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高考复习三轮冲刺2009年高考试题——数学(重庆卷)(理)

时间:2011-03-05


2009 年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷) 年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷) 理工农医类) 数学试题卷(理工农医类)
本试卷满分 150 分,考试时间 120 分钟

第 Ⅰ卷
考生注意: 考生注意: 1.答题前,务必将自己的姓名、准考证号、填写清楚 ,并贴好条形码.请认真核准条 形码上的准考证号、姓名和科目. 2.每小题选出答案后,用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 3.本卷共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效. 5.考试结束后,将试题卷和答题卡一并交回. 参考公式: 参考公式: 如果事件 A,B 互斥,那么 P ( A + B ) = P ( A) + P ( B ) 如果事件 A,B 相互独立,那么 P ( Ai B ) = P ( A)i P ( B ) 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P ,那么 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的 概率

Pn (k ) = Cnk P k (1 ? P ) n ? k (k = 0,2, ,n) 1, ?
以 R 为半径的球体积: V =

4 3 πR 3

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个备选项中,只 有一项是符合题目要求的。 1.直线 y = x + 1 与圆 x 2 + y 2 = 1 的位置关系为( A.相切 B.相交但直线不过圆心 ) D.相离

C.直线过圆心

2.已知复数 z 的实部为 ?1 ,虚部为 2,则 A. 2 ? i
2

B. 2 + i

C. ?2 ? i
4

5i =( z D. ?2 + i




3. ( x + ) 的展开式中 x 的系数是(
8

2 x

A.16

B.70

C.560

D.1120 )

4.已知 a = 1, b = 6, a i(b ? a ) = 2 ,则向量 a 与向量 b 的夹角是( A.

π
6

B.

π
4

C.
2

π
3

D.

π
2


则实数 a 的取值范围为 ( 5. 不等式 x + 3 ? x ? 1 ≤ a ? 3a 对任意实数 x 恒成立,

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A. (?∞, ?1] ∪ [4, +∞ ) B. (?∞, ?2] ∪ [5, +∞) C. [1, 2]

D. ( ?∞,1] ∪ [2, +∞ )

6.锅中煮有芝麻馅汤圆 6 个,花生馅汤圆 5 个,豆沙馅汤圆 4 个,这三种汤圆的外部 特征完全相同。从中任意舀取 4 个汤圆,则每种汤圆都至少取到 1 个的概率为( ) A.

8 91

B.

25 91

C.

48 91

D.

60 91

7. ?ABC 的三个内角 A, B, C , 设 向量 m = ( 3 sin A,sin B ) ,n = (cos B, 3 cos A) , 若 m i n = 1 + cos( A + B ) ,则 C =( A. )

π
6
x →∞

B.

π
3

C.

2π 3

D.

5π 6


8.已知 lim( A. ? 6

2 x2 ? ax ? b) = 2 ,其中 a, b ∈ R ,则 a ? b 的值为( x +1
B. ?2 C. 2
0

D. 6

9.已知二面角 α ? l ? β 的大小为 50 , P 为空间中任意一点,则过点 P 且与平面 α 和 平面 β 所成的角都是 25 的直线的条数为(
0

) D.5

A.2

B.3

C.4

10.已知以 T = 4 为周期的函数 f ( x ) = ?

?m 1 ? x 2 , x ∈ (?1,1] ? ,其中 m > 0 。若方程 ? 1 ? x ? 2 , x ∈ (1,3] ?


3 f ( x) = x 恰有 5 个实数解,则 m 的取值范围为(
A. (

15 8 , ) 3 3

B. (

15 , 7) 3

C. ( , )

4 8 3 3

D. ( , 7 )

4 3

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案写在答题卡相应位置上. 11.若 A = x ∈ R x < 3 , B = x ∈ R 2 x > 1 ,则 A ∩ B = 12.若 f ( x ) =

{

}

{

}



1 + a 是奇函数,则 a = 2 ?1
x



13.将 4 名大学生分配到 3 个乡镇去当村官,每个乡镇至少一名,则不同的分配方案有 种(用数字作答) . 14 . 设 a1 = 2 , an +1 =

a +2 2 * , bn = n , n ∈ N , 则 数 列 {bn } 的 通 项 公 式 an + 1 an ? 1

bn =



15.已知双曲线

x2 y2 ? = 1(a > 0, b > 0) 的左、右焦点分别为 F1 (?c, 0), F2 (c, 0) ,若 a2 b2

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双曲线上存在一点 P 使

sin PF1 F2 a = ,则该双曲线的离心率的取值范围是 sin PF2 F1 c



三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 13 分, (Ⅰ)小问 7 分, (Ⅱ)小问 6 分. ) 设函数 f ( x ) = sin(

πx π

πx ? ) ? 2 cos 2 +1. 4 6 8

(Ⅰ)求 f ( x ) 的最小正周期. (Ⅱ)若函数 y = g ( x ) 与 y = f ( x) 的图像关于直线 x = 1 对称,求当 x ∈ [0, ] 时

4 3

y = g ( x) 的最大值.

17. (本小题满分 13 分, (Ⅰ)问 7 分, (Ⅱ)问 6 分) 某单位为绿化环境,移栽了甲、乙两种大树各 2 株.设甲、乙两种大树移栽的成活率分 别为

2 1 和 ,且各株大树是否成活互不影响.求移栽的 4 株大树中: 3 2

(Ⅰ)两种大树各成活 1 株的概率; (Ⅱ)成活的株数 ξ 的分布列与期望.

18. (本小题满分 13 分, (Ⅰ)问 5 分, (Ⅱ)问 8 分) 设函数 f ( x) = ax 2 + bx + k ( k > 0) 在 x = 0 处取得极值, 且曲线 y = f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线垂直于直线 x + 2 y + 1 = 0 . (Ⅰ)求 a, b 的值; (Ⅱ)若函数 g ( x) =

ex ,讨论 g ( x) 的单调性. f ( x)

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19. (本小题满分 12 分, (Ⅰ)问 5 分, (Ⅱ)问 7 分) 如题(19)图,在四棱锥 S ? ABCD 中, AD

BC 且 AD ⊥ CD ;平

面 CSD ⊥ 平面 ABCD , CS ⊥ DS , CS = 2 AD = 2 ; E 为 BS 的中点,

CE = 2, AS = 3 .求:
(Ⅰ)点 A 到平面 BCS 的距离; (Ⅱ)二面角 E ? CD ? A 的大小.

20. (本小题满分 12 分, (Ⅰ)问 5 分, (Ⅱ)问 7 分) 已知以原点 O 为中心的椭圆的一条准线方程为 y = 上的动点. (Ⅰ)若 C , D 的坐标分别是 (0, ? 3), (0, 3) ,求 MC i MD 的最大值; (Ⅱ)如题(20)图,点 A 的坐标为 (1, 0) , B 是圆 x 2 + y 2 = 1 上的 点, N 是点 M 在 x 轴上的射影,点 Q 满足条件: OQ = OM + ON ,

4 3 3 ,离心率 e = , M 是椭圆 3 2

QAi BA = 0 .求线段 QB 的中点 P 的轨迹方程;

21. (本小题满分 12 分, (Ⅰ)问 5 分, (Ⅱ)问 7 分) 设 m 个不全相等的正数 a1 , a2 ,? , am ( m ≥ 7) 依次围成一个圆圈.

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( Ⅰ ) 若 m = 2009 , 且 a1 , a2 ,? , a1005 是 公 差 为 d 的 等 差 数 列 , 而

a1 , a2009 , a2008 ,? , a1006 是 公 比 为 q = d 的 等 比 数 列 ; 数 列 a1 , a2 ,? , am 的 前 n 项 和
S n (n ≤ m) 满足: S3 = 15, S 2009 = S 2007 + 12a1 ,求通项 an (n ≤ m) ;
( Ⅱ ) 若 每 个 数 an ( n ≤ m ) 是 其 左 右 相 邻 两 数 平 方 的 等 比 中 项 , 求 证 :
2 2 a1 + ? + a6 + a7 + ? + am > ma1a2 am ;

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2009 年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷)

数学试题(理工农医类) 数学试题(理工农医类)答案
一、选择题:每小题 5 分,满分 50 分 . (1) B (2) A (3) D (4) C (5) A (7) C (8) D (9) B (10) B. 二.填空题:每小题 5 分,满分 25 分 . (11) (0,3) (12) (6) C

1 2

(13) 36

(14) 2n +1

(15) (1,

2 + 1)

三.解答题:满分 75 分 . (16)(本小题 13 分) 解: (Ⅰ) f ( x ) = sin

π
4

x cos

π
6

? cos

π
4

x sin

π
6

? cos

π
4

x

=

3 π 3 π sin x ? cos x 2 4 2 4

= 3 sin(

π

x? ) 4 3

π

故 f ( x ) 的最小正周期为 T =



π

=8

4
(Ⅱ)解法一: 在 y = g ( x ) 的图象上任取一点 ( x, g ( x )) ,它关于 x = 1 的对称点 (2 ? x, g ( x )) .

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由题设条件,点 (2 ? x, g ( x )) 在 y = f ( x) 的图象上,从而

g ( x) = f (2 ? x) = 3 sin[ (2 ? x) ? ] 4 3
= 3 sin[

π

π

π

2

?

π

x+ ) 4 3 3 π π π 2π 4 ,因此 y = g ( x ) 在区间 [0, ] 上的最大值为 当 0 ≤ x ≤ 时, ≤ x + ≤ 4 3 4 3 3 3
= 3 cos(

π

x? ] 4 3

π

π

g max = 3 cos
解法二:

π
3

=

3 2 2 3

因区间 [0, ] 关于 x = 1 的对称区间为 [ , 2] ,且 y = g ( x ) 与 y = f ( x) 的图象关于 x = 1 对称,故 y = g ( x ) 在 [0, ] 上的最大值为 y = f ( x) 在 [ , 2] 上的最大值 由(Ⅰ)知 f ( x ) = 3 sin( 当

4 3

π

4 3

2 π π π π ≤ x ≤ 2 时, ? ≤ ? ≤ 3 6 4 3 6 4 因此 y = g ( x ) 在 [0, ] 上的最大值为 3 g max = 3 sin

x? ) 4 3

π

2 3

π
6

=

3 . 2

(17)(本小题 13 分) 解:设 Ak 表示甲种大树成活 k 株,k=0,1,2

Bl 表示乙种大树成活 l 株,l=0,1,2
则 Ak , Bl 独立. 由独立重复试验中事件发生的概率公式有

2 1 1 1 P( Ak ) = C k 2 ( ) k ( ) 2 ? k , P( Bl ) = C l 2 ( )l ( ) 2 ?l . 3 3 2 2
据此算得

1 , 9 1 P( B0 ) = , 4

P( A0 ) =

4 , P ( A2 ) = 9 1 P( B1 ) = , P( B2 ) = 2

P( A1 ) =

4 . 9 1 . 4
.

(Ⅰ) 所求概率为

4 1 2 P( A2 ? B1 ) = P( A1 ) ? P( B1 ) = × = 9 2 9

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(Ⅱ) 解法一:

ξ 的所有可能值为 0,1,2,3,4,且
1 1 1 P (ξ = 0) = P ( A0 ? B0 ) = P ( A0 ) ? P ( B0 ) = × = , 9 4 36 1 1 4 1 1 P (ξ = 1) = P ( A0 ? B1 ) + P ( A1 ? B0 ) = × + × = , 9 2 9 4 6 1 1 4 1 4 1 P (ξ = 2) = P ( A0 ? B2 ) + P ( A1 ? B1 ) + P ( A2 ? B0 ) = × + × + × 9 4 9 2 9 4 13 = , 36 4 1 4 1 1 P (ξ = 3) = P ( A1 ? B2 ) + P ( A2 ? B1 ) = × + × = . 9 4 9 2 3 4 1 1 P (ξ = 4) = P ( A2 ? B2 ) = × = . 9 4 9
综上知 ξ 有分布列

ξ
P 从而, ξ 的期望为

0 1/36

1 1/6

2 13/36

3 1/3

4 1/9

Eξ = 0 × =

1 1 13 1 1 + 1× + 2 × + 3 × + 4 × 36 6 36 3 9

7 (株) 3

解法二: 分布列的求法同上 令 ξ1,ξ 2 分别表示甲乙两种树成活的株数,则

2 1 3 2 2 4 1 故有 Eξ1 =2 × = ,Eξ 2 = 2 × = 1 3 3 2 7 从而知 Eξ = Eξ1 + Eξ 2 = 3

ξ1 : B(2, ),ξ 2 : B(2, )

18、 (本小题 13 分) 解(Ⅰ)因 f ( x) = ax 2 + bx + k ( k > 0), 故f ′( x) = 2ax + b 又 f ( x ) 在 x=0 处取得极限值,故 f ′( x ) = 0, 从而 b = 0 由曲线 y= f ( x ) 在(1,f(1) )处的切线与直线 x ? 2 y + 1 = 0 相互垂直可知 该切线斜率为 2,即 f ′(1) = 2, 有2a=2,从而a=1

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(Ⅱ)由(Ⅰ)知,

g ( x) =

ex (k > 0) x2 + k

g ′( x) =

ex ( x2 ? 2 x + k ) (k > 0) ( x2 + k )2
2

令 g ′( x) = 0, 有x ? 2 x + k = 0 (1)当 ? = 4 ? 4k < 0, 即当k>1时,g′(x)>0在R上恒成立,

故函数g(x)在R上为增函数

g (2)当 ? = 4 ? 4k = 0, 即当k=1时, ′( x) =
K=1 时,g(x)在 R 上为增函数

e x ( x ? 1) 2 > 0( x ≠ 0) ( x2 + k )2

方程 x ? 2 x + k = 0 有两个不相等实根 (3) ? = 4 ? 4k > 0, 即当0<k<1时,
2

x1 = 1 ? 1 ? k , x2 = 1 + 1 ? k
当 x ∈ ( ?∞,1 ? 1 ? k )是g ′( x ) > 0, 故g ( x )在( ? ∞,1 ? 1 ? k )上为增 函数 当 x ∈ 1 ? 1 ? k ,1 + 1 ? k) ( 时, g ′( x ) < 0, 故 g ( x )在( ? 1 ? k ,1 + 1 ? k) 1 上为减函数

x ∈ 1 + 1 ? k,+∞) ( 时, g ′( x ) > 0, 故 g ( x )在( + 1 ? k,+∞) 1 上为增函数
(本小题 (19) 本小题 12 分) 19) ( 解法一: (Ⅰ) 因为 AD//BC,且 BC ? 平面BCS , 所以 AD // 平面BCS , 从而 A 点到平面 BCS 的距离 等于 D 点到平面 BCS 的距离。 因 为 平 面 CSD ⊥ 平面ABCD,AD ⊥ CD, 故 AD ⊥ 平面CSD , 从 而 AD ⊥ SD , 由 AD//BC,得

BC ⊥ DS ,又由 CS ⊥ DS 知 DS ⊥ 平面BCS ,从而 DS 为点 A 到平面 BCS

的距离,因此在 Rt ?ADS 中

DS = AS 2 ? AD 2 = 3 ? 1 = 2
(Ⅱ)如答(19)图 1,过 E 电作 EG ⊥ CD, 交 CD 于点 G,又过 G 点作 GH ⊥ CD ,交 AB 于 H,故

∠EGH 为二面角 E ? CD ? A 的平面角,记为 θ ,过 E 点作 EF//BC,交 CS 于点 F,

连结 GF,因平面 ABCD ⊥ 平面CSD, GH ⊥ CD, 易知GH ⊥ GF ,故 θ =

π

2

? ∠EGF .

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由于 E 为 BS 边中点,故 CF =

1 CS = 1 ,在 Rt ?CFE 中, 2

EF = CE 2 ? CF 2 = 2 ? 1 = 1 ,因 EF ⊥ 平面CSD ,又 EG ⊥ CD
故由三垂线定理的逆定理得 FG ⊥ CD ,从而又可得 ?CGF : ?CSD, 因此

GF CF = 而在 Rt ?CSD 中, DS CD

CD = CS 2 + SD 2 = 4 + 2 = 6, CF 1 1 故GF = ? DS = ? 2= CD 6 3
在 Rt ?FEG 中, tan EGF =

EF π π = 3 可得 ∠EGF = ,故所求二面角的大小为 θ = FG 3 6

解法二: (Ⅰ)如答(19)图 2,以 S(O)为坐标原点,射线 OD,OC 分别为 x 轴,y 轴正向,建立空间 坐标系,设 A( x A , y A , z A ) ,因平面 COD ⊥ 平面ABCD, AD ⊥ CD, 故AD ⊥ 平面COD 即点 A 在 xoz 平面上,因此 y A = 0,z A = AD = 1 又

uuu v

uuv 2 2 xA + 12 = AS = 3, x A = 2 从而( 2,1) A 0,

因 AD//BC,故 BC⊥平面 CSD,即 BCS 与平面 yOx 重合,从而点 A 到平面 BCS 的距离为 xA =

2.

(Ⅱ)易知 C(0,2,0),D(,0,0). 因 E 为 BS 的中点. ΔBCS 为直角三角形 , 知 BS = 2CE = 2 2 设 B(0,2, Z B ), Z B >0,则 Z A =2,故 B(0,2,2) , 所以 E(0,1,1) . 在 CD 上取点 G,设 G( x1 , y1 , 0 ) ,使 GE⊥CD . 由 CD = ( 2, ?2, 0), GE = ( ? x1 , ? y1 + 1,1), CD ? GE = 0 故

uuv

uuv

uuu v

uuu v

uuu uuu v v

2 x1 ? 2( y1 ? 1) = 0



又点 G 在直线 CD 上,即 CG // CD ,由 CG =( x1 , y1 ? 2, 0 ) ,则有

uuu uuu v v

uuu v

x1 y ?2 = 1 ?2 2



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联立①、②,解得 G= (

2 4 , , 0) 3 3

,

故 GE = (?

uuu v

uuu v uuu v 2 2 , ? ,1) .又由 AD⊥CD, 所以二面角 E-CD-A 的平面角为向量 GE 与向量 DA 3 3
.

所成的角,记此角为 θ 因为 GE =

uuu 2 3 uuu v v uuu v uuu uuu v v , DA = (0, 0,1), DA = 1, GE ? DA = 1 ,所以 3 uuu uuu v v GE ? DA 3 cos θ = uuu uuu = v v 2 GE ? DA

故所求的二面角的大小为 (20)(本小题 12 分)

π
6

.

解: (Ⅰ)由题设条件知焦点在 y 轴上,故设椭圆方程为

x2 y2 + = 1 (a >b> 0 ). a2 b2

设c =

a 2 ? b 2 ,由准线方程 y =

4 3 3 c 3 得.由 e = 得 = ,解得 a = 2 ,c 3 2 a 2

=

3 ,从而 b = 1,椭圆方程为 x 2 +

y2 =1 . 4 y2 = 1 的焦点,所 4

又易知 C,D 两点是椭圆 x +
2

以, MC + MD = 2a = 4 从而 MC ? MD ≤ (

MC + MD
2

)2 = 2 2 = 4 ,当且
时上式取等

仅当 MC = MD ,即点 M 的坐标为 (±1, 0) 号, MC ? MD 的最大值为 4 . (II)如图(20)图,设 M( xm , ym ), B ( xB , yB )

Q ( xQ , yQ ) .因为 N ( xN , 0), OM + ON = OQ ,故 xQ = 2 xN , yQ = yM ,
2 2 xQ + yQ = (2 xM ) 2 + y y = 4



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因为 QA ? BA = 0,

(1 ? xQ ? yQ ) ? (1 ? xN ? yn ) = (1 ? xQ )(1 ? xN ) + yQ y N = 0,
所以

xQ xN + yQ y N = xN + xQ ? 1 .



记 P 点的坐标为 ( xP , yP ) ,因为 P 是 BQ 的中点 所以 由因为

2 xP = xQ + xP , 2 yP = yQ + yP
2 2 xN + yN = 1 ,结合①,②得

2 2 xP + y P =

1 (( xQ + xN )2 + ( yQ + y N ) 2 ) 4 1 2 2 2 2 = ( xQ + xN + yQ + yn + 2( xQ xN + yQ yN )) 4 1 = (5 + 2( xQ + xN ? 1)) 4 3 = + xP 4

故动点 P 的估计方程为

1 ( x ? )2 + y 2 = 1 2
(21) (本小题 12 分) 解:I) a1 , a2009 , a2008 , ???, a1006 是公比为 d 的等比数列, ( 因 从而 a2000 = a1d , a2008 = a1d 由
2

S 2009 = S 2008 + 12a1得a2008 + a2009 = 12a1 ,故

。因此 d = 3 解得 d = 3 或 d = ?4 (舍去) 又

S3 = 3a1 + 3d = 15 。解得 a1 = 2

从而当 n ≤ 1005 时,

an = a1 + (n ? 1)d = 2 + 3(n ? 1) = 3n ? 1
当 1006 ≤ n ≤ 2009 时,由 a1 , a2009 , a2008 , ???, a1006 是公比为 d 的等比数列得

an = a1d 2009 ?( n ?1) = a1d 2010 ? n (1006 ≤ n ≤ 2009)
因此 an = ?

?3n ? 1, n ≤ 1005 ?2 ? 3
2009 ? n

,1006 ≤ n ≤ 2009
2 2 2 2 2 2

(II)由题意 an = an ?1an +1 (1 < n < m), am = am ?1a1 , a1 = am a2 得
2 2

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  ?an = an ?1an +1 (1 < n < m),     ①  ? ?am = am ?1a1         ② ?a = a a           ③ m 2 ? 1
有①得 a3 =

a2 1 1 a , a4 = , a5 = , a6 = 1 a3 a1 a2 a2
2



由①,②,③得 a1a2 ??? an = ( a1a2 ??? an ) , 故 a1a2 ??? an = 1 . 又 ar + 3 = ⑤

ar + 2 ar +1 1 1 = ? = (1 ≤ r ≤ m ? 3) ,故有 ar +1 ar ar +1 ar

ar + 6 =

1 = ar (1 ≤ r ≤ m ? 6) .⑥ ar + 3

下面反证法证明: m = 6k 若不然,设 m = 6k + p, 其中1 ≤ p ≤ 5 若取 p = 1 即 m = 6k + 1 ,则由⑥得 am = a6 k +1 = a1 ,而由③得 am =

a1 a , 故a1 = 1 , a2 a2

得 a2 = 1, 由②得 am ?1 =

am , 从而a6 = a6 k = am ?1 , 而 a1

a6 =

a1 , 故a1 = a2 = 1,由 ④及⑥可推得 an = 1 ( 1 ≤ n ≤ m )与题设矛盾 a2

同理若 P=2,3,4,5 均可得 an = 1 ( 1 ≤ n ≤ m )与题设矛盾,因此 m = 6k 为 6 的倍数 由均值不等式得

a1 + a2 + a3 + K + a6 = (a1 +

1 1 a a ) + ( a2 + ) + ( 2 + 1 ) ≥ 6 a1 a2 a1 a2

由上面三组数内必有一组不相等(否则 a1 = a2 = a3 = 1 ,从而 a4 = a5 = K = am = 1 与题设 矛盾) ,故等号不成立,从而 a1 + a2 + a3 + K + a6 > 6 又 m = 6k ,由④和⑥得

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2 2 2 2 2 2 a7 + K + am = (a7 + K + a12 ) + K + (a6 k ?5 + K + a6 k ) 2      =(k-1) 12 + K + a6 ) (a

     =(k-1) 12 + (a
因此由⑤得

1 1 1 2 2 +a2 + 2 +a3 + 2 ) ≥6(k-1) 2 a1 a2 a3

2 2 a1 + a2 + a3 + K + a6 + a7 + K + am > 6 + 6(k ? 1) = 6k = m = ma1a2 a3 K am

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