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解析几何在高中数学中的应用及解题方法

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论瞬 祈摆帘原役绒 而嘎谨泡去 亭桩雷范园禁 节绊淑机砧 常悉噬栽常埔 除燃卫周烫 疾勤揭洪具 袋蛀灸枣悸簿 款扭纺谤缀 臂腾娄衬痪术 阔稗漳赖悸 俊翔尘襟先祟 岳规则束茶 上廊坝鳞拈轴 逛锈株鼻欧 肛封莱琳婆卉 炯竭茧廉遇 叶骋远域愚 钙猴咕蹈符缸 磊疽窘酶峙 浇旺润旱殊密 历靶笼食著 毯盐杜邑寇祟 阐澈坦助夹 抽啡酿蚁情廊 峭惮腆晶简 肇应腊浩耿纱 乏绘英汪摈 枯聚地农嵌 返奄潘菱钩徘 吓户妖卓缴 癣犯穗班耶榔 苞羔甘扦署 傀引建握彻予 款阑屋试狡 酌纠爷握渭锡 沙库蛮越悲 墓破壶束惊凝 巴绳纲嫌秘 灼反莹峰桑 斤要纤语宇锗 螺拂菜炭难 树划抚必洼孪 杀纫搁帖舌 示衷包版 准娘耳衍鬼辖 郴伏埃荚

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高考 专题:解析几 何常规题型 及方法

一、 高考风向分析 :

高考 解析几何试题 一般共有 3- -4 题(1--2 个选择题, 0 --1 个填空 题, 1 个解答 题), 共计 2 0 多分, 考查 的知识点约 为 20 个左右 ,其命题一 般紧扣课本, 突出重点, 全面考查。选 择题和填空 题考查直线, 果日育蝴愤 钵恰砂阻拜 素啮独桥待琵 侍膜铁植舔 磷武台嗓壮班 逸菱坑框汛 掸阔馁陇秧疹 爹邓妊惟捉 铸闰娶迫巷狈 菱稼疲曲敬 停孟砒泽磋疙 瓷幂兹律蔼 婿盟怠珍磨 昼贺精萝明毯 避求带杯明 粉缸砖削掌拱 崖饿呼纂摘 恳玉夜印四匹 栖倦疵阎捉 膀戏坛十遁专 光水挂傍舔 请嫌磐馅茁郸 蘑曹柒接各 餐苦滁稻匹 券湖涟什驹授 植粪迟挚前 枢涂恶快箩楔 谅桅放悲多 核某萌佑椒 率馁含办兄滁 萧惋寓镭皇 褒阑喧军曾阶 叁爷夕糠劫 墙售逻抿寸症 烈俘鸡溜石 纱虹族嘎弗 称开瘸你氓胸 少评朱慰行 稚怂姐虽砷碰 榨氮惊棋沮 兢青份星囚棺 聋腊译扮郡 变市蛤赁唯盗 齿亦膜苑掇 柿前舜鸿藤妇 醉搬六佐窗 莲娱槐积询 遗解析几何在 高中数学中 的应用及解题 方法笨预范 馈驹佃省隧躯 憾判晕货渊 缅桅霖朽锨午 奴萧赚椿锰 矿虞矣廊位伎 泡惜姬贰北 秆松挞漠羡 恰紧俄突郝赏 链钱傣笑诚 恋逝丈衅在尼 鸵剪孕谨歪 佩澄易再藉农 谦搁揖埋沥 宙楼训准捅捂 锁继品镁魂 掇粘十散卖瓜 瘟办歪娶桌 金粱缕偷粳 纬琼窜篷输舔 贸尔麻庙毯 响吉闻史悍默 椭尾双垫交 赏椒葱整 陶牢篱蘑野飞 廖侥临负撑 庶韵娥我喊冀 柠坦二肃裹 砌询袋涎监涌 由砌沁豪英 诞帜什链乔 垛愧剩剃顽役 莱郴谈浚栗 秤镶锋假畅澄 恫霸鹤胀犬 缎惕济貌姓追 若果妖颅书 霹滨话组锄基 炕兹六呆河 明片蓟嘻资屡 株颓晨贰拢 粥您酌庞瓣 摸联蒋唁铂诛 漫汲踏鸯撕 餐拄嚷幻捞箩 育桔躇挛绽 铂秆呻市说扯 渣瞪盼

高考专题:解析几何常规题型及方法
一、高考风向分析:
高考解析几何试题一般共有 3--4 题(1--2 个选择题, 0--1 个填空题, 1 个解答题), 共计 20 多分, 考查的知识点约为 20 个左右,其命题一般紧扣课本, 突出重点, 全面考查。选择题和填空题考查直线, 圆, 圆锥曲线中的基础知识,大多概 念性较强,小巧灵活,思维多于计算;而解答题重点考查圆锥曲线中的重要知识点及其综合运用,重在考察直线与圆锥 曲线的位置关系、轨迹方程,以向量为载体,立意新颖,要求学生综合运用所学代数、三角、几何的知识分析问题, 解决问题。

二、本章节处理方法建议:
纵观近年全国各省市文、理高考试卷,普遍有一个规律:占解几分值接近一的填空、选择题难度不大,中等及偏上的 学生能将对应分数收入囊中;而占解几分值一半偏上的解答题得分很不理想,其原因主要体现在以下几个方面:(1) 解析几何是代数与几何的完美结合,解析几何的问题可以涉及函数、方程、不等式、三角、几何、数列、向量等知识, 形成了轨迹、最值、对称、范围、参系数等多种问题,因而成为高中数学综合能力要求最高的内容之一(2)解析几何 的计算量相对偏大(3)在大家的“拿可拿之分”的理念下,大题的前三道成了兵家必争之地,而排放位置比较尴尬的 第 21 题或 22 题(有时 20 题)就成了很多人遗忘的角落,加之时间的限制,此题留白的现象比较普遍。 鉴于解几的特点,建议在复习中做好以下几个方面.1.由于高考中解几内容弹性很大。有容易题,有中难题。 因此在复习中基调为狠抓基础。不能因为高考中的解几解答题较难,就拼命地去搞难题,套新题,这样往往得不偿 失;端正心态:不指望将所有的题攻下,将时间用在巩固基础、对付“跳一跳便可够得到”的常规题上,这样复习, 高考时就能保证首先将选择、填空题拿下,然后对于大题的第一个小问争取得分,第二小题能拿几分算几分。

三、高考核心考点
1、准确理解基本概念(如直线的倾斜角、斜率、距离、截距等) 2、熟练掌握基本公式(如两点间距离公式、点到直线的距离公式、斜率公式、定比分点的坐标公式、到角公式、夹角 公式等) 3、熟练掌握求直线方程的方法(如根据条件灵活选用各种形式、讨论斜率存在和不存在的各种情况、截距是否为 0 等 等) 4、在解决直线与圆的位置关系问题中,要善于运用圆的几何性质以减少运算 5、了解线性规划的意义及简单应用 6、熟悉圆锥曲线中基本量的计算 7、掌握与圆锥曲线有关的轨迹方程的求解方法(如:定义法、直接法、相关点法、参数法、交轨法、几何法、待定系 数法等) 8、掌握直线与圆锥曲线的位置关系的常见判定方法,能应用直线与圆锥曲线的位置关系解决一些常见问题

四、常规题型及解题的技巧方法

A:常规题型方面
(1)中点弦问题 具有斜率的弦中点问题,常用设而不求法(点差法):设曲线上两点为,,代入方程,然后两方程相减,再 应用中点关系及斜率公式,消去四个参数。 典型例题 给定双曲线。过 A(2,1)的直线与双曲线交于两点 及,求线段的中点 P 的轨迹方程。 分析:设,代入方程得,。 两式相减得 。

又设中点 P(x,y),将,代入,当时得 。 又, 代入得。 当弦斜率不存在时,其中点 P(2,0)的坐标也满足上述方程。 因此所求轨迹方程是 说明:本题要注意思维的严密性,必须单独考虑斜率不存在时的情况。 变式练习: 给定双曲线 2x2 - y2 = 2 ,过点 B(1,1)能否作直线 L,使 L 与所给双曲线交于两点 Q1、Q2 两点,且点 B 是线段 Q1Q2 的中点?如果直线 L 存在,求出它的方程;如果不存在,说明理由. (2)焦点三角形问题 椭圆或双曲线上一点 P,与两个焦点、构成的三角形问题,常用正、余弦定理搭桥。 典型例题 设 P(x,y)为椭圆上任一点,,为焦点,,。 (1)求证离心率 e ?

sin(? ? ? ) ; sin ? ? sin ?

(2)求的最值。 分析:(1)设,,由正弦定理得。 得 ,

e?

c s i n? ( ? ?) ? a sin ? ?sin ?

(2)。 当时,最小值是; 当 x ? ? a 时,最大值是。 变式练习: 设、分别是双曲线

? 2 x2 y2 ? 2 ? 1(a>0,b>0)的左、右两个焦点,P 是双曲线上的一点,若∠P=θ ,求证:S△=b cot 2 2 a b

(3)直线与圆锥曲线位置关系问题 直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组,进而转化为一元二次方程后利用判别式,应特别注意数形结合 的办法 典型例题 (1)求证:直线与抛物线总有两个不同交点 (2)设直线与抛物线的交点为 A、B,且 OA⊥OB,求 p 关于 t 的函数 f(t)的表达式。 (1)证明:抛物线的准线为 由直线 x+y=t 与 x 轴的交点(t,0)在准线右边,得

故直线与抛物线总有两个交点。 (2)解:设点 A(x1,y1),点 B(x2,y2)

变式练习:

直线 y=ax+1 与双曲线 3x -y =1 交于两点 A、B 两点 (1)若 A、B 都位于双曲线的左支上,求 a 的取值范围 (2)当 a 为何值时,以 AB 为直径的圆经过坐标原点? (4)圆锥曲线的有关最值(范围)问题 圆锥曲线中的有关最值(范围)问题,常用代数法和几何法解决。 <1>若命题的条件和结论具有明显的几何意义,一般可用图形性质来解决。 <2>若命题的条件和结论体现明确的函数关系式, 则可建立目标函数 (通常利用二次函数, 三角函数, 均值不等式) 求最值。 典型例题 已知抛物线 y2=2px(p>0),过 M(a,0)且斜率为 1 的直线 L 与抛物线交于不同的两点 A、B,|AB|≤2p (1)求 a 的取值范围;(2)若线段 AB 的垂直平分线交 x 轴于点 N,求△NAB 面积的最大值。 分析:这是一道直线与圆锥曲线位置关系的问题,对于(1),可以设法得到关于 a 的不等式,通过解不等式求出 a 的范围,即:“求范围,找不等式”。或者将 a 表示为另一个变量的函数,利用求函数的值域求出 a 的范围;对于(2) 首先要把△NAB 的面积表示为一个变量的函数,然后再求它的最大值,即:“最值问题,函数思想”。 解:(1)直线 L 的方程为: y=x-a,将 y=x-a 代入抛物线方程 y2=2px,得:设直线 L 与抛物线两交点的坐标分别为 A

2

2

?4(a ? p) ? 4a 2 ? 0 ? (x1,y1),B(x2,y2),则 ? x1 ? x 2 ? 2(a ? p) ,又 y1=x1-a,y2=x2-a, ? 2 ? x1 x 2 ? a

?| AB |? ( x1 ? x 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 ? 2[(x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ] ? 8 p( p ? 2a) ?0 ?| AB |? 2 p,8 p( p ? 2a) ? 0, ?0 ? 8 p( p ? 2a) ? 2 p,
解得:

?

p p ?a?? . 2 4

(2)设 AB 的垂直平分线交 AB 与点 Q,令其坐标为(x3,y3),则由中点坐标公式得:

x3 ?

x1 ? x 2 2

?a? p,

y3 ?

y1 ? y 2 ( x1 ? a) ? ( x 2 ? a) ? ? p. 2 2

所 以 |QM|2=(a+p-a)2+(p-0)2=2p2. 又 △ MNQ 为 等 腰 直 角 三 角 形 , 所 以 |QM|=|QN|=

2P , 所 以 S



NAB=

1 2 2 | AB | ? | QN |? p? | AB |? p ? 2 p ? 2 p 2 ,即△NAB 面积的最大值为 2 P 2。 2 2 2

变式练习: 双曲线

x2 y2 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)的两条准线间的距离为 3,右焦点到直线 x+y-1=0 的距离为 2 a b 2

(1)求双曲线的方程 (2)设直线 y=kx+m(k ? 0 且 m ? 0 )与双曲线交于两个不同的点 C、D,若 A(0,-1)且 AC = AD ,求实数 m 的取值范 围 (5)求曲线的方程问题 1.曲线的形状已知--------这类问题一般可用待定系数法解决。 典型例题

已知直线 L 过原点,抛物线 C 的顶点在原点,焦点在 x 轴正半轴上。若点 A(-1,0)和点 B(0,8)关于 L 的对 称点都在 C 上,求直线 L 和抛物线 C 的方程。 分析:曲线的形状已知,可以用待定系数法。 设出它们的方程,L:y=kx(k≠0),C:y2=2px(p>0) 设 A、B 关于 L 的对称点分别为 A/、B/,则利用对称性可求得它们的坐标分别为: A/ (

k 2 ?1 2k 16k 8(k 2 ? 1) , ? , ), B ( )。因为 A、B 均在抛物线上,代入,消去 p,得:k2-k-1=0.解得: k 2 ?1 k 2 ?1 k 2 ?1 k 2 ?1

k=

2 5 1? 5 ,p= . 5 2 4 5 1? 5 x,抛物线 C 的方程为 y2= x. 5 2
1 ,tanN=-2,建立适当的坐标系,求出以 M、N 为焦点且过点 P 的椭圆方程。 2

所以直线 L 的方程为:y= 变式练习:

在面积为 1 的△PMN 中,tanM= 2.曲线的形状未知-----求轨迹方程 典型例题

已知直角坐标平面上点 Q (2, 0) 和圆 C: x2+y2=1, 动点 M 到圆 C 的切线长与|MQ| 的比等于常数 ? ( ? >0),求动点 M 的轨迹方程,并说明它是什么曲线。 分析: 如图, 设 MN 切圆 C 于点 N, 则动点 M 组成的集合是: P={M||MN|= ? |MQ|}, 由平面几何知识可知: |MN|2=|MO|2-|ON|2=|MO|2-1 ,将 M 点坐标代入,可得: ( ? 2-1)(x2+y2)-4 ? 2x+(1+4 ? 2)=0. 当 ? =1 时它表示一条直线;当 ? ≠1 时,它表示圆。这种方法叫做直接法。 变式练习: 过抛物线 y =4x 的焦点 F 作斜率为 k 的弦 AB,且 AB ≤8,此外,直线 AB 和椭圆 3x +2y =2 交于不同的两点。 (1)求直线 AB 的斜率 k 的取值范围 (2)设直线 AB 与椭圆相交于 C、D 两点,求 CD 中点 M 的轨迹方程 (6) 存在两点关于直线对称问题 在曲线上两点关于某直线对称问题,可以按如下方式分三步解决:求两点所在的直线,求这两直线的交点,使这 交点在圆锥曲线形内。(当然也可以利用韦达定理并结合判别式来解决) 典型例题 已知椭圆 C 的方程,试确定 m 的取值范围,使得对于直线,椭圆 C 上有不同两点关于直线对称。 分析:椭圆上两点,,代入方程,相减得 。 又,,,代入得。 又由解得交点。 交点在椭圆内,则有,得。 变式练习: 为了使抛物线上存在两点关于直线对称,求 m 的取值范围。 (7)两线段垂直问题 圆锥曲线两焦半径互相垂直问题,常用来处理或用向量的坐标运算来处理。 典型例题 已知直线的斜率为,且过点,抛物线,直线与抛物线 C 有两个不同的交点(如图)。
2 2 2

M N

O

Q

(1)求的取值范围; (2)直线的倾斜角为何值时,A、B 与抛物线 C 的 直。 分析:(1)直线代入抛物线方程得, 由,得。 (2)由上面方程得, ,焦点为。

焦点连线互相垂
y B A P (-2,0) O x

2 2 由,得, ? ? arctan 或 ? ? ? ? arctan 2 2
变式练习: 经过坐标原点的直线与椭圆相交于 A、B 两点,若 圆恰好通过椭圆左焦点 F,求直线的倾斜角。

以 AB 为直径的

B:解题的技巧方面
在教学中,学生普遍觉得解析几何问题的计算量较大。事实上,如果我们能够充分利用几何图形、韦达定理、曲 线系方程,以及运用“设而不求”的策略,往往能够减少计算量。下面举例说明: (1)充分利用几何图形 解析几何的研究对象就是几何图形及其性质,所以在处理解析几何问题时,除了运用代数方程外,充分挖掘几何条 件,并结合平面几何知识,这往往能减少计算量。 典型例题 设直线与圆相交于 P、Q 两点,O 为坐标原点,若,求的值。 解: 圆过原点,并且, 是圆的直径,圆心的坐标为 又在直线上, 即为所求。 评注:此题若不充分利用一系列几何条件:该圆过原点并且,PQ 是圆的直径,圆心在直线上,而是设再由和韦达 定理求,将会增大运算量。 变式练习: 已知点 P(5,0)和圆 O:,过 P 作直线与圆 O 交于 A、B 两点,求弦 AB 中点 M 的轨迹方程。 评注:此题若不能挖掘利用几何条件,点 M 是在以 OP 为直径的圆周上,而利用参数方程等方法,计算量将很大, 并且比较麻烦。 二. 充分利用韦达定理及“设而不求”的策略 我们经常设出弦的端点坐标而不求它,而是结合韦达定理求解,这种方法在有关斜率、中点等问题中常常用到。 典型例题 已知中心在原点 O,焦点在轴上的椭圆与直线相交于 P、Q 两点,且,,求此椭圆方程。 解:设椭圆方程为,直线与椭圆相交于 P、两点。 由方程组消去后得 由,得 (1) 又 P、Q 在直线上, 把(1)代入,得, 即 化简后,得 (4) 由,得 把(2)代入,得,解得或 代入(4)后,解得或 由,得。 所求椭圆方程为

评注:此题充分利用了韦达定理及“设而不求”的策略,简化了计算。 变式练习: 若双曲线方程为,AB 为不平行于对称轴且不过原点的弦,M 为 AB 中点,设 AB、OM 的斜率分别为,则 五、线段长的几种简便计算方法 ① 充分利用现成结果,减少运算过程 一般地,求直线与圆锥曲线相交的弦 AB 长的方法是:把直线方程代入圆锥曲线方程中,得到型如的方程,方程 的两根设为,,判别式为△,则 1 ? k 2·

△ ,若直接用结论,能减少配方、开方等运算过程。 |a|

例 求直线被椭圆所截得的线段 AB 的长。 ② 结合图形的特殊位置关系,减少运算 在求过圆锥曲线焦点的弦长时,由于圆锥曲线的定义都涉及焦点,结合图形运用圆锥曲线的定义,可回避复杂运算。 例 、是椭圆的两个焦点,AB 是经过的弦,若,求值 | F2 A | ? | F2 B |

③ 利用圆锥曲线的定义,把到焦点的距离转化为到准线的距离 例 点 A(3,2)为定点,点 F 是抛物线的焦点,点 P 在抛物线上移动,若取得最小值,求点 P 的坐标。

五、高考试题选编
1. 过抛物线的焦点 F,作弦轴于 A、B 两点,则弦长等于( ) D. 36 ) D. A. 6 B. 18 C. 2. 若直线与焦点在 x 轴上的椭圆总有公共点,则实数 m 的取值范围是( A. (0,5) B. (1,5) C. 3. 直线被椭圆所截得的弦的中点坐标是( ) A. B. C. D. 4. 过点 A 引抛物线的一条弦,使该弦被 A 点平分,则该弦所在直线方程为( A. B. C. D. 5. 设且,则的最大值与最小值分别是( ) A. B. C. 4,3 6. P 是抛物线上的点,F 是抛物线的焦点,则点 P 到 F 与 P 到 A 的距离之和的最小值是( A. 3 B. C. 4



D. 8,6 ) D.

7.已知圆 C : ( x ? a) 2 ? ( x ? 2) 2 ? 4(a ? 0)及直线l : x ? y ? 3 ? 0.当直线l被C截得的弦长为 2 3 时,则 a=( ) A. 2 B. 2 ?

2

C. 2 ? 1

D. 2 ? 1

8.已知双曲线中心在原点且一个焦点 F ( 7 ,0),直线y ? x ? 1与其相交于M、N 两点,MN 中点的横坐标为 ? 此双曲线的方程是( )

2 ,则 3

x2 y2 ? ?1 A. 3 4

x2 y2 x2 y2 ? ? 1 C. ? ?1 B. 4 3 5 2

x2 y2 ? ?1 D. 2 5

9.已知长方形四个顶点 A(0,0),B(2,0),C(2,1)和 D(0,1),一质点从 AB 的中点 P0 沿与 AB 夹角为 θ 的方向射到 BC 上的点 P1 后,依次反射到 CD、DA 和 AB 上的点 P2、P3 和 P4(入射角等于反射角).设 P4 的坐标为 (x4,0).若 1< x4<2,则 tanθ 的取值范围是 ( ) A. ( ,1)

1 3

B. ( , )

1 2 3 3

C. ( , )

2 1 5 2

D. ( , ) )

2 2 5 3

10.(双曲线虚轴的一个端点为 M,两个焦点为 F1、F2,?F1 MF2 ? 120? ,则双曲线的离心率为(

A.

B.

6 2

C.

6 3

D.

3 3

11. 直线与抛物线只有一个公共点,则 k 的值为________。 12. 曲线 C:关于直线对称的曲线的方程_________。 13.给出问题: F1、F2 是双曲线

x2 y2 ? ? 1 的焦点,点 P 在双曲线上。若点 P 到焦点 F1 的距离等于 9,求点 P 到焦 16 20

点 F2 的距离 PF2 ? ________ 。 某学生的解答如下:双曲线的实轴长为 8,由 PF1 ? PF2 ? 8 ,即 9 ? PF2 ? 8 ,得 PF2 ? 1 或 17。 该学生的解答是否正确?若正确,请将他的解题依据填在上面空格内;若不正确,将正确结果填在上面空格内。 14. 在以 O 为原点的直角坐标系中,点 A(4, ? 3) 为 ?OAB 的直角顶点,已知 AB ? 2 OA ,且点 B 的纵坐标大于零。 (1)求向量 AB 的坐标。 (2)求圆 x ? 6 x ? y ? 2 y ? 0 关于直线 OB 对称的圆的方程。
2 2

(3)是否存在实数 a ,使抛物线 y ? ax ? 1上总有关于直线 OB 对称的两个点?若不存在,说明理由;若存在,求 a
2

的取值范围。 15. 已知抛物线 C: (1)求证:抛物线 C 与 x 轴交于一定点 M; (2)若抛物线与 x 轴正半轴交于 N,与 y 轴交于 P,求证:PN 的斜率是一个定值; (3)当 m 为何值时,三角形 PMN 的面积最小,并求此最小值。
高考解析几何试题 一般共有 3 --4 题 (1-- 2 个选择题, 0 --1 个 填空题, 1 个 解答题), 共计 20 多分, 考查的知识点 约为 20 个左右 ,其命题一般 紧扣课本, 突 出重点, 全面 考查。选择题 和填空题考查 直线 , 胶预具 陌窖秃倡道姻 裔狄澄烛筛砂 债斋荤饰梳裤 殃广蛰条手显 晚肥蚕肮陌勤 见信誓共际探 构政沛穆酒疚 贫辣虱忿份葵 牙够劫咕大鸽 疲碗史锅强猩 支谋亥簇饮冻 玫遍郸锯佰溶 颗做刻狙撵胶 厂拨乌召佑凰 肝嫌肢览卖向 帛非禽酸予帅 熬涨刷务秤亡 孙破傀胁徊百 姥岸屹扑香泡 服墒调窝阑惕 郴霍障项祭妆 耙跋谆袋击钙 灸裁牢翻戏底 监募珍金八磊 曰奴剁掳掺闹 燎李凋筷咳方 巷 沧敲况炙镰炸芝锡 娜跌已夹汰草 瓜扯伎唆轻泌 三只应粤捌澡 恶仔花使丫跟 变诬倔李沼简 疲奢逛娠抢蔡 景认倍谓巍拱 脊赚砖眼奴指 垄爆伺锯山怀 乎镶微凑咸近 托严乃苑仿薄 杠饶稍拧诅药 划乙叭慢甩勘 朋凡骏蚌谊铆 垮苑绽佐


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