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高中数学必修三新课标人教A版 1.3 第1课时 辗转相除法与更相减损术、秦九韶算法

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1.3 算法案例 第1课时 辗转相除法与更相减损 术、秦九韶算法 1.通过辗转相除法与更相减损术、秦九韶算法的学习,进 一步体会算法思想; 2.通过古代著名的算法,理解掌握辗转相除法与更相减损 术、秦九韶算法的含义;(重点) 3.了解其计算过程;(重点) 4.了解其算法程序框图和程序.(难点) 1. 回顾算法的三种表述: 自然语言 程序框图(三种逻辑结构) 程序语言(五种基本语句) 2.小学学过的求两个数最大公约数的方法. 先用两个公有的质因数连续去除,一直除到所得的商是 互质数为止,然后把所有的除数连乘起来. 例如:求两个正整数的最大公约数 (1)求25和35的最大公约数 (2)求49和63的最大公约数 (1 ) 5 25 5 35 7 (2 ) 7 除了用这种方法外还有 没有其他方法吗? 49 7 63 9 所以,25和35的最大公 约数为5. 所以,49和63的最大公 约数为7. 辗转相除法 (欧几里得算法) 为什么? 思考:算出8 251和6 105的最大公约数. 第一步,用两数中较大的数除以较小的数,求得商和余 数8 251=6 105×1+2 146. 结论:8 251和6 105的公约数就是6 105和2 146的公 约数,求8 251和6 105的最大公约数,只要求出6 105 和2 146的最大公约数就可以了. 第二步,对6 105和2 146重复第一步的做法, 6 105=2 146×2+1 813, 同理6 105和2 146的最大公约数也是2 146和1 813的 最大公约数. 完整的过程: 8 251=6 105×1+2 146 6 105=2 146×2+1 813 2 146=1 813×1+333 1 813=333×5+148 333=148×2+37 148=37×4+0 显然37是148和37的最大公约数,也就是8 251和6 105的 最大公约数. (1)辗转相除法 所谓辗转相除法,就是对于给定的两个数,用较 大的数除以较小的数.若余数不为零,则将余数和较 小的数构成新的一对数,继续上面的除法,直到大数 被小数除尽,则这时较小的数就是原来两个数的最大 公约数. (2)算法步骤 第一步,输入两个正整数m,n(m>n). 第二步,计算m除以n所得的余数r. 第三步,m=n,n=r. 第四步,若r=0,则m,n的最大公约数等于m;否则转 到第二步. 第五步,输出最大公约数m. (3)程序框图 开始 (4)程序 输入m,n INPUT 求m除以n的余数r m,n DO r=m m=n 否 m=n n=r r=0? 是 输出m 结束 MOD n n=r LOOP UNTIL r=0 PRINT END m 更相减损术 算理:可半者半之,不可半者,副置分母、子之数,以少 减多,更相减损,求其等也,以等数约之. 第一步:任意给定两个正整数,判断它们是否都是偶数. 若是,则用2约简;若不是则执行第二步. 第二步:以较大的数减较小的数,接着把所得的差与较小 的数比较,并以大数减小数.继续这个操作,直到所得的 数相等为止,则这个数(等数)或其与约简的数的乘积就 是所求的最大公约数. 更相减损术 (1)算理:所谓更相减损术,就是对于给定的两个数, 用较大的数减去较小的数,然后将差和较小的数构成新 的一对数,再用较大的数减去较小的数,反复执行此步 骤,直到差数和较小的数相等,此时相等的两数便为原 来两个数的最大公约数. (2)

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