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第二节 二重积分的计算法

时间:2018-10-11

第二节

二重积分的计算方法

教学目的:利用直角坐标系把二重积分化为二次积分 教学重难点:将积分区域用不等式组表示 教 法:讲授 课 时:4

仅仅依靠二重积分的定义及其性质,不可能对一般的二重积分进行计 算。 本节介绍一种二重积分的计算方法, 这种方法是把二重积分化为两次单 积分(即两次定积分)来计算。 一、利用直角坐标系计算二重积分 我们首先来考虑直角坐标系下面积元素 d? 的表达形式。在二重积分的 定义中对区域 D 的分割是任意的,极限 lim ? f (? i ,? i )?? i 都存在,那么对
? ?0 i ?1
n

于区域进行特殊分割该极限也应该存在。因此,在直角坐标系下,我们用平 行于 x 轴和 y 轴的两族直线把区域 D 分割成许多小区域(图 10—4) 。除靠 区域 D 边界曲线的一些小区域外,其余的都是小矩形区域。当这些小区域 的直径的最大者??0 时,这些靠区域 D 边界的不规则的小区域的面积之和 趋于 0。因此,第 i 个小矩形区域 ?? i 的面积
?? i ? ?x j ? ?y k 。

因此,直角坐标系下面积元素 d? ? dxdy 。 于是二重积分的直角坐标形式为

?? f ( x, y)d? ??? f ( x, y)dxdy 。
D D

由二重积分的几何意义知道,如果 f ( x, y) ? 0 , ?? f ( x, y )d? 的值等于一
D

个以 D 为底、以曲面 z ? f ( x, y) 为顶的曲顶柱体的体积。下面我们用定积分 的微元法来推导二重积分的计算公式。

若积分区域 D 可用不等式组表示为
a? x?b ? ? ??1 ( x) ? y ? ? 2 ( x)

如图 10—5,选 x 为积分变量, x ?[ a ,b],任取小区间[ x , x ? dx ]? [ a , b]。 在 x 轴上分别过点 x 、x ? dx 作垂直于 x 轴的平面, 设 A( x) 表示过点 x 垂 直 x 轴的平面与曲顶柱体相交的截面的面积,则小薄片的体积近似等于以 A( x) 为底、 dx 为高的柱体的体积,即体积元素
dV ? A( x)dx

该截面是一个以区间 [?1 ( x), ? 2 ( x)] 为底边、以曲线 z ? f ( x, y) ( x 固定)为曲 边的曲边梯形,因此
A( x) ? ?? 2( x ) f ( x, y )dy
1

? ( x)

所以
b ?2 ( x) b ?? f ( x, y)d? ? ?a A( x)dx = ?a [ ??1 ( x ) f ( x, y )dy]dx ,

D


b ?2 ( x) ?? f ( x, y)d? ??a [??1 ( x) f ( x, y)dy]dx 。 D

(1)

由此看到,二重积分的计算可化为两个二次积分来计算。第一次积分时,把 x 看作常数,对变量 y 积分;第二次是对变量 x 积分。这种先对一个变量积 分,然后再对另一个变量积分的方法,称为累次积分(或二次积分) 。公式 (1)也称为先积 y 后积 x 的累次积分公式,通常写成
b ?2 ( x) ?? f ( x, y)d? ??a dx??1 ( x) f ( x, y)dy 。 D

同理,若积分区域 D 可用不等式组表示为
c? y?d ? ? ? ( y ? 1 ) ? x ? ? 2 ( y)

则二重积分 ?? f ( x, y )d? 可化为先 x 后 y 的累次积分
D

d ? 2 ( y) ?? f ( x, y)d? ??c dy??1 ( y) f ( x, y)dx 。 D

以后我们称图 10—6 所示的积分区域(有两条边垂直于 x 轴)为 X 型区 域,图 10—7 所示的积分区域(有两条边垂直于 y 轴)为 Y 型区域。把二重 积分化为累次积分的关键,是根据所给出的积分区域 D ,定出两次积分的 上下限。计算二重积分的一般步骤是 第一步 在平面直角坐标下,画出积分区域 D 的图形;

第二步 根据区域 D 的图形, 判断它是哪种类型的区域, 然后将区域 D 用不等式组表示出来; 第三步 根据上述的不等式组,将二重积分化为累次积分; 第四步 计算累次积分。

例 1 计算 ?? (1 ?x ? 2 y)d? ,其中 D 是由 x ? 1 , x ? 3 , y ? ?1 , y ? 1 所
D

围成的区域。 c?d ) 一般地, 如果积分区域 D 是由 x ? a ,x ? b ,y ? c ,y ? d( a ? b , 所围成的矩形区域,则
b d d b ?? f ( x, y )d? = ?a dx?c f ( x, y)dy = ?c dy?a f ( x, y)dx 。
D

例 2

计算 ?? xyd? ,其中 D 是由直线 y ? 1 、 x ? 2 及 y ? x 所围成的闭
D

区域。 上面两个例子说明,积分次序的变更对于二重积分计算关系不大。但 有时由于积分区域 D 的形状关系,一种次序远较另一种简便。 例 3 试将 ?? f ( x, y )d? 化为两种不同次序的累次积分。其中, D 是由
D

y ? x , y ? 2 ? x 和 x 轴所围成的闭区域。 例 3 中,如果先积 y 后积 x ,需要计算两个累次积分;如果先积 x 后积 ,只需要计算一个累次积分。因此,在化二重积分为累次积分时,为了计 y

算简便,根据积分区域 D 的形状,选择恰当的累次积分的次序。 例 4 计算 ?? ( x ? y )d? , 其中 D 是由抛物
D

线 y 2 ? x 及直线 y ? x ? 2 所围成的闭区域。 解 首先画出积分区域 D 的图形 10 — 11,边界曲线的交点(1,-1) 、 (4,2) 。由图 可见, 将区域 D 用 Y 型区域的不等式组表示较 简单,即

? ?1 ? y ? 2 。 ? 2 ?y ? x ? y ? 2

于是
2 y?2 ?? ( x ? y )d? = ??1 [ ?y 2 ( x ? y )dx]dy

D

2 1 2 = ??1 ( x 2 ? xy) | y ? dy y2 2

1 2 3 = ??1 ( y 2 ? 4 y ? 2 ? y 4 ? y 3 )dy 2 2

1 1 1 = ( y 3 ? 2 y 2 ? 2 y ? y 5 ? y 4 ) |2 ?1 2 10 4 9 。 20 如果先积 y 后积 x ,应如何计算这个二重积分呢?请读者思考,并写

=9

出累次积分。 例 5 计算 ?? 解
D

sin x d? ,其中 D 是由 y ? x 及 y ? x 2 所围成的闭区域。 x

首先画出积分区域 D 。它既是 X 型区域,又是 Y 型区域。

sin x dx 不是初等函数,所以求不出结果。因 x 此只能先积 y 后积 x ,将积分区域表示成 Y 型区域的不等式组

如果先积 x 后积 y ,因为 ?

? 0 ? x ?1 。 ? 2 ?x ? y ? x

于是
1 x sin x dy]dx ?? x d? = ?0 [?x 2 x D

sin x

= ?0 (1 ? x) sin xdx =- ?0 (1 ? x)d cos x = ? (1 ? x) cos x |1 0 ? ?0 cos xdx = 1 ? sin 1 。 综上所述,积分次序的选择,不仅要考虑积分区域的形状,而且要考 虑被积函数的特点。在能够计算二重积分的前提下,要使计算尽量简单。 二、利用极坐标计算二重积分
1 1

1

1、变换公式 按照二重积分的定义有

lim ? f (? i , ?i )?? i ?? f ( x, y )d? ? ? ?0
D i ?1

n

现研究这一和式极限在极坐标中的形式。 用以极点 0 为中心的一族同心圆 射线

r ? 常数 以及从极点出发的一族

? ? 常数 ,将 D 剖分成个小闭区域。
除了包含边界点的一些小闭区域外,小闭区域 ?

? i 的面积可如下计算

1 1 2 1 ?? i ? (ri ? ?ri ) 2 ?? i ? ri ?? i ? (2ri ? ?ri )?ri ?? i 2 2 2 ? ri ? (ri ? ?ri ) ?ri ?? i ? r i ?ri ?? i 2

其中, r i 表示相邻两圆弧半径的平均值。 (数学上可以证明: 包含边界点的那些小闭区域所对应项之和的极限为 零, 因此, 这样的一些小区域可以略去不计) 在小区域 ?

? i 上取点 ( r i , ? i ) ,设该点直角坐标为 ( ? i , ?i ) ,据直

角坐标与极坐标的关系有

? i ? r i cos ? i , ?i ? r i sin ? i
于是

? ?0 i ?1


lim ? f (? i , ?i )?? i ? lim ? f ( r i cos ? i , r i sin ? i ) ? r i ?ri ?? i
? ?0 i ?1

n

n

?? f ( x, y )d? ? ?? f (r cos ? , r sin ? )rdrd?
D D

?? f ( x , y )d?
D
由于 也常记作 D

?? f ( x, y )dxdy
, 因此,上述变换公

式也可以写成更富有启发性的形式

?? f ( x, y )dxdy ? ?? f (r cos ? , r sin ? )rdrd?
D D
(1) (1)式称之为二重积分由直角坐标变量变换成极坐标变量的变换公式,其 中, rdrd

? 就是极坐标中的面积元素。
x ? r cos ? y ? r sin ? dxdy ?rdrd?

(1)式的记忆方法:

?? f ( x , y )dxdy
D

?? f (r cos ? , r sin ? ) rdrd?
D

2、极坐标下的二重积分计算法 极坐标系中的二重积分, 同样可以化归为二次积分来计算。 【情形一】积分区域 D 可表示成下述形式

? ? ? ? ? ?1(? ) ? r ? ? 2(? )
其中函数

?1(? ) , ? 2 (? ) 在 [ ? , ? ]上连续。



?? f ( r cos ? , r sin ? )rdrd? ? ? d? ? f ( r cos ? , r sin ? )rdr
D

?

? 2 (? ) ? 1 (? )

?

【情形二】积分区域 D 为下述形式

显然,这只是情形一的特殊形式 上 )。 故

?1(? ) ? 0 ( 即极点在积分区域的边界

?? f ( r cos ? , r sin ? )rdrd? ? ? d? ? f ( r cos ? , r sin ? )rdr
D

?

? (? )
0

?

【情形三】积分区域 D 为下述形式

显然,这类区域又是情形二的一种变形( 极点包围在积分区域 D 的内 部 ), D 可剖分成 D1 与 D2 ,而

D1 : 0 ? ? ? ? , 0 ? r ? ?(? ) D2 : ? ? ? ? 2? , 0 ? r ? ?(? )
故 则

D : 0 ? ? ? 2? , 0 ? r ? ?(? )
2?

?? f ( r cos ? , r sin ? )rdrd? ? ? d? ? f ( r cos ? , r sin ? )rdr
D

? (? )
0

0

由上面的讨论不难发现, 将二重积分化为极坐标形式进行计算, 其关 键之处在于: 将积分区域 D 用极坐标变量 r ,

? 表示成如下形式

? ? ? ? ? , ?1(? ) ? r ? ? 2 (? )
下面通过例子来介绍如何将区域用极坐标变量来表示。 【例 4】将下列区域用极坐标变量表示

1:x 1、 D

2

? y2 ? 2 y

2、 D2 : ?

R ? x ? R , R ? y ? R ? R2 ? x 2

3、

D3 : x ? y ? 1

? 先画出区域的简图, 据图确定极角的最大变化范围 [ ? 再过 [

?, ? ] ;

?, ? ] 内任一点? 作射线穿过区域,与区域的边界有两交点,

将它们用极坐标表示,这样就得到了极径的变化范围 [?1(? ), ? 2 (? )] 。

注: 本题不能利用直角坐标下二重积分计算法来求其精确值。

I ? ? e? x dx
利用此题结果可求出著名概率积分

?? 0

2



而被积函数满足

e ? x ? y ? 0 ,从而以下不等式
2 2
2 2 2 2

?? e
D1

? x2 ? y 2

dxdy ? ?? e ? x ? y dxdy ? ?? e ? x ? y dxdy
S D2

成立,再利用例二的结果有

?x ? y ?? e dxdy ?
2 2

D1

? (1 ? e ? R ) 4 ,
2

? ?x ? y e dxdy ? (1 ? e ?2 R ) ?? 4 D
2 2 2 2

,

?? e
S

? x2 ? y 2

dxdy ? ? dx? e
0 0
2

R

R

? x2 ? y 2

dy ? ? e dx? e ? y dy
? x2
2

R

R

0

0

? R ?x ? ? R ? y ? ? R ?x ? ? R ?x ? ? R ?x ? ? ? ? e dx ? ? ? ? e dy ? ? ? ? e dx ? ? ? ? e dx ? ? ? ? e dx ? ?0 ? ?0 ? ?0 ? ?0 ? ?0 ?
2 2 2 2

2

于是不等式可改写成下述形式
2 ? R ?x2 ? ? ? R??? ? ? R??? ? R2 ??? ?? (1 ? e ) ? ? ? e dx? ? (1 ? e?2 R ) ? ?? ?? 4 4 4 4 ?0 ?

2

故当 R ? ?? 时有

? ?? ? x 2 ? ? ? ? e dx? ? 4, ?0 ?

2

I? ? e


?? 0

?x2

dx ?

?
2


3、使用极坐标变换计算二重积分的原则 (1)、积分区域的边界曲线易于用极坐标方程表示( 含圆弧,直线段 ); (2)、被积函数表示式用极坐标变量表示较简单( 含 ( x 数 )。 【例 6】计算
2

? y 2 )? , ? 为实

I ? ? dx
0

a

?a ? a 2 ? x 2 ?x

?

dy x 2 ? y 2 ? 4a 2 ? ( x 2 ? y 2 )

(a ? 0)

解此积分区域为

D : 0 ? x ? a , ? x ? y ? ?a ? a 2 ? x 2
区域的简图为

该区域在极坐标下的表示形式为

D: ?

?
4
2

? ? ? 0 , 0 ? r ? ?2a sin ?

I ? ??
D

rdrd? r 4a ? r
2

? ? d?
?

0

?2a sin ? 0

?

?

4

r ? ? ? ? ?arcsin ? 2a ? 0 4a 2 ? r 2 ? ? ? dr
4

0

?2a sin ?

d?

1 2 ?2 ? ? ( ?? )d? ? ? ? ? ? 2 32 ? ?
0 ? 4 4

0


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