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最新-“《数学周报》杯”2018年全国初中数学竞赛试题参考答案 精品

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中国教育学会中学数学教学专业委员会 “ 《数学周报》杯”2018 年全国初中数学竞赛试题参考答案 一、选择题(共 5 小题,每小题 6 分,满分 30 分. 以下每道小题均给出了 代号为 A,B,C,D 的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确 选项的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填得零分) 1.方程组 ? (A)1 答: (A) . ? ? x ? y ? 12, ? ?x ? y ? 6 的解的个数为( 2 ) . (D)4 (B) (C ) 3 解:若 x ≥0,则 ? ? ? x ? y ? 12, ? ? x ? y ? 6, 于是 y ? y ? ?6 ,显然不可能. 若x ? 0 ,则 ? ?? x ? y ? 1 2 , ? ? ? x ? y ? 6, 于是 y ? y ? 18 ,解得 y ? 9 ,进而求得 x ? ?3 . 所以,原方程组的解为 ? 故选(A) . ? x ? ? 3, ? y ? 9, 只有 1 个解. 2.口袋中有 20 个球,其中白球 9 个,红球 5 个,黑球 6 个.现从中任取 10 个球,使得白球不少于 2 个但不多于 8 个,红球不少于 2 个,黑球不多于 3 个,那么上述取法的种数是( (A) 14 答: (B) . 解:用枚举法: 红球个数 5 4 3 2 所以,共 16 种. 故选(B) . 白球个数 2,3,4,5 3,4,5,6 4,5,6,7 5,6,7,8 黑球个数 3,2,1,0 3,2,1,0 3,2,1,0 3,2,1,0 种 数 4 4 4 4 (B) 16 ) . (C)18 (D)20 3.已知△ A B C 为锐角三角形,⊙ O 经过点 B,C,且与边 AB,AC 分别相 交于点 D,E. 若⊙ O 的半径与△ A D E 的外接圆的半径相等,则⊙ O 一定经过 △ A B C 的( (A)内心 答: (B) . ) . (B)外心 (C)重心 (D)垂心 解: 如图,连接 BE,因为△ A B C 为锐角三角形,所以 ? BAC , ? ABE 均为锐角.又因为⊙ O 的半径与△ A D E 的外 DE 接圆的半径相等,且 ?BAC ? ?ABE 为两圆的公共弦,所以 ? ? BAC ? ? ABE ? 2? BAC ? 2 ?BAC .于是, ? B E C . 若△ A B C 的外心为 O 1 , 则 ? BO C 1 一定过△ A B C 的外心. 故选(B) . , 所以, ⊙O (第 3 题答案图) 4.已知三个关于 x 的一元二次方程 ax 2 ? bx ? c ? 0 a 2 , bx b 2 2 ? cx ? a ? 0 , cx 2 2 ? ax ? b ? 0 恰有一个公共实数根,则 (A) 0 答: (D) . bc ? ca ? c ab 的值为( (C)2 ) . (D)3 (B)1 解:设 x 0 是它们的一个公共实数根,则 ax 0 ? bx 0 ? c ? 0 , bx 0 ? cx 0 ? a ? 0 , cx 0 ? ax 0 ? b ? 0 2 2 2 . 把上面三个式子相加,并整理得 ( a ? b ? c ) ( x 0 ? x 0 ? 1) ? 0 2 . ? 0 因为 x 02 于是 ? x0 ? 1 ? ( x0 ? 1 2 ) ? 2 3 4 ? 0 ,所以 a ? b ? c . a 2 bc ? b 2 ca ? c 2 ab ? a ?b ?c abc 3 3 3 ? a ? b ? (a ? b ) abc 3 3 3 ? ?3ab (a ? b) abc ? 3 . 故选(D) . 5.方程 x 3 (A)0 答: (A) . ? 6x ? 5x ? y ? y ? 2 2 3 (B)1 的整数解(x,y)的个数是( ). (C)3 (D)无穷多 解:原方程可化为 x ( x ? 1) ( x ? 2 ) ? ( 3 x ? x)? y ( y ? 1) ( y ? 1) ? 2 2 , 因为三个连续整数的乘积是 3 的倍数,所以上式左边是 3 的倍数,而右边除以 3 余 2,这是不可能的.所以,原方程无整数解. 故选(A). 二、填空题(共 5 小题,每小题 6 分,满分 30 分) 6.如图,在直角三角形 ABC 中, ? A C B ? 9 0 ? ,CA=4.点 P 是半圆弧 AC 的中点,连接 BP,线段 BP 把图形 APCB 分成两部分,则这两部分面积之差的 绝对值是 答:4. 解:如图,设 AC 与 BP 相交于点 D,点 D 关于圆心 O 的对称 点记为点 E,线段 BP 把图形 APCB 分成两部分,这两部分面积之 差的绝对值是△BEP 的面积,即△BOP 面积的两倍.而 S ?BPO ? 1 2 PO ?CO ? 1 2 ?2?2 ? 2 . . (第 6 题答案图) 因此,这两部分面积之差的绝对值是 4. 7.如图, 点 A,C 都在函数 y ? 3 x 3 ( x ? 0 ) 的图象上,点 B,D 都在 x 轴上, 且使得△OAB,△BCD 都是等边三角形,则点 D 的坐标 为 答: (2 . 6 ,0) . 解:如图,分别过点 A,C 作 x 轴的垂线,垂足分别 为 E,F.设 OE=a,BF=b, 则 AE= 所以,点 A,C 的坐标为 (第 7 题答案图) 3a ,CF= 3 b , (a 所以 解得 , 3a ) , (2 a ? ? ? ? ? 3 a +b, 2 3 b ) , ? 3 3, 3 b (2a ? b) ? 3 3 , ? ?a ? ? ? ?b ? 3,

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