关于 n 的带有系数的类指数函数,底数为公比 q q

②前 n 项和 S n ?

a1 ?1 ? q n ? 1? q

?

a1 ? a1q n a1 a ? 1 q n ? A ? A ? B n ? A ' B n ? A ' ,系数和常数项是互为相反 1? q 1? q 1? q

数的类指数函数,底数为公比 q

(2) 对任何 m,n ? N * ,在等比数列 {an } 中,有 an ? amqn?m ,特别的,当 m=1 时,便得到等比数列的通项公 式.因此,此公式比等比数列的通项公式更具有一般性。 (3) 若 m+n=s+t (m, n, s, t ? N * ),则 an ? am ? as ? at .特别的,当 n+m=2k 时,得 an ? am ? ak 2 注: a1 ? an ? a2 ? an?1 ? a3an?2 ???
a k (4) 列 {an } , {bn } 为等比数列,则数列 { } , {k ? an } , {an k } , {k ? an ? bn } { n } (k 为非零常数) 均为等比数 bn an

列. (5) 数列 {an } 为等比数列,每隔 k(k ? N * )项取出一项( am , am?k , am?2k , am?3k , ??? )仍为等比数列 (6) 如果 {an } 是各项均为正数的等比数列,则数列 {log a an } 是等差数列 (7) 若 {an } 为等比数列,则数列 Sn , S2n ? Sn , S3n ? S2n , ??? ,成等比数列 (8) 若 {an } 为等比数列,则数列 a1 ? a2 ????? an , (9) ①当 q ? 1 时,
1 ? 0,则{ an }为递增数列 {a a1 ? 0,则{an }为递减数列 ,

an?1 ? an?2 ????? a2n ,
②当 0<q ? 1时,

a2n?1 ? a2n?2 ??????a3n 成等比数列

1 ? 0,则{ an }为递减数列 {a a1 ? 0,则{an }为递增数列

③当 q=1 时,该数列为常数列(此时数列也为等差数列); ④当 q<0 时,该数列为摆动数列. (10)在等比数列 {an } 中, 当项数为 2n (n ? N * )时,

S奇 1 ? ,. S偶 q

(11)若 {an } 是公比为 q 的等比数列,则 Sn?m ? Sn ? qn ? Sm
例 1、 (1)设 ?an ? 是等差数列,且 a1 ? a4 ? a8 ? a12 ? a15 ? 2 ,求 a3 ? a13 及 S15 值。 (2)等比数列 ?an ? 中, a1 ? an ? 66 , a2 an?1 ? 128,前 n 项和 Sn=126,求 n 和公比 q。 (3)等比数列中,q=2,S99=77,求 a3+a6+…+a99; (4)项数为奇数的等差数列 ?an ? 中,奇数项之和为 80,偶数项之和为 75,求此数列的中间项与项数。
-4-

解: (1)由已知可得 a8 ? ?2 ,所以 a3 ? a13 =2 a8 ? ?4 ,S15=

15?a1 ? a15 ? ? 15 a8 ? ?30 2 ? a ? 2 ?a1 ? 64 或? ? 2? 由题? a1an ? 128, a1 ? an ? 66 ,所以 ? 1 ?a n ? 64 ? a n ? 2 1 a ? an q ?q ? 2 ? ?q ? 又 Sn ? 1 或? ? 126 ,所以 ? 2 1? q ?n ? 6 ? ?n ? 6

数学

? 3? ? S99 ? ? a1 ? a4 ? ? ? a97 ? ? ? a2 ? a6 ? ? ? a98 ? ? ? a3 ? a6 ? ? ? a99 ?
? 1 1 ? ? ? 2 ? ? 1? ? a3 ? a6 ? ? ? a99 ? q ? ?q ? a3 ? a6 ? ? ? a99 ? 44

评注:分解重组,引导发现( a1 ? a4 ? ? ? a97 ) 、 ( a2 ? a6 ? ? ? a98 )与( a3 ? a6 ? ? ? a99 )的关系,从而 使问题获得简单的解法。

?4? 设等差数列共 2n-1 项,则

S奇 S偶

?a1 ? a2n?1 ?n
?

?a2 ? a2n?2 ?(n ? 1)
2

2

?

n 80 ? ? n ? 16 n ? 1 75

所以此数列共 31 项.中间项 ? S奇 ? S偶 ? 80 ? 75 ? 5 评注:(1)在项数为 2n ? 1 项的等差数列 {an } 中, S奇 =(n+1)a中,S偶 =na中,S2n+1 =(2n+1)a中 ; (2)在项数为 2 n 项的等差数列 {an } 中 S奇 =nan ,S偶 =nan?1 ,S2n+1 =n(an ? an?1 ) . 变式: (1) 若一个等差数列前 3 项的和为 34, 最后三项的和为 146, 且所有项的和为 390 ,则这个数列有_____ 项; (2)已知数列 {an } 是等比数列,且 an >0 , n ? N , a3a5 ? 2a4 a6 ? a5a7 ? 81 ,则
*

a4 ? a6 ? ____________. (3)等差数列前 m 项和是 30 ,前 2 m 项和是 100 ,则它的前 3m 项和是 ________.
(4) 等差数列{an}和{bn}的前 n 项之和之比为(3n+1):(2n+3),求.

a15 。 b15

答案:13;9;210;

88 61

例 2、设等差数列的前 n 项之和为 Sn,已知 a3=12,S12>0,S13<0, (1)求公差 d 的取值范围。 (2)指出 S1,S2,S3,…Sn 中哪一个值最大,并说明理由。

?2a ? 11d ? 0 12 ? 11 12 ? 13 d ? 0 , S13 ? 13a1 ? d ? 0 ,即 ? 1 , 2 2 ? a1 ? 6d ? 0 24 ? d ? ?3 。 由 a3 ? a1 ? 2d ? 12 ,代入得: ? 7 (2)解一:由 S12 ? 6?a6 ? a7 ? ? 0 , S13 ? 13a7 ? 0 可知 a6 ? 0 , a7 ? 0 ,所以 S6 最大。
解: (1) S12 ? 12 a1 ? 解二: S n ?

24 d 2 ? 5d ? ? d ? ?3 可知,它的图象是开口向下的抛物线上的一群离散 n ? ?12 ? ?n ,由 ? 7 2 2 ? ?
2

的点,根据图象可知 S6 最大。

24 d? 5d ? 24 ? d 5d ? 24 2 ? d ? ?3 得 解三: S n ? ? n ? ) ,由 ? ? ? ( 7 2? 2d ? 2 2d 5d ? 24 13 6? ? 。又抛物线开口向下,所以 S6 最大。 2d 2
评注:求等差数列 Sn 最值有三法:借助求和公式是关于 n 的二次函数的特点,用配方法求解;借助等差数列的 性质判断,通过”转折项”求解;借助二次函数图象求解。 (经过原点)
-5-

数学 变式:(1) 已知等差数列{an}中, a1 ? 0, S 5 ? S12 ,问 S1,S2,S3,…Sn 中哪一个值最大。 (2) 数列 {an } 是首项为 1000 ,公比为

1 的等比数列,数列 {bn } 满足 10

1 bk ? (lg a1 ? lg a2 ? ? ? lg ak ) (k ? N * ) , k
(1)求数列 {bn } 的前 n 项和的最大值; (2)求数列 {|b n |} 的前 n 项和 S n? . 略解: (1)由题得 an ? 104?n ,∴ lg an ? 4 ? n ,∴ {lg an } 是首项为 3,公差为 ?1 的等差数列。 ∴ lg a1 ? lg a2 ? ? ? lg ak ? 3k ?

k (k ? 1) 1 n(n ? 1) 7 ? n ]? ,∴ bn ? [3n ? 2 n 2 2 ?bn ? 0 21 由? ,得 6 ? n ? 7 ,∴数列 {bn } 的前 n 项和的最大值为 S 6 ? S 7 ? 2 ?bn ?1 ? 0

(2)由(1)当 n ? 7 时, bn ? 0 ,当 n ? 7 时, bn ? 0 ,

7?n 2 )n ? ? 1 n2 ? 13 n ∴当 n ? 7 时, Sn? ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? ( 2 4 4 1 13 2 当 n ? 7 时, S n? ? b1 ? ? ? b7 ? b8 ? ? ? bn ? 2 S7 ? S n ? n ? n ? 21 4 4 ? 1 2 13 ? n ? n (n ? 7) ? ? 4 4 ∴ S n? ? ? . 1 13 2 ? n ? n ? 21 (n ? 7) ? ?4 4 例 3、(1) 由正数组成的等比数列 {an } ,若前 2 n 项之和等于它前 2 n 项中的偶数项之和的 11 倍,第 3 项与第 4 项之和为第 2 项与第 4 项之积的 11 倍,求数列 {an } 的通项公式. 3?
? a1 (1 ? q 2 n ) 11a1q (1 ? q 2 n ) ① ? ? 1 ? q2 解:当 q ? 1 时,得 2na1 ? 11na1 不成立,∴ q ? 1 ,∴ ? 1 ? q ? a q 2 ? a q 3 ? 11a q ? a q 3 ② ? 1 1 1 1 1 1 n?2 由①得 q ? ,代入②得 a1 ? 10 ,∴ an ? ( ) . 10 10 说明:用等比数列前 n 项和公式时,一定要注意讨论公比是否为 1. (2) 若数列 {an } 成等差数列,且 Sm ? n, Sn ? m(m ? n) ,求 Sn?m .
解: (法一)基本量法(略) ;
2 ? (1) ? An ? Bn ? m (法二)设 Sn ? An ? Bn ,则 ? 2 (2) ? ? Am ? Bm ? n (1) ? (2) 得: (n2 ? m2 ) A ? (n ? m) B ? m ? n ,?m ? n , ∴ (m ? n) A ? B ? ?1,

2

∴ Sn?m ? (n ? m) A ? (n ? m) B ? ?(n ? m) .
2

评注:法二抓住了等差数列前 n 项和的特征 Sn ? An ? Bn 。
2

变式:设数列{an}为等差数列,Sn 为数列{an}的前 n 项和,已知 S7=7,S15=75,Tn 为数列{
7?6 ? S 7 ? 7a 1 ? d?7 ? ? 2 解:法一: (基本量法)设{an}首项为 a1,公差为 d,则 ? ?S ? 15a ? 15 ? 14 d ? 75 1 ? 15 2 ?
?a ? ?2 ∴ ? 1 ?d ? 1

Sn }的前 n 项和,求 Tn。 n

∴ Sn ? ?2 ?

S n(n ? 1) n ?1 n 5 ,∴ n ? ?2 ? ? ? 2 n 2 2 2
-6-

数学 ∴ 此式为 n 的一次函数, ∴ {

Sn 1 a }为等差数列,∴ Tn ? n 2 ? n 。 4 4 n

2 ? ?S ? A ? 7 ? 7B ? 7 法二:{an}为等差数列,设 Sn=An2+Bn,∴ ? 7 2 ? ?S15 ? A ? 15 ? 15B ? 75

1 ? A? ? ? 2 解之得: ? ?B ? ? 5 ? 2 ?

∴ Sn ?

1 2 5 n ? n ,下略。 2 2

例 4、已知等差数列 110,116,122,? , (1)在区间 [450, 600] 上,该数列有多少项?并求它们的和; (2)在区间 [450, 600] 上,该数列有多少项能被 5 整除?并求它们的和. 解: an ? 110 ? 6(n ?1) ? 6n ? 104 , (1)由 450 ? 6 n ? 104 ? 600 ,得 58 ? n ? 82 ,又 n ? N ,
*

1 (a58 ? a82 ) ? 25 ? 13100 . 2 (2)∵ an ? 110 ? 6(n ?1) ,∴要使 an 能被 5 整除,只要 n ? 1 能被 5 整除,即 n ? 1 ? 5k ,
∴ 该数列在 [450, 600] 上有 25 项, 其和 S n ? ∴ n ? 5k ? 1 ,∴ 58 ? 5k ? 1 ? 82 ,∴ 12 ? k ? 16 ,∴在区间 [450, 600] 上该数列中能被 5 整除的项共有 5 项 即第 61,66,71,76,81 项,其和 S ?

5(a61 ? a81 ) ? 2650 . 2

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