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场论运算_图文

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场论运算

大理大学工程学院 罗凌霄编写

1

1

一阶微分运算
将算符 ?直接作用于标量场和矢量场,即分别得到梯度、

? ? 散度和旋度,即 ?? , ? ? A , ? ? A 这些都叫一阶微分运算。
举例:设 R ? ( x ? x?) 2 ? ( y ? y ?) 2 ? ( z ? z ?) 2 为源点 r ?与场点 r

之间的距离,R 的方向规定为源点指向场点,试分别对场点

和源点求R的梯度。

场源点

R

场点(观察点)

r?
o 坐标原点
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r

2

第一种情况:
源点固定,R是场点的函 数,对场点求梯度,则有

场源点

R

场点(观察点)

r?
o 坐标原点

r

R ? ( x ? x?)2 ? ( y ? y?)2 ? ( z ? z?)2

? R ? ex

?R ?R ?R ? ey ? ez ?x ?y ?z

?R 1 ( x ? x?) 2 2 2 ?1 2 ? ? ? ? ? ? ? ( x ? x ) ? ( y ? y ) ? ( z ? z ) ? 2( x ? x ) ? ? ?x 2 ? R
同理可得:
?R ( y ? y?) ? , ?y R ?R ( z ? z?) ? ?z R

故得到: ?R ? ex ?R ? ey ?R ? ez ?R ? ex ( x ? x?) ? ey ( y ? y?) ? ez ( z ? z?) ?x ?y ?z R R R

?

1 r ? r? R ? ? ? ? ? e ( x ? x ) ? e ( y ? y ) ? e ( z ? z ) ? ? ? eR x y z ? ? R R R
3

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第二种情况:
场点固定,R是源点的函 数,对源点求梯度,则有

场源点

R

场点(观察点)

r?
o 坐标原点

r

R ? ( x ? x?)2 ? ( y ? y?)2 ? ( z ? z?)2

??R ? ex

?R ?R ?R ? ey ? ez ?x? ?y? ?z?

?R 1 ( x ? x?) 2 2 2 ?1 2 ? ? ? ? ? ? ? ?( x ? x ) ? ( y ? y ) ? ( z ? z ) ? ? 2( x ? x )(?1) ? ? ?x? 2 R
?R ( y ? y?) 同理可得: ? ? , ? ?y R ?R ( z ? z?) ?? ?z? R

故得到: ??R ? ex ?R ? ey ?R ? ez ?R ? ?ex ( x ? x?) ? ey ( y ? y?) ? ez ( z ? z?) ?x ?y ?z R R R

??

1 r ? r? R ? ? ? ? ? e ( x ? x ) ? e ( y ? y ) ? e ( z ? z ) ? ? ? ? ? ?eR ? ??R x y z ? ? R R R
4

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计算r的梯度
? r ? ex ?r ?r ?r ? ey ? ez ?x ?y ?z

场源点

R

场点(观察点)

r?
o 坐标原点

r

r ? x2 ? y 2 ? z 2

?r 1 2 x ? ( x ? y 2 ? z 2 )?1 2 ? 2 x ? ?x 2 r

同理可得:

?r y ? , ?y r

?r z ? ?z r

故得到: ?r ? ex x ? ey y ? ez z ? 1 (ex x ? ey y ? ez z ) ? r ? er
r r r r r

容易证明: ??r ? ex

?r ?r ?r ? ey ? ez ?0 ?x? ?y? ?z?

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计算r'的梯度
??r ? ? ex ?r ? ?r ? ?r ? ? ey ? ez ?x? ?y? ?z?

场源点

R

场点(观察点)

r?
o 坐标原点

r

r? ? x?2 ? y?2 ? z?2

?r? 1 2 x? ? ( x? ? y?2 ? z?2 )?1 2 ? 2 x? ? ?x? 2 r?

同理可得:

?r ? y? ? , ?y? r ?

?r ? z? ? ?z? r ?

故得到:

??r? ? ex

x? y? z? 1 r? ? ey ? ez ? (ex x? ? ey y? ? ez z?) ? ? er? r? r? r? r? r?
?r ? ?r ? ?r ? ? ey ? ez ?0 ?x ?y ?z

容易证明: ?r ? ? ex

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计算 r 的散度
??r ? ?? ? r ? ?x ?y ?z ? ? ?3 ?x ?y ?z ?x ?y ?z ? ? ?0 ?x? ?y? ?z?

场源点

R

场点(观察点)

r?
o 坐标原点

r

r ? ex x ? e y y ? e z z r ? ? e x x? ? e y y ? ? e z z ?

计算 r ? 的散度
?x? ?y? ?z? ?? ? r ? ? ? ? ?3 ?x? ?y? ?z? ? ? r? ? ?x? ?y? ?z? ? ? ?0 ?x ?y ?z

计算 R 的散度
? ? R ? ? ? (r ? r ?) ? ? ? r ? ? ? r ? ? 3 ? 0 ? 3

?? ? R ? ?? ? (r ? r ?) ? ?? ? r ? ?? ? r ? ? 0 ? 3 ? ?3

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计算 r 的旋度
ex ? ??r ? ?x x ex ?? ? r ? ? ?x? x ey ? ?y y ey ? ?y? y ez ? ?0 ?z z ez ? ?0 ? ?z z

场源点

R

场点(观察点)

r?
o 坐标原点

r

r ? ex x ? e y y ? e z z r ? ? e x x? ? e y y ? ? e z z ?

ex ?? ? r ? ? ? ?x? x? ex

ey ? ?y? y? ey ? ?y y?

ez ? ?0 ?z? z? ez ? ?0 ?z z?
8

计算 r ? 的旋度
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? ? r? ?

? ?x x?

计算 R 的旋度

场源点

R

场点(观察点)

r?
o 坐标原点
? ? R ? ? ? (r ? r ?) ? ? ? r ? ? ? r ? ? 0

r

r ? ex x ? e y y ? e z z r ? ? e x x? ? e y y ? ? e z z ?
??r ? 0 ?? r? ? 0 ?? ? r ? 0 ?? ? r ? ? 0

?? ? R ? ?? ? (r ? r ?) ? ?? ? r ? ?? ? r ? ? 0

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2 二阶微分运算
将算符?作用于梯度、散度和旋度,则称为二阶微分运算。

(1)关于散度和旋度的几个重要定理
(Ⅰ)标量场的梯度必定为无旋场,即

???? ? 0
f ? ??
? ??? f ? 0

(Ⅱ)(逆定理)反之,无旋场可表示为一个标量场的梯度。 若

?? f ? 0



(Ⅲ) 矢量场的旋度必定为无源场(无散场),即

(Ⅳ) (逆定理)无源场(无散场)可表示为一个矢量场的旋度,即 若

?? f ? 0



f ? ?? A
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(Ⅰ)、标量场的梯度必定为无旋场,即

???? ? 0
? ? ? ? ? ex ? ey ? ez ?x ?y ?z
?? ? ex ?? ?? ?? ? ey ? ez ?x ?y ?z

证明:

ex ? ? ?x ?? ?x

ey ? ?y ?? ?y

ez ? ?z ?? ?z

? ? (?? )

? ? 2? ? 2? ? ? ? 2? ? 2? ? ? ? 2? ? 2? ? ? ex ? ? ? ? ? ? ey ? ? ? ez ? ? ? z ? y ? y ? z ? x ? z ? z ? x ? y ? x ? x ? y ? ? ? ? ? ? ?0

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(Ⅲ)矢量场的旋度必定为无源场(无散场),即 ? ? ? ? f ? 0

证明:

ex

ey ? ?y fy

ez ? ?z fz

? ? ? ? ? ? ? ? (? ? f ) ? ? ex ? ey ? ez ? ? ?y ?z ? ?x ? ?x fx

? ? ?f z ?f y ? ? ? ?f x ?f z ? ? ? ?f y ?f x ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ?x ? ?y ?z ? ?y ? ?z ?x ? ?z ? ?x ?y ? 2 ?2 f y ?2 fx ?2 fz ? f y ?2 fx ?2 fz ? ? ? ? ? ? ?y?x ?z?x ?z?y ?x?y ?x?z ?y?z ?0

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? 算符运算公式 ? 代表标量场,g , f 代表矢量场 设 ?,
?(?? ) ? ??? ? ???
(a)

?? (? f ) ? ??? f ? ?? ? f
? ? (? f ) ? ?? ? f ? ?? ? f

(b)
(c) (d) (e) (f)

?? ( f ? g ) ? g ? (?? f ) ? f ? (?? g )

?? ( f ? g ) ? ( g ??) f ? (?? g) f ? ( f ??) g ? (?? f ) g
?( g ? f ) ? f ? (?? g ) ? ( f ??) g ? g ? (?? f ) ? ( g ??) f

?? (?? ) ? ?2? ? ??

(g)
(h)

? ? (? ? f ) ? ?(? ? f ) ? ? 2 f

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公式(a)

?(?? ) ? ??? ? ???
?(?? ) ? ex

? ? ex

? ? ? ? ey ? ez ?x ?y ?z

证 明

? ? ? (?? ) ? ey (?? ) ? ez (?? ) ?x ?y ?z

? ex (?

?? ?? ?? ?? ?? ) ? e y (? ?? ) ?x ?x ?y ?y ?? ?? ? ez (? ?? ) ?z ?z
?? ?? ?? ?? ?? ?? ? ey ? ez ) ? ? (ex ? ey ? ez ) ?x ?y ?z ?x ?y ?z

? ? (ex

? ??? ? ???



?(?? ) ? ??? ????

也可以这样简洁地推演

?(?? ) ? ?? (?? ) ? ?? (?? ) ? ??? (? ) ? ??? (? ) ? ??? ? ???
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公式(b) 证明

?? (? f ) ? ??? f ? ?? ? f

? ? ex

? ? ? ? ey ? ez ?x ?y ?z

? ? (? f ) ? ?? ? (? f ) ? ? f ? (? f ) ? ??? ? f ? ?? f ? f ? ?? ? f ? ?? ? f

公式(c) 证明

? ? (? f ) ? ?? ? f ? ?? ? f

? ? (? f ) ? ?? ? (? f ) ? ? f ? (? f ) ? ??? ? f ? ?? f ? f ? ?? ? f ? ?? ? f

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公式(d)

?? ( f ? g ) ? g ? (?? f ) ? f ? (?? g )

证明

? ? ( f ? g) ? ? f ? ( f ? g) ? ?g ? ( f ? g)



a ? (b ? c ) ? (a ? b ) ? c ? c ? (a ? b )
? f ? ( f ? g ) ? (? f ? f ) ? g ? g ? (?? f ) ? g ? ( f ? g ) ? ?? g ? ( g ? f ) ? ?(? g ? g ) ? f ? ? f ? (?? g )

故有:
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? ? ( f ? g ) ? g ? (?? f ) ? f ? (?? g )
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公式(e)
证明 据

?? ( f ? g ) ? ( g ??) f ? (?? g) f ? ( f ??) g ? (?? f ) g
? ? ( f ? g) ? ? f ? ( f ? g) ? ?g ? ( f ? g)

a ? (b ? c ) ? (a ? c )b ? (a ? b )c ? (c ? a)b ? (b ? a)c
? f ? ( f ? g ) ? ( g ?? f ) f ? (? f ? f ) g ? ( g ??) f ? (? ? f ) g

? g ? ( f ? g ) ? (? g ? g ) f ? ( f ?? g ) g ? (?? g ) f ? ( f ??) g
?? ( f ? g ) ? ( g ??) f ? (?? g) f ? ( f ??) g ? (?? f ) g

故有:

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公式(f) 证明

?( g ? f ) ? f ? (?? g ) ? ( f ??) g ? g ? (?? f ) ? ( g ??) f

?( f ? g ) ? ? f ( f ? g ) ? ? g ( f ? g )
g ? (? ? f ) ? ? f ( g ? f ) ? ( g ??) f ? ? f ( f ? g ) ? ( g ??) f

?

? f ( f ? g ) ? g ? (? ? f ) ? ( g ??) f

同理
?

f ? (?? g ) ? ? g ( f ? g ) ? ( f ??) g ? g ( f ? g ) ? f ? (?? g ) ? ( f ??) g

故有

?( f ? g ) ? f ? (?? g ) ? ( f ??) g ? g ? (?? f ) ? ( g ??) f
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公式(g)

标量场的梯度的散度为 ?? (?? ) ? ?2? ? ??

证明 ? ? (?? ) ?

? ?? ? ?? ? ?? ( )? ( )? ( ) ?x ?x ?y ?y ?z ?z

? 2? ? 2? ? 2? ?2 ?2 ?2 ? 2 ? 2 ? 2 ? ( 2 ? 2 ? 2 )? ?x ?y ?z ?x ?y ?z ? ??

?2 ?2 ?2 ? ? 2 ? 2 ? 2 叫做拉普拉斯算子, ? 读作Laplacian ?x ?y ?z
公式(h)
证明
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2 ? ? ( ? ? f ) ? ? ( ? ? f ) ? ? f 矢量场的旋度的旋度为

? ? (? ? f ) ? (? ? f )? ? (? ??) f ? ?(? ? f ) ? ? 2 f
19

?? eR ? ?
?

场源点

R

场点(观察点)

1 ? 1 ? 1 ? 1 ? ex ? ey ? ez R ?x R ?y R ?z R o 坐标原点

r?

r

R ? [( x ? x?)2 ? ( y ? y?) 2 ? ( z ? z?) 2 ]1 2

? 1 ? ?1 1 1 ?2 ? 2 2 2 ?1 2 ? R ? ?R R?? 2 ? ( x ? x?) ? ( y ? y?) ? ( z ? z?) ? ? 2( x ? x?) ? ? ?x R ?x ?x R 2 ? 1 ( x ? x?) ? 1 ( y ? y?) ? 1 ( z ? z?) ?? ? ? ? ? ?x R R3 ?y R R3 ?z R R3
? 1 1 R ? ? 3 [ex ( x ? x?) ? ey ( y ? y?) ? ez ( z ? z?)] ? ? 3 R R R

R 1 1 1 R 3 R2 3 2 ? ? eR ? ? ? ? ? ? ( R) ? (? ) ? R ? ? ? R ? ? 3 ? R ? ? ? 3 ? ? R R R R R R R R R
同理可以推出
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2 ? ? er ? r
20

du ?u 对于时变标量场 u ? u ( x, y, z, t ), 、 的区别是什么? dt ?t d u ?u d x ?u d y ?u d z ?u d t ?u ? ? ? ? ? ? 因为 d t ?x d t ?y d t ?z d t ?t d t ?t ?u ?u ?u dx dy dz (ex ? ey ? ez ) ? (ex ? ey ? ez ) ?x ?y ?z dt dt dt
?
所以

?u ?u ? ?u ? v = ? v ??u ?t ?t

d u ?u = ? v ??u d t ?t

?u d u ?u 其中 v 是场点移动的速度。场点不动时, = 。所以 是 ?t d t ?t du 不动的场点处标量场u随时间的变化率(增加率),而 是移 dt 动的场点处标量场u随时间的变化率(增加率)。
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? (e y f y ) ?(ex f x ) ? (e f ) [ ? ( v ??)(ex f x )] ? [ ? ( v ??)(ey f y )] ? [ z z ? ( v ??)(ez f z )] ?t ?t ?t ? ?f ? (ex f x ? ey f y ? ez f z ) ? ( v ??)(ex f x ? ey f y ? ez f z ) ? ? ( v ??) f ?t ?t d f ?f d f ?f ? ? ( v ?? ) f 采用张量,则 所以 ? ? v ??f d t ?t d t ?t ? ? ? ( v ?? ) f ? [( e v ? e v ? e v ) ? ( e ? e ? e )] f 其中 x x y y z z x y z ?x ?y ?z ? ? ? ?f ?f ?f ? ( vx ? v y ? vz ) f ? vx ? vy ? vz ?x ?y ?z ?x ?y ?z 22 大理大学工程学院 罗凌霄编写

df ?f 、 对于时变矢量场 f ? f ( x, y, z , t ), 的关系 dt ?t d fy d fx d fz df d 因为 ? (ex f x ? ey f y ? ez f z ) ? ex ? ey ? ez dt dt dt dt dt ?f y ?f x ?f z ? ex ( ? v ??f x ) ? ey ( ? v ??f y ) ? ez ( ? v ??f z ) ? ?t ?t ?t


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