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高中物理竞赛《磁场》内容讲解

时间:2011-02-18


奥林匹克物理竞赛辅导《磁场》

磁 一、恒定电流的磁场
1、直线电流的磁场



通有电流强度为 I 的无限长直导线,距导线为 R 处的磁感应强度为: B 度为 I 的有限长直导线为 R 处的 P 点的磁感应强度为:

=

?0I ;如下图距通有电流强 2πR

B=

?0 I (cos α + cos β ) ----------------------------------① 4πR

若 P 点在通电直导线的延长线上,则 R=0 下变换

α=0

β=π

无法直接应用上述式子计算,可进行如

1 1 d 1 d 2 sin(α + β ) = lR 2 2
上式中 d 1 、 d 2 分别为 P 点到 A、B 的距离, l 为直导线的长度

所以: R

=

d 1d 2 sin(α + β ) l

代入①式得: B

=

? 0 Il cos α + cos β 4πd1 d 2 sin(α + β )
cos sin

cos α + cos β 令y= = sin(α + β )
将α=0 β=π代入上式得

2 cos 2 sin

α+β α+β
2 2

cos cos

α ?β α+β
2 2 =

α?β α+β
2 2

y=0
=0

所以:在通电直导线的延长线上任意一点的磁感应强度为 B

2、微小电流元产生的磁场

微小电流元的磁场,根据直线电流的磁场公式 B

=

?0 I (cos α + cos β ) 得: 4π r

第1页

奥林匹克物理竞赛辅导《磁场》 Ⅰ若 α 、 β 都是锐角,如左图,有:

B=

?0 I ? I (cos α + cos β ) = 0 (sin ?θ 1 + sin ?θ 2 ) 4π r 4π r
→ 0 ,所以 B =

因 ?θ 1 、 ?θ 2

?0 I ? I (sin ?θ 1 + sin ?θ 2 ) ≈ 0 (?θ 1 + ?θ 2 ) 4π r 4π r

所以: B

=

?0 I ?θ 4π r

Ⅱ若 α 、 β 中有一个是钝角,如 β (右图) ,则:

B=

?0 I ? I (cos α + cos β ) = 0 [sin(?θ + θ 0 ) ? sin θ 0 ] -------------① 4π d 4π r cos θ 0

sin(?θ + θ 0 ) ? sin θ 0 = sin ?θ cos θ 0 + cos ?θ sin θ 0 ? sin θ 0
因 ?θ

→ 0 ,所以:

sin(?θ + θ 0 ) ? sin θ 0 ≈ sin ?θ cos θ 0 ≈ ?θ cos θ 0 --------------------------------②
②式代入①式得: B

=

?0 I ?θ 4π r
=

总上所述, 电流元 I 在空间某点产生的磁场为:B 为电流元端点与该点连线张开的角度。

?0 I ?θ 4π r

, 式中 r 为电流元到该点的距离,?θ

3、环形电流的磁场

半径为 R 的圆环通有电流 I,则 Ⅰ、环心处的磁场: B

=∑

? I ? I ?0 I ?θ = 0 ∑ ?θ = 0 4πR 4πR 2R
第2页

奥林匹克物理竞赛辅导《磁场》 Ⅱ、在垂直于环面的轴线上,距环心为 x 处的磁场:

B = ∑ Bi sin α =∑

? I sin α ?0I ?θ sin α = 0 4πr 4πr

∑ ?θ ------------①

r = R2 + x2
sin α = R

----------------------------------------------------------------②

R2 + x2 2πR = r

----------------------------------------------------------③

∑ ?θ =

2πR R2 + x2
=

-----------------------------------------------④

将②③④代入①得: B

? 0 IR 2
2( R + x )
2 2 3 2

结论:半径为 R 的金属园环,其内通有电流 I,则在过环心垂直于园环面的直线上与环心距离为 x 的一点,磁感应强度为: B

=

? 0 IR 2
3

2( x 2 + R 2 ) 2
若x

= 0 ,即环心处的磁感应强度为: B =

?0I
2R

4、磁极子在轴线上距其中心为 x 的点产生的磁场为: B =

? 0 pm 2πx 3

磁极子在平行与其平面距中心为 x 的点产生的磁场,以边长为 L、通电电流为 I 的磁极子为例:

B=
因x

?0I ? I ?θ ?θ L ?θ ( ? )= 0 2 4π x ? 0.5 L x + 0.5 L 4π x ? 0.25 L2
>> L ,所以, ?θ ≈

L ? 0 pm ,代入上式,并略去二级无穷小量,得: B = x 4πx 3
p 点距磁极子距离为 x ,p 点与磁极子中心连线与磁极子轴线成 θ 角,

以上结论可推广到其它磁极子。 有一磁极子,磁矩为 求 p 点的磁场 根据磁极子在轴线上和在平行与其平面的某点产生的磁场公式可得 p 点磁场的两个分量分别为: 第3页

pm ,

奥林匹克物理竞赛辅导《磁场》

Bx =

? 0 p m cos θ 2π ? x 3
2 2

By =

? 0 p m sin θ 4π ? x 3

B = Bx + B y =

? 0 pm sin 2 θ + 4 cos 2 θ 3 4π ? x

5、无限长直螺线管的电流的磁场
若无限长直螺线管单位长度的匝数为 n,通有电流 I,则螺线管内部的磁感应强度 B1、螺线管端口的 磁感应强度 B2 分别为:

B1 = ? 0 nI
的顶点的磁感应强度

B2 =

1 ? 0 nI 2

例 1、水平放置的边长为 L 的正三角形导线框内通有恒定电流 I,求以该正三角形为底面的正四面体

例 2、边长为 L 的正方形线圈通有电流 I,求 (1)正方形中心处的磁感应强度为多少? (2)过正方形中心垂直于线圈平面的轴线上一点 P 距正方形中心为 x,P 点的磁感应强度为多少? 若 x>>L,求 P 点的磁感应强度的近似值。

例 3、对磁现象的成功解释最早是由安培提出来的,按照安培的计算,长直细导线通过恒定电流 I, 并被弯成“V”形,半张角为α,如图所示。在“V”形导线包围面以外对称轴上的 P 点(OP=d)的磁感 应强度 B 的大小正比于 tan (1)

α
2

。安培的研究后来被总结到麦克斯韦电磁理论中而被普遍接受。求

P 点的磁感应强度 B 的方向 第4页

奥林匹克物理竞赛辅导《磁场》 (2) (3) 按照安培的研究,P 点的磁感应强度 B 的大小为: B

= k tan

α
2

,k

=?

p/点是对称轴上与 P 点关于顶点 O 对称的点,P/点的磁感应强度的大小为多少?

例 4、有一无限长的金属圆筒,今在圆筒中沿轴线方向通入均匀电流,试证明在筒内任意一点的磁感 应强度都为零。

例 5、在半径为 R 的木球上紧密的绕有细导线,相邻线圈可认为相互平行,以单层盖住半个球面, 如图所示。导线中通有电流 I,线圈总匝数为 N,试按以下两种情况求球心处的磁感应强度。 (1) (2) 线圈沿球的半径方向均匀分布 线圈沿球的弧面方向均匀分布

第5页

奥林匹克物理竞赛辅导《磁场》 例 6、一根很长的直长铜导线,载有电流 I,导线的横截面半径为 R,在导线内以轴线为边界,沿半 径方向做一个平面 S,如图所示。求通过每米导线内 S 平面的磁通量。

例 7、 (1)电流均匀地通过宽为 2d 的无限长平面导体薄板,电流强度为 I。通过板的中心并与板面垂 直的直线上有一点 P,P 到板的距离为 x,不计板的厚度,求 P 点的磁感应强度。 (2)无限大的导体平面,以面电流密度 i 均匀通有电流,求空间一点的磁感应强度。 (3)厚度为 2d 的无限大导体平板,电流密度为

j ,求空间一点的磁感应强度。

例 8、如图所示,一半径为 R 的无限长半圆柱面导体,其上电流与其轴线上一无限长直导线的电流 等值同向,电流强度为 I,均匀分布。求 (1) (2) 轴线上直导线单位长度所受的力 若用另一无限长直导线(通有与半圆柱面导体相同的电流)代替半圆柱面导体,产生同样 的作用力,该导线应放在何处?

第6页

奥林匹克物理竞赛辅导《磁场》 例 9、将一均匀分布着面电流的无限大载流平面放入均匀磁场中,平面中电流方向垂直于纸面向里。 已知平面两侧的磁感应强度分别为 B1、B2,如图所示。求该载流平面上单位面积所受的磁场力的大小和 方向。

例 10、在半径为 R 的无限长均匀金属圆柱体内平行于轴线挖去一半径为 r 的无限长圆柱体,两圆柱 体轴线间距离为 a,今在此空心导体中沿轴线通一均匀电流 I,求空心部分的轴线上任意一点的磁感应强 度。

例 11、真空中有一个无限长的薄壁导体圆筒,截面半径为 R,通以均匀恒定的电流 I,将其沿轴线切 成两半,分开一极小距离,设电流分布不变,试求其中一部分上 L 长度的电流受到的安培力。

例 12、半径为 R 载有电流 I1 的导体圆环与载有电流 I2 的无限长直导线 AB 共面。AB 通过圆环的铅 直直径且与圆环彼此绝缘。求圆环所受的力。

第7页

奥林匹克物理竞赛辅导《磁场》 例 13、 (1)如图所示,两个完全相同的导体环 A、B 的中心都在 Z 轴(竖直方向)上,两环面平行 且水平,分别位于 Z=±h 的平面,为使两环相互排斥,它们通的电流方向相同还是相反? (2) 一个通有电流的导体园环, 能够不用任何机械的情况下飘浮在水平的超导平面之上。 假设平面 Z=0 就是一个水平的超导平面,A 是一个通有电流的导体园环,它的质量为 m,半径为 r(r>>h) ,求 A 平衡 时距离超导平面的距离。 (3)如果 A 环在竖直方向上微振动,求其振动周期。

例 14、长同为 L、质量同为 m 的两根细长匀质导体棒,与两根自由长度同为 l0(l0<<L) 、劲度系数 同为 k 的轻质金属弹簧连接成如图所示的系统,并将该系统放在光滑绝缘的水平面上,设法使系统内通 有稳恒电流 I,在两棒达平衡状态后将它们各自左右对称的稍稍偏离平衡位置, 而后两棒将对称的在各自平 衡位置两侧附近振动,试求其振动周期。

第8页

奥林匹克物理竞赛辅导《磁场》 例 15、将截面半径为 r=9.85cm 的铜管插进另一个截面半径为 R=10cm 的等长的铜管中,两管之间留 有均匀的 d=1.5mm 的缝隙,在缝隙中充满变压器油,油的相对介电常数为ε=5。两管的轴水平,并垂直 于磁子午线,细铜管内有一小磁针,它可以在水平面内自由旋转。两铜管构成的电容器用静电机充电至 30kV,外管开始以 f=50r/s 的转速匀速转动,求磁针偏离磁子午面的角度。已知地磁场的水平分量为 Bz=2 ×10-5T,真空中的磁导率与介电常数之积满足: ε 0 ? 0

=

1 c2

, c 为光速,该问题中认为铜管长度远大

于其半径,两铜管构成的电容器可近似使用平行板电容器公式。

二、带电粒子在磁场中的运动 (一)用运动分解法解决带电粒子在磁场中的运动问题
例 1、如图所示,光滑绝缘水平面上,有一质量 m,带电量为+q 的小球,该空间有场强为 E 水平向 右的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场,磁感强度为 B.现将小球由静止释放,求小球运动中的最大速 率。

第9页

奥林匹克物理竞赛辅导《磁场》 例 2、如图所示,磁感强度为 B 的水平匀强磁场的上边界为水平线 MN,边界线 MN 以下磁场分布 范围较宽, 今有一质量为 m、 带电量为 q 的正电粒子以速度υ0 竖直向下射入磁场中, 粒子重力不可忽略, 求粒子向下运动的最大距离及粒子从磁场中飞出点与入射点之间的距离。

例 3、如图所示,在真空中建立一坐标系 xoy - z , x 轴正方向水平向右, y 轴正方向竖直向下, z 轴正方向垂直于纸面向里,在 0

≤ y ≤ L 的区域内有沿 z

轴正方向的匀强磁场,

L = 0 .8 m ,

q = 50C / kg 的带正电质点在 x = 0 、 y = ?0.20m 、 z = 0 处由 m 静止释放,将带电质点经过原点的时刻定为 t = 0 的时刻,求带电质点在磁场中任一时刻 t 的位置坐标,
B = 0.1T 。今把一何质比 k =
并求它刚离开磁场时的位置和速度。取 g

= 10m / s 2

第 10 页

奥林匹克物理竞赛辅导《磁场》 例 4、如图所示,磁感强度为 B 的匀强磁场有一水平的上边界,质量为 m、带电量为+q 的微粒(重 力不能忽略)从边界上 O 点以与边界成θ角方向,大小为υ0 的速度斜向上射出,微粒运动一段时间后恰 好经过边界上的 P 点,已知 OP=L,试讨论物理量 m、q、B、υ0 应满足的条件。

(二)综合性问题 例 1、如图所示,在一磁感强度为 B 的无限大的匀强磁场中,一个粒子质量为 m、电量为-q,在匀强 磁场中运动,这个粒子在运动过程中受到大小恒为 F 的阻力作用。现在从 y 轴上 P 点沿 x 轴正方向发射 这个粒子,初速度大小为υ0,不计重力,设 OP= (1)粒子发射后作什么运动? (2)粒子的这种运动可用一种什么样的力学模型来模拟? 第 11 页

mv0 qB

,问 :

奥林匹克物理竞赛辅导《磁场》 (3)若粒子的初速度为 v 0

=

F 2π ( 3+ ) ,求粒子从发射到第一次到达 x 轴的时间和位置。 qB 3

例 2(15 届决赛) 、如图所示,在半径为 R 的圆形平面内分布有匀强磁场,磁场方向与圆面垂直且指 向纸外,圆面的周界是一刚性的圆环。SD 是圆环的一条直径,一束质量和电量都相等的带正电的粒子以 不同的速度沿垂直于磁场的方向从 S 点射入磁场,速度方向与 SD 的夹角不超过 300,粒子的重力不计。 已知这种粒子在该磁场中做匀速圆周运动的周期为 T. 在 D 点圆环上有一小孔,只要粒子到达 D 点,该 粒子就从小孔穿出磁场区域。设粒子与圆环的碰撞为完全弹性的,每次碰撞后粒子的电量都不变,不考 虑粒子间的相互作用与相互碰撞。求满足以下条件的那些粒子在射入磁场时的速度的大小和方向。粒子 在磁场内运动的总时间为 T 且与圆环的碰撞不超过 6 次,其中最后一次“碰撞”是正好到达 D 点。

第 12 页

奥林匹克物理竞赛辅导《磁场》 例 3、 (16 届决赛)围绕地球周围的磁场是两极强,中间弱的空间分布。1958 年,范·阿伦通过人 造卫星搜集到的资料研究了带电粒子在地球磁场空间中的运动情况后,得出了在距地面几千公里和几万 公里的高空存在着电磁辐射带(范·阿伦辐射带)的结论。有人在实验室中通过实验装置形成了如图所 示的磁场分布区域 MM/,在该区域中,沿 z 轴从左到右由强变弱再变强,对称轴为 PP/。已知 z 轴上 O 点的磁感应强度大小为 B0,两端的磁感应强度大小为 BM,现有一束质量均为 m、电量均为 q、速度大小 均为υ0 的不计重力的粒子,在 O 点以与 z 轴成不同的投射角α向右半空间发射。设磁场足够强,粒子只 能在由紧邻 z 轴的磁感线围成的截面积很小的“磁力管”内运动。试分析说明具有不同的投射角α的粒 子在磁场区域的运动情况。 提示:在理论上可以证明:在细“磁力管”的管壁上粒子垂直磁场方向的速度 v ⊥ 的平方与“磁力 管”轴上的磁感应强度的大小 B 之比为一常数。

第 13 页

奥林匹克物理竞赛辅导《磁场》 例 4、如图所示,S 为一粒子发射源,它均匀地向各个方向持续发射质量为 m、电量为 q 的正粒子 (不计重力) ,发射速率恒为υ0,在发射源 S 的旁边有一半径为 R 的圆屏,沿 SO 方向加一磁感强度为 B 的匀强磁场, 发射源到圆屏的垂线恰好过圆屏的中心, 则打在圆屏上的粒子占总发射粒子的比例是多少?

例 5、空间有半径为 R、长度 L 很短的圆柱形磁场区域,圆柱形的轴为 x 轴,磁场中任意一点的磁 感应强度都与到 x 轴的距离 r 成正比,即 B=kr,k 为常数。磁场关于 x 轴有轴对称性,磁感线是以 x 轴 为中心的圆形。一簇质量为 m、电量为 q 的正粒子(不计重力) ,以平行于 x 轴的很大的速度υ穿过该磁 场。试分析粒子穿过磁场后的运动情况。

例 6、在云室中,有如图所示方向的匀强磁场,一质子在其内做半径为 r1 的匀速圆周运动。现有一 未知粒子沿 x 轴方向进入云室,并与质子发生完全弹性碰撞,碰后未知粒子朝与 x 轴、y 轴均成 450 角方 向做匀速直线运动,质子则绕半径 r2 的新轨道做匀速圆周运动,且 r1 和 r2 恰成黄金分割,问未知粒子是 什么?

第 14 页

奥林匹克物理竞赛辅导《磁场》 例 7、在 xyz 坐标系中,质量为 m、电量为-q 的不计重力的带负电粒子,从坐标原点 O 以速度υ射 出,υ的方向在 yOz 平面内,与 y 轴正向成 300 角,如图所示。要使粒子经过点 A(a、0、a) ,空间存在 沿 OA 方向的匀强磁场,求磁感应强度的大小。

例 8、 一不计重力的带电粒子, 以一定速度射入某一区域, 粒子受到的空气阻力大小与其速度成正比, 粒子停止运动前运动的距离为 10cm,保持粒子的初速度不变,在该区域垂直于粒子运动方向加一匀强磁 场,结果,粒子停止运动时与入射点相距 6cm,若把磁感强度的大小减小为原来的一半,其它条件不变, 则粒子停止运动时与入射点相距多远?

第 15 页

奥林匹克物理竞赛辅导《磁场》 例 9、如图所示,一窄束单能(动能为定值)氩离子通过一扇形匀强磁场,图中 ? 线在进出磁场时离子束的轴线都与磁场的边界垂直。求质量数为 m1 束的发散角。

= 60 0 ,此束射

= 36 和 m2 = 40 的氩同位素离子

第 16 页


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