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高中数学 1.1.1 集合的含义与表示教案 新人教A版必修1

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1.1.1 集合的含义与表示 (第一课时)
教学目标:1.理解集合的含义。 2.了解元素与集合的表示方法及相互关系。 3.熟记有关数集的专用符号。 4.培养学生认识事物的能力。 教学重点:集合含义 教学难点:集合含义的理解 教学方法:尝试指导法 教学过程: 引入问题 (I)提出问题 问题 1:班级有 20 名男生,16 名女生,问班级一共多少人? 问题 2:某次运动会上,班级有 20 人参加田赛,16 人参加径赛,问一共多少人参加比 赛? 讨论问题:按小组讨论。 归纳总结:问题 2 已无法用学过的知识加以解释,这是与集合有关的问题,因此需用集 合的语言加以描述(板书标题) 。 复习问题 问题 3:在小学和初中我们学过哪些集合?(数集,点集) (如自然数的集合, 有理数的集合,不等式 x ? 7 ? 3 的解的集合,到一个定点的距离等于定长的点的集合, 到一条线段的两个端点距离相等的点的集合等等) 。 (II)讲授新课 1.集合含义 通过以上实例,指出: (1)含义:一般地,我们把研究对象统称为元素(element) ,把一些元素组成的总 体叫做集合(set)(简称为集) 。 说明:在初中几何中,点,线,面都是原始的,不定义的概念,同样集合也是原始 的,不定义的概念,只可描述,不可定义。 (2)表示方法:集合通常用大括号{ }或大写的拉丁字母 A,B,C?表示,而元素 用小写的拉丁字母 a,b,c?表示。 问题 4:由此上述例中集合的元素分别是什么? 2. 集合元素的三个特征 问题: (1)A={1,3},问 3、5 哪个是 A 的元素? (2)A={所有素质好的人},能否表示为集合?B={身材较高的人}呢? (3)A={2,2,4},表示是否准确? (4)A={太平洋,大西洋},B={大西洋,太平洋},是否表示为同一集合? 由以上四个问题可知,集合元素具有三个特征: (1) 确定性: 设 A 是一个给定的集合,a 是某一具体的对象,则 a 或者是 A 的元素, 或者不是 A 的元素,两种情况必有一种而且只有一种成立。 如: “地球上的四大洋” (太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋) “中国古代四大发明” (造纸,印刷,火药,指南针)可以构成集合,其 元素具有确定性;

而“比较大的数” , “平面点 P 周围的点”一般不构成集合 元素与集合的关系:(元素与集合的关系有“属于 ? ”及“不属于 ? 两种) 若 a 是集合 A 中的元素,则称 a 属于集合 A,记作 a ? A; 若 a 不是集合 A 的元素,则称 a 不属于集合 A,记作 a ? A。 如 A={2,4,8,16},则 4 ? A,8 ? A,32 ? A.(请学生填充)。 (2) 互异性:即同一集合中不应重复出现同一元素. 说明:一个给定集合中的元素是指属于这个集合的互不相同的对象.因此, 以后提到集合中的两个元素时,一定是指两个不同的元素 . 如:方程(x-2)(x-1)2=0 的解集表示为 ? 1,-2

? ,而不是 ?

1,1,-2

?

(3)无序性: 即集合中的元素无顺序,可以任意排列,调换. 3.常见数集的专用符号 N:非负整数集(自然数集). N*或 N+:正整数集,N 内排除 0 的集. Z: 整数集 Q:有理数集. R:全体实数的集合。 (III)课堂练习 1.课本 P2、3 中的思考题 2.补充练习: (1) 考察下列对象是否能形成一个集合? ① 身材高大的人 ②所有的一元二次方程 ③ 直角坐标平面上纵横坐标相等的点 ④细长的矩形的全体 ⑤ 比 2 大的几个数 ⑥ 2 的近似值的全体 ⑦ 所有的小正数 ⑧所有的数学难题 (2) 给出下面四个关系: 3 ? R,0.7 ? Q,0 ? {0},0 ? N,其中正确的个数是:( ) A.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个 (3) 下面有四个命题: ①若-a ? Ν ,则 a ? Ν ②若 a ? Ν ,b ? Ν ,则 a+b 的最小值是 2 ③集合 N 中最小元素是 1 ④ x2+4=4x 的解集可表示为{2,2} 其中正确命题的个数是( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 (IV)课时小结 1.集合的含义; 2.集合元素的三个特征中,确定性可用于判定某些对象是否是给定集合的元素,互 异性可用于简化集合的表示,无序性可用于判定集合的关系。 3.常见数集的专用符号. (V)课后作业 一、 书面作业 1. 教材 P13,习题 1.1 A 组第 1 题 2. 由实数-a, a, a , a 2, - 5 a 5 为元素组成的集合中,最多有几个元素?分别 为什么? 3. 求集合{2a,a2+a}中元素应满足的条件? 4. 若

1? t ? {t},求 t 的值. 1? t

二、

预习作业 1. 预习内容:课本 P4—P6 2.预习提纲: (1)集合的表示方法有几种?怎样表示,试举例说明. (2)集合如何分类,依据是什么?

教学后记

1.1.1 集合的含义与表示(第二课时) 教学目标:1.掌握集合的两种常用表示方法(列举法和描述法) 。. 2.通过实例能使学生选择自然语言、 图形语言、 集合语言 (列举法或描述法) 描述不同的具体问题,感受集合语言的意义和作用。 教学重点:集合的两种常用表示方法(列举法和描述法) 教学难点:集合的两种常用表示方法(列举法和描述法)的理解 教学方法:尝试指导法和讨论法 教学过程: (I)复习回顾 问题 1:集合元素的特征有哪些?怎样理解,试举例说明. 问题 2:集合与元素关系是什么?如何表示? 问题 3:常用的数集有哪些?如何表示? (II)引 入问题 问题 4:在初中学正数和负数时,是如何表示正数集合和负数集合的? 如表

示下列数中的正数 方法 1:

4.8,-3, 2 ,-0.5, ,+73,3.1

1 3

4.8, 1 ,+73,3.1,
3

2

方法 2:

{4.8, 2 ,

1 ,+73,3.1} 3

问题 5 :在初中学习不等式时 , 如何表示不等式 x+3<6 的解集 ? (可表示 为:x<3) (III) 讲授新课 一、集合的表示方法 问题 4 中,方法 1 为图示法,方法 2 为列举法. 1. 列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在大括号里的方法. 说明: (1)书写时,元素与元素之间用逗号分开; (2)一般不必考虑元素之间的顺序; (3)在表示数列之类的特殊集合时,通常仍按惯用的次序; (4)在列出集合中所有元素不方便或不可能时,可以列出该集合的一部分元 素,以提供某种规律,其余 元素以省略号代替; 例 1.用列举法表示下列集合: (1) 小于 5 的正奇数组成的集合; (2) 能被 3 整除而且大于 4 小于 15 的自然数组成的集合; (3) 从 51 到 100 的所有整数的集合; (4) 小于 10 的所有自然数组成的集合; (5) 方程 x 2 ? x 的所有 实数根组成的集合;

(6) 由 1~20 以内的所有质数组成的集合。 问题 6:能否用列举法表示不等式 x-7<3 的解集? 由此引出描述法。 2. 描述法: 用集合所含元素的共同特征表示集合的方法(即把集合中元素的公共 属性描述出来, 写在大括号里的方法)。 表示形式:A={x∣p},其中竖线前 x 叫做此集合的代表元素;p 叫做元素 x 所具有 的公共属性;A={x∣p}表示集合 A 是由所有具有性质 P 的那些元素 x 组成的,即若 x 具有性质 p,则 x ? A;若 x ? A,则 x 具有性质 p。 说明: (1)有些集合的代表元素需用两个或两个以上字母表示; (2)应防止集合表示中的一些错误。 如, 把{(1,2)}表示成{1,2}或{x=1,y=2},{x∣1,2}, 用{实数集}或{全体实数} 表示 R。 例 2.用描述法表示下列集合: (1) 由适合 x2-x-2>0 的所有解组成的集合; (2) 到定点距离等于定长的点的集合; (3) 抛物线 y=x2 上的点; 2 (4)抛物线 y=x 上点的横坐标; (5)抛物线 y=x2 上点的纵坐标;

例 3.试分别用列举法和描述法表示下列集合: (1)方程 x 2 ? 2 ? 0 的所有实数根组成的集合; (2)由大于 10 小于 20 的所有整数组成的集合。 合的分类 例 4.观察下列三个集合的元素个数 1. {4.8, 7.3, 3.1, -9}; 2. {x ? R∣0<x<3}; 由此可以得到 二、集

3. {x ? R∣x +1=0}
2

?有限集 : 含有有限个元素的集合 ? 集合的分类 ?无限集 : 含有无限个元素的集合 ?空集 : 不含有任何元素的集合?(empty ? set ) ?
三、文氏图 集合的表示除了上述两种方法以外,还有文氏图法,叙述如下: 画一条封闭的曲线,用它的内部来表示一个集合,如图所示:

表示任意一个集合 A 表示{3,9,27} 说明:边界用直线还是曲线,用实线还是虚线都无关紧要,只要封闭并把有关元 素统统包含在里边就行,但不能理解成圈内每个点都是集合的元素. (IV)课堂练习 1.课本 P4 思考题和 P6 思考题及练习题。. 2.补充练习 a. 方程组 ? 的解集用列举法表示为 ________ ;用描述法表示 x? y ?5 ? . b. {(x,y) ∣x+y=6,x、y∈N}用列举法表示为 . c.用列举法表示下列集合,并说明是有限集还是无限集? (1){x∣x 为不大于 20 的质数}; (2){100 以下的,9 与 12 的公倍数}; (3){(x,y) ∣x+y=5,xy=6}; d.用描述法表示下列集合,并说明是有限集还是无限集? (1){3,5,7,9}; (2){偶数}; (3){(1,1),(2,4),(3,9),(4,16),?}; e.判断下列集合是有限集还是无限集或是空集? (1){2,4,6,8,?}; (2){x∣1<x<2}; (3){x ? Z∣-1<x<20}; (4){x ? N∣3<x<4}; f.判断下列关系式是否正确? (1) 2 ? Q; (2) N ? R; (3) 2? {(2,1 )} (4) 2 ? {{2},{1}}; (5) 菱形 ? { 四边形与三角形 }; (6) 2 ? {y ∣

?x ? y ? 2



y=x2}; (V)课时小结 1.通过学习清楚表示集合的方法,并能灵活运用. 2.注意集合 ? 在解决问题时所起作用. (VI)课后作业 1.书面作业:课本 P13 习题 1.1 A 组题第 2、3、4 题。 2.预习作业: (1)预习内容:课本 P6—P8; (2)预习提纲: a.集合 A 和集合 B 具有什么关系, 就能说明一个集合是另一个集合的子集. b.一个集合 A 是另一个集合 B 的真子集,则其应满足条件是什么? 教学后记


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