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2015届文科数学立体几何综合训练题(一)

时间:2014-11-24


2015 届文科数学立体几何综合训练题(一)
一、常规型问题: P 1.如图,已知 PA ? ⊙O 所在的平面, AB 是⊙O 的直径, AB ? 2 , C 是⊙O 上一点,且 AC ? BC , PC 与⊙O 所在的平面成 45 ? 角, E 是 PC 中点.F 为 PB 中点. (1) 求证: EF // 面ABC ; (2) 求证: EF ? 面PAC ; (3)求三棱锥 B ? PAC 的体积. 1.解:(1)证明:在三角形 PBC 中, E 是 PC 中点. F 为 PB 中点 所以 EF//BC, BC ? 面ABC, EF ? 面ABC, 所以? EF // 面ABC (2) ? E A O C B

F

?PA ? 面ABC ? BC ? PA ……(1) BC ? 面 ABC ?

又 AB 是⊙O 的直径,所以 BC ? AC ……(2) 由(1) (2)得 BC ? 面PAC 因 EF//BC

BC ? 面PAC ,所以 EF ? 面PAC

(3)因 PA ? ⊙O 所在的平面,AC 是 PC 在面 ABC 内的射影,? ?PCA 即为 PC 与面 ABC 所 成角 ,? ?PCA ? 45
0

,PA=AC

在 Rt ?ABC 中, E 是 PC 中点, ?BAC ?

?
4

, AC ? BC ? 2

1 2 VB ? PAC ? VP ? ABC ? S ?ABC PA ? 3 3
二、折叠型问题: 2.如图 1 所示,正 ?ABC 的边长为 2 a , CD 是 AB 边上的高, E , F 分别是 AC , BC 的 中点。现将 ?ABC 沿 CD 翻折,使翻折后平面 ACD ? 平面 BCD (如图 2) (1)试判断翻折后直线 AB 与平面 DEF 的位置关系,并说明理由; (2)求三棱锥 C ? DEF 的体积。

2.解: (1)判断:AB//平面 DEF………………………………………………..2 分 证明: 因在 ?ABC 中,E,F 分别是 AC,BC 的中点,有 EF//AB………………..5 分 又因 AB ? 平面 DEF, EF ? 平面 DEF…………..6 分 所以 AB//平面 DEF……………..7 分 (2)过点 E 作 EM ? DC 于点 M, 面 ACD ? 面 BCD,面 ACD 面 BCD=CD,而 EM ? 面 ACD 故 EM ? 平面 BCD 于是 EM 是三棱锥 E-CDF 的高……………………………..9 分 又 ? CDF 的面积为

S?CDF ?

1 1 1 1 3 2 S ?BCD ? ? CD ? BD ? (2a ) 2 ? a 2 ? a ? a 2 2 2 4 4

EM=

1 1 AD ? a ……………………………………………………………………11 分 2 2

故三棱锥 C-DEF 的体积为

1 1 3 2 1 3 3 VC ? DEF ? VE ?CDF ? ? S?CDF ? EM ? ? a ? a? a ........................14分 3 3 4 2 24
三、视图型问题: 3.一个多面体的三视图和直观图如下:

2 2
正视图

D

C
H

2 2
2
侧视图

2

E

N
F

2 2
俯视图

M A B (其中 H , M , N 分别是 DE, AF, BC 中点)

(1)求证: MN // 平面 CDEF ; (2)求证: MN ? AH (3)求多面体 A ? CDEF 的体积. 3.解:由三视图知,该多面体是底面为等腰直角三角形的直三棱柱,侧面 ABCD 和侧面 ABFE 为边长为 2 的正方形……2 分 (1) 正方形 ABEF, ∴连接 BE,则 BE 与 AF 交于中点 M, ∴连接 EC , ?BEC 中, M , N 分别是 BE , BC 中点 故中位线 MN / / EC ,…………………………………………………………4 分 而 MN ? 面 CDEF , EC ? 面 CDEF ∴ MN // 面 CDEF ……………………………………………………………6 分 (2)

?ABE 为等腰直角三角形,且 H 为中点 ∴ AH ? DE ①……………………………………………………………… 7 分 该多面体是直三棱柱,故侧棱 EF ? 面 ABE ,而 AH ? 面 ABE ,
故 AH ? EF ②……………………………………………………………… 8 分 综合①②,且 DE ? EF ? E , DE , EF ? 面 DCFE ∴ AH ? 面 DCFE , ……………………………………………………………… 9 分 ……………………………………10 分 而 EC ? 面 CDEF ∴ AH ? EC 由(1)可知, MN / / EC , ∴ AH ? MN ………………………………………………………………………… 11 分

(3)由(1)可知 AH ? 面 DCEF , AH 为高,且 AH ?

1 DE ? 2 2

SCDEF ? 2 ? 2 2 ? 4 2
∴ VA?CDEF ?

1 1 8 SCDEF ? AH ? ? 4 2 ? 2 ? …………………………………………14 分 3 3 3

四、探讨型问题: 4.在四棱锥 E - ABCD 中,底面 ABCD 是正方形, AC与BD交于O ,

EC ? 底面ABCD ,F 为 BE 的中点.
(1)求证: DE ∥平面 ACF ; (2)求证: BD ? AE ; (3)若 AB = 出

2CE, 在线段 EO 上是否存在点 G ,使 CG ? 平面BDE ?若存在,求
E F

EG 的值,若不存在,请说明理由. EO 4.解: (1)连接 OF . 由 ABCD 是正方形可知,点 O 为 BD 中点.
又 F 为 BE 的中点, 所以 OF ∥ DE ………………….2 分
D

E
C O G B

F
A

C D

B

O A

又 OF ? 平面ACF , DE ? 平面ACF , 所以 DE ∥平面 ACF ………….4 分 (2) 证明:由 EC ? 底面ABCD,BD ? 底面ABCD, 所以 EC ? BD , ………………………………5 分 由 ABCD 是正方形可知, AC ? BD, …………………………6 分 又 AC ? EC =C, AC,EC ? 平面ACE, ………………………………7 分 所以 BD ? 平面ACE , ……………………………………8 分 又 AE ? 平面ACE, 所以 BD ? AE …………………………………………………9 分 (3) 在线段 EO 上存在点 G ,使 CG ? 平面BDE . 理由如下:如图,取 EO 中点 G ,连接 CG .………………………………10 分 在四棱锥 E - ABCD 中, AB = 所以 CG ? EO 由(2)可知, BD ? 平面ACE ,而 BD ? 平面BDE, 所以 平面ACE ? 平面BDE, 且平面ACE ? 平面BDE ? EO, …………12 分 因为 CG ? EO, CG ? 平面ACE, 所以 CG ? 平面BDE 故在线段 EO 上存在点 G ,使 CG ? 平面BDE . 由 G 为 EO 中点,得 五、最值型问题: 5.如图, AB 是圆 O 的直径, C 是圆 O 上除 A 、 B 外的一点, ?AED 在平面 ABC 的投影 恰好是 ?ABC .已知 CD ? BE , AB ? 4 , tan ?EAB ? ⑴证明:平面 ADE ? 平面 ACD ; ⑵当三棱锥 C ? ADE 体积最大时,求三棱锥 C ? ADE 的高.
A

2CE, CO =

2 AB = CE , 2
……………11 分

………………13 分

EG 1 = . EO 2

…………… 14 分

1 . 4

D

C

E

O

?

B

5.证明与求解:⑴因为 AB 是直径,所以 BC ? AC ……1 分,因为

?ABC 是 ?AED 的投影,所以 CD ? 平面 ABC , CD ? BC ……2 分, 因为 CD ? AC ? C ,所以 BC ? 平面 ACD ……3 分
因为 CD ? 平面 ABC ,BE ? 平面 ABC , 所以 CD // BE ……4 分, 又因为 CD ? BE ,

DE ? 平面 ACD ……5 分, BC // DE , 所以 BCDE 是平行四边形, 因为 DE ? 平面 ADE ,
所以平面 ADE ? 平面 ACD ……6 分 ⑵依题意, EB ? AB ? tan ?EAB ? 4 ?

1 ? 1 ……7 分, 4

1 1 1 ? S ?ACD ? DE ? ? ? AC ? CD ? DE ……8 分, 3 3 2 1 1 1 4 ? ? AC ? BC … … 9 分 , ? ? ( AC 2 ? BC 2 ) ? ? AB 2 ? , 等 号 当 且 仅 当 6 12 12 3
由⑴知 VC ? ADE ? VE ? ACD ?

AC ? BC ? 2 2 时成立……11 分,
此时, AD ? 1 ? (2 2 ) ? 3 , S ?ADE ?
2 2

1 ? AD ? DE ? 3 2 ……12 分,设三棱锥 2

C ? ADE 的高为 h ,则 VC ? ADE ?

1 4 2 2 ? S ?ADE ? h ? ……13 分, h ? ……14 分. 3 3 3

立体几何综合训练题(一)配套练习
1.如图,己知?BCD 中,∠BCD = 900,BC=CD=2,AB⊥平面 BCD,∠ADB=450,E、F 分别是 AC、AD 上的动点,且 EF//CD (1)求证: EF⊥平面 ABC; (2)求此三棱锥 A—BCD 的表面积; (3)若 E、F 分别是 AC、AD 上的中点,求点 A 到平 面 BEF 的距离. 1.(1)证明:因为 AB⊥平面 BCD,所以 AB⊥CD, 又在△BCD 中,∠BCD = 900,所以,BC⊥CD,又 AB∩BC =B, 所以,CD⊥平面 ABC, 又因 EF / / CD ,所以 EF⊥平面 ABC AB⊥BD; 所以三棱锥 A-BCD 的四个面都是直角三角形。因 BC=CD=2,故 BD= 2 2 ; 又∠ADB = 450,故 BD=AB= 2 2 ,AC= ………………………………………………3 分 ………………………4 分

(2) 因 CD⊥平面 ABC, 所以 CD⊥AC, CD⊥BC; 又因 AB⊥平面 BCD, 所以 AB⊥BC、

AB2 ? BC2 ? 8 ? 4 ? 2 3 ,所以:

1 1 1 1 AB ? BC ? BC ? CD ? AB ? BD ? AC ? CD 2 2 2 2 1 1 1 1 ? ? 2 2 ? 2 ? ? 2 ? 2 ? ? 2 2 ? 2 2 ? ? 2 3 ? 2 ? 6 ? 2 2 ? 2 3 ????8分 2 2 2 2 S表 ? S ?ABC ? S ?BCD ? S ?ABD ? S ?ACD ?
(3)解:因 EF⊥平面 ABC,BE 在面 BCD 内,所以,EF⊥BE, 又因 E,F 分别是 AC,CD 的中点,所以 EF ? 的中线,

1 CD ? 1 ,又 AB⊥BC,因此 BE 是△ABC 2

所以 S ?ABE ?

1 1 1 S ?ABC ? ? 2 2 ? 2 , BE ? AC ? 3 ,所以: 2 2 2

S?BEF ?

1 1 3 ,设 A 到面 BEF 的距离为 h, 因 EF⊥平面 ABC, EF ? BE ? ?1? 3 ? 2 2 2
1 3 1 S ? EF S ?ABE ? EF , h ? ?ABE ? 3 S?BEF

根据 VA? BEF ? VF ? ABE ,所以 S ?BEF ? h ?

2 ?1 2 6 ? 3 3 2

所以,A 到面 BEF 的距离为

2 6 3

……………………………14 分

2. 已知某几何体的直观图和三视图如下图所示,其正视图为矩形,侧视图为等腰直角三角 形,俯视图为直角梯形, (1)求证: BC // 平面C1 B1 N ; (2)求证: BN ? 平面C1 B1 N ; (3)求此几何体的体积.

4 8 主8 视 图 4 4 8 俯视 图 2.解: (1)证明:? 该几何体的正视图为矩形,侧视图为等腰直角三角形,俯视图为直角 梯形,? BA, BC , BB1 两两互相垂直。 ∵ BC // B1C1 , B1C1 ? 平面C1 B1 N , BC ? 平面C1 B1 N , ∴ BC // 平面C1 B1 N …… 4 分

侧视 图

C
(2)连 BN,过 N 作 NM ? BB1 ,垂足为 M, ∵ B1C1 ? 平面ABB1 N , BN ? 平面ABB1 N , ∴ B1C1 ? BN ,… 5 分 由三视图知,BC=4,AB=4,BM=AN=4, BA ? AN ,

C1

B

M

B1

A

N

∴ BN ?
2

2 2 2 2 4 2 ? 4 2 ? 4 2 , B1 N ? NM ? B1M ? 4 ? 4 = 4 2 ,… 6 分

∵ BB1 ? 8 ? 64, B1 N ? BN ? 32 ? 32 ? 64 ,
2 2

? BN ? B1 N ,…… 7 分
∵ B1C1 ? 平面B1C1 N,, 1 N ? 平面B1C1 N , B1 N ? B1C1 ? B1

? BN ? 平面C1 B1 N
(3)连接 CN,

……………… 9 分

1 1 1 32 … 11 分 VC ? BCN ? ? BC ? S ?ABN ? ? 4 ? ? 4 ? 4 ? 3 3 2 3
∴ 平面B1C1CB ? ANB1 B ? BB1 , NM ? BB1 , NM ? 平面B1C1CB , ∴ NM ? 平面B1C1CB ,

V N ? B1C1CB ?


1 1 128 … 13 分 ? NM ? S 矩形B1C1CB ? ? 4 ? 4 ? 8 ? 3 3 3
几 何 体 的 体 积

V ? VC ? BCN ? VN ? B1C1CB

32 64 32 128 160 …14 分 ? ? ? 32 V ? VC ? BCN ? V N ? B1C1CB ? ? ? 3 3 3 3 3

3.如图,在三棱锥 P ? ABC 中, PA ? 平面 ABC , AC ? BC , D 为侧棱 PC 上一点,它的正 (主)视图和侧(左)视图如图所示. (1)证明: AD ? 平面 PBC ; (2)求三棱锥 D ? ABC 的体积; (3)在 ?ACB 的平分线上确定一点 Q ,使得 PQ ∥平面 ABD ,并求此时 PQ 的长.

3.解: (1)因为 PA ? 平面 ABC ,所以 PA ? BC , 又 AC ? BC ,所以 BC ? 平面 PAC ,所以 BC ? AD . 由三视图可得,在 ?PAC 中, PA ? AC ? 4 , D 为 PC 中点,所以 AD ? PC , 所以 AD ? 平面 PBC
P D

A
Q O

C B

(2)由三视图可得 BC ? 4 ,由⑴知 ?ADC ? 90? , BC ? 平面 PAC , 又三棱锥 D ? ABC 的体积即为三棱锥 B ? ADC 的体积,

1 1 1 16 所以,所求三棱锥的体积 V ? ? ? 4 ? ? 4 ? 4 ? . 3 2 2 3
(3)取 AB 的中点 O ,连接 CO 并延长至 Q ,使得 CQ ? 2CO ,点 Q 即为所求. 因为 O 为 CQ 中点,所以 PQ ∥ OD , 因为 PQ ? 平面 ABD , OD ? 平面 ABD ,所以 PQ ∥平面 ABD , 连接 AQ , BQ ,四边形 ACBQ 的对角线互相平分, 所以 ACBQ 为平行四边形,所以 AQ ? 4 ,又 PA ? 平面 ABC , 所以在直角 ?PAD 中, PQ ? AP2 ? AQ2 ? 4 2 .

4.如图, 矩形 ABCD 中,AB ? 3 ,BC ? 4 .E ,F 分别在线段 BC 和 AD 上,EF ∥ AB , 将矩形 ABEF 沿 EF 折起.记折起后的矩形为 MNEF ,且平面 MNEF ? 平面 ECDF . (1)求证: NC ∥平面 MFD ; (2)若 EC ? 3 ,求证: ND ? FC ; (3)求四面体 NFEC 体积的最大值.

4. (1) 证明: 因为四边形 MNEF ,EFDC 都是矩形, 所以 MN ∥ EF ∥ CD , MN ? EF ? CD . 所以 四边形 MNCD 是平行四边形,……………2 分 所以 NC ∥ MD , ………………3 分 MFD NC ? 因为 平面 , 所以 NC ∥平面 MFD . ………………4 分 (2)证明:连接 ED ,设 ED FC ? O . 因为平面 MNEF ? 平面 ECDF , 平面 MNEF ? 平面 ECDF ? EF 且 NE ? EF , NE ? 平面 MNEF 所以 NE ? 平面 ECDF ,………………5 分 又 FC ? 平面 ECDF , 所以 FC ? NE .……6 分 又 EC ? CD , 所以四边形 ECDF 为正方形, 所以 FC ? ED . …………7 分 FC ? 平 面 因 NE ED ? E , 所 以 N E, D ………………8 分 ND ? 平面NED 又 , 所 以 ND ? FC . ………………9 分

(3)解:设 NE ? x ,则 EC ? 4 ? x ,其中 0 ? x ? 4 . 由(2)得 NE ? 平面 FEC , 所以四面体 NFEC 的体积为 VNFEC ? 所以 VNFEC ?

1 x ? (4 ? x) 2 [ ] ? 2. 2 2

1 1 S?EFC ? NE ? x(4 ? x) . 3 2

…………11 分

………………13 分


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