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2015第1部分专题5第1讲圆与圆锥曲线的基本问题

时间:2015-02-04


第1讲 圆与圆锥曲线的基本问题

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高考定位

1. 圆的方程及直线与圆的位置关系是高考对本讲内

容考查的重点,涉及圆的方程的求法、直线与圆的位置关系的

判断、弦长问题及切线问题等.2.圆锥曲线中的基本问题一般以
椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、几何性质等作为考 查的重点,多为选择题或填空题.

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热点一 圆的方程及其应用 【例 1】 ( 2 0 1 4 · 潍 坊 一 模 )若圆 C 经过( 1 0 ,) 轴相切,则圆 C 的方程为( ). ,( 3 0 ,) 两 点 , 且 与 y

A.(x-2)2+(y± 2 ) 2=3 B.(x-2)2+(y± 3)2=3 C.(x-2)2+(y± 2 ) 2=4
解析 因为圆 C 经过( 1 0 ,)

D.(x-2)2+(y± 3)2=4
,( 3 0 ,) 两点,所以圆心在直线 x=2

上,又圆与 y 轴相切,所以半径为 2,设圆心坐标为(2,b), 则(2-1)2+b2=4,∴b2=3,b=± 3.
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答案 D

规律方法

圆的标准方程直接表示出了圆心和半径, 而圆的一

般方程则表示出了曲线与二元二次方程的关系, 在求解圆的方 程时,要根据所给条件选取适当的方程形式.

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【训练 1】 ( 2 0 1 4 · 重 庆 卷 )已知直线 x-y+a=0 与圆心为 C 的 圆 x2+y2+2x-4y-4=0 相交于 A,B 两点,且 AC⊥BC,则 实数 a 的值为________.

解析 圆 C:x2+y2+2x-4y-4=0 的标准方程为(x+1)2+(y -2)2=9, 所以圆心为 C(-1,2), 半 径 为 3.因为 AC⊥BC, 所 以 圆 心 C到

|-1-2+a| 3 2 3 2 直线 x-y+a=0 的距离为 2 ,于是有 = 2 ,所 2 以 a=0 或 6.
答案 0 或 6
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热 点 二

圆 锥 曲 线 的 定 义 、 方 程 、 性 质 的 应 用 定 义 与 标 准 方 程 的 应 用 x2 y2 )已 知 椭 圆 9 + m =1 ( 0 <m< A,B 两 ). D. 3 F,

[微 题 型 1]

【 例 2-1】 ( 1 ) ( 2 0 1 4 · 豫 南 五 市 模 拟 9 ), 左 、 右 焦 点 分 别 为

F1,F2,过 F1 的 直 线 交 椭 圆 与 1 0, 则 m的 值 为 ( C.1

点 , 若 |AF2|+|BF2|的 最 大 值 为 A.3 ( 2 ) ( 2 0 1 4 · 新 课 标 全 国 卷 B.2

Ⅰ) 已 知 抛 物 线

C:y2=x 的 焦 点 为 ). D.8

5 A(x0,y0)是 C 上 一 点 , |AF|=4x0, 则 x0=( A.1 B.2 C.4
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解 析

x 2 y2 ( 1 ) 已 知 椭 圆 9 +m=1 ( 0 <m<9 )中 , a2=9,b2=m|. AF2| 2b2 2m = a = 3 =2,解

+|BF2|=4a-|AB|≤1 0 ,∴|AB|≥2,|AB|m n i 得 m=3 . p 1 ( 2 ) 由 y =x, 可 得 2=4 .
2

由 抛 物 线 的 定 义 知 : ∴x0=1, 故 选 A.

1 5 p |AF|=x0+2=x0+4=4x0,

答案 ( 1 ) A

( 2 ) A
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探究提高 ( 1 ) 对 于 圆 锥 曲 线 的 定 义 不 仅 要 熟 记 , 还 要 深 入 理 解 细 节 部 分 : 比 如 椭 圆 的 定 义 中 要 求 的 定 义 中 要 求 |PF1|+|PF2|>|F1F2|, 双 曲 线

||PF1|-|PF2||<|F1F2|, 抛 物 线 上 的 点 到 焦 点 的 距

离与到准线的距离相等的转化. ( 2 ) 注 意 数 形 结 合 , 提 倡 画 出 合 理草图.

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[微 题 型 2]

几 何 性 质 与 标 准 方 程 的 应 用 2的 双 曲 线 的 一 个 焦 点 与 抛 物 线 ( ).

【 例 2-2】 ( 1 ) 已 知 离 心 率 等 于

1 2 x=8y 的 焦 点 重 合 , 则 该 双 曲 线 的 方 程 为
2 x A.y2- 3 =1

x2 y2 B. 3 - 4 =1
2 y D.x2- 3 =1

x2 2 C. 3 -y =1

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( 2 ) ( 2 0 1 4 · 北 京 顺 义 区 统 练 垂 直 于 x轴 的 弦 长 为 是( 5 A.4 3 C.2 ).

x2 y2 )过 椭 圆 a2+b2=1 ( a>b >0 )的 焦 点 且 x2 y2 离 心 率 a2-b2=1 的 e 的值

1 则 双 曲 线 2a,

5 B. 4 5 D. 2

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解 析

( 1 ) 抛 物 线 的 标 准 方 程 为

y2=8x, 故 其 焦 点 为

F( 2 0 ,)

,所

以 双 曲 线 的 焦 点 在 则 由 已 知 得 c=2,

x轴 上 , 设 其 方 程 为

x2 y2 ( a>0, b>0 ), a2-b2=1

c 又 e=a=2, 解 得 a=1, 所 以 b2=c2-a2=3 . 故 双 曲 线 的 方 程 为
2 y x2- 3 =1 .

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( 2 ) 设 过 焦 点

F(c,0 )的 弦 的 端 点 分 别 为

A,B, 令 x=c,

2 4 2 c b b 则 y2=b2(1-a2)=a2,y=±a ,

2b2 而|AB|= a , 2 b2 1 故 a =2a,a2=4b2,
2 2 2 2 a + b c 5 b 5 2 则 e =a2= a2 =4b2=4,

5 ∴e= 2 .

答案 ( 1 ) D

( 2 ) D
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探 究 提 高

( 1 ) 准 确 把 握 圆 锥 曲 线 的 定 义 和 标 准 方 程 及 其 简 单 几

何 性 质 , 注 意 焦 点 在 不 同 坐 标 轴 上 时 , 椭 圆 、 双 曲 线 、 抛 物 线 方 程 的 不 同 表 示 形 式 . ( 2 ) 解 决 椭 圆 和 双 曲 线 的 离 心 率 的 求 值 及 a,b,c 的 方 程 或 不 等 式 , b得 到 a, c的 关 系 式 , 建 立 关 于 a,

范 围 问 题 其 关 键 就 是 确 立 一 个 关 于 再 根 据 a, b, c的 关 系 消 掉

b,c 的 方 程 或 不 等 式 , 要 充 分 利 用 椭 圆 和 双 曲 线 的 几 何 性 质 、 点 的 坐 标 的 范 围 等 .

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[微 题 型 3]

有 关 圆 锥 曲 线 的 弦 长 问 题 x O y 中 , 已 知 椭 3 e= 2 .

【 例 2-3】 ( 2 0 1 4 · 咸 阳 模 拟 )在 平 面 直 角 坐 标 系 x2 y 2 圆 C∶a2+b2=1 ( a>b≥1 )过 点 P( 2 1 ,) ( 1 ) 求 椭 圆 C的 方 程 ; , 且 离 心 率

1 ( 2 ) 直 线 l的 斜 率 为 2, 直 线 l与 椭 圆 C交 于 A, B两 点 , 求 △P A B 面 积 的 最 大 值 .

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2 2 2 a - b c 3 2 ( 1 ) ∵e =a2= a2 =4,∴a2=4b2.

4 1 又a2+b2=1, ∴a2=8,b2=2 . 故 所 求 椭 圆 x2 y 2 C的 方 程 为 8 + 2 =1 . 1 y=2x+m, 点 A(x1,y1),B(x2,y2),

( 2 ) 设l的 方 程 为

? 1 ?y=2x+m, 联 立? 2 2 ?x +y =1, ?8 2
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整 理 得 x2+2mx+2m2-4=0, 判 别 式 Δ=1 6 -4m2>0, 即 m2<4 . 又 x1+x2=-2m,x1· x2=2m2-4, 则|AB|= 1 1+4× ?x1+x2?2-4x1x2

= 5?4-m2?, 点P到 直 线 l的 距 离 d= |m| 2 | m| = . 5 1 1+4

因 此 S△P A B

1 1 2 | m| =2d|AB|=2× × 5?4-m2?= m2?4-m2? 5
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m2+4-m2 2 ≤ = 2 ,当且仅当 m =2 时取等号. 2 故△P A B 面 积 的 最 大 值 为 2.

探 究 提 高

( 1 ) 涉 及 弦 长 的 问 题 中 , 应 熟 练 地 利 用 根 与 系 数 关 系 、 数 关

设 而 不 求 法 计 算 弦 长 ; 涉 及 垂 直 关 系 时 也 往 往 利 用 根 与 系 系 、 设 而 不 求 法 简 化 运 算 ; 涉 及 过 焦 点 的 弦 的 问 题 , 可 考 虑 用 圆 锥 曲 线 的 定 义 求 解 . ( 2 ) 对 于 弦 中 点 问 题 常 用

“根 与 系 数 的 关

系”或“点 差 法 ”求 解 , 在 使 用 根 与 系 数 的 关 系 时 , 要 注 意 使 用条件 Δ≥0,在用“点差法”时,要检验直线与圆锥曲线是 否 相 交 .
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x2 y2 【 训 练 2】 设 椭 圆 C:a2+b2=1 ( a>b>0 )的 右 焦 点 为 F的 直 线 l与 椭 圆 C相 交 于 A, B两 点 , 直 线 → → AF=2FB. ( 1 ) 求 椭 圆 C的 离 心 率 ; 1 5 ( 2 ) 如 果 |AB|= 4 , 求 椭 圆 C的 方 程 .

F, 过 点 6 0 °,

l的 倾 斜 角 为

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设 A(x1,y1),B(x2,y2), y1<0,y2>0 . y= 3(x-c), 其 中 c= a2-b2.

由 题 意 知

( 1 ) 直 线 l的 方 程 为

3?x-c?, ? ?y= 联 立 ? x2 y2 得(3a2+b2)y2+2 3b2cy-3b4=0. 2+ 2=1, ? ?a b - 3b2?c+2a? - 3b2?c-2a? 解 得 y1 = ,y 2 = . 3a2+b2 3a2+b2

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→ → 因 为 AF = 2 FB , 所 以 - y1 = 2y2 , 即 - 3b2?c-2a? 2 · , 得 离 心 率 3a2+b2 ( 2 ) 因 为 |AB|= c 2 e=a=3.

3b2?c+2a? = 3a2+b2

1 1+3|y2-y1|,

2 4 3a b2 1 5 所 以 · 2 , 2= 4 3 3a +b 5 c 2 由a=3, 得 b= 3 a, 5 1 5 所 以 4a= 4 , 得 a=3,b= 5, x 2 y2 故 椭 圆 C的 方 程 为 9 + 5 =1 .
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1.确定圆的方程时,常用到圆的几个性质:
(1) 直线与圆相交时应用垂径定理构成直角三角形 ( 半弦长, 弦心距,圆半径); (2)圆心在过切点且与切线垂直的直线上; (3)圆心在任一弦的中垂线上;

(4)两圆内切或外切时,切点与两圆圆心三点共线;
(5)圆的对称性:圆关于圆心成中心对称,关于任意一条过圆 心的直线成轴对称.

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2.对涉及圆锥曲线上点到焦点距离或焦点弦问题,恰当选用定 义解题,会效果明显,定义中的定值是标准方程的基础. 3.椭圆、双曲线的方程形式上可统一为Ax2+By2=1,其中A, B 是不等的常数, A > B > 0 时,表示焦点在 y 轴上的椭圆; B

>A>0时,表示焦点在x轴上的椭圆;AB<0时表示双曲线.
4.求双曲线、椭圆的离心率的方法:方法一:直接求出 a,c, c 计算 e=a;方法二:根据已知条件确定 a,b,c 的等量关系, c 然后把 b 用 a,c 代换,求a.

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5. 通 径 : 过 双 曲 线 、 椭 圆 、 抛 物 线 的 焦 点 垂 直 于 对 称 轴 的 弦 称 2b2 为通径,双曲线、椭圆的通径长为 a ,过椭圆焦点的弦中通 径 最 短 ; 抛 物 线 通 径 长 是 2p, 过 抛 物 线 焦 点 的 弦 中 通 径 最 短 . 椭

圆上点到焦点的最长距离为 a+c,最短距离为 a-c.

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