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1.1.5必修一第一章--集合与函数小结(2)--高一上学期教案

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高一数学教案

高一数学组

课题:§1.5 第一章-集合与函数小结(2)
12、函数的奇偶性: (1) 奇函数: f

? ?x ? ? ? f ? x ?

(2) 偶函数: f

? ?x? ? f ? x? ? f ( x ) ? f (? x )

注意:①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性 ②由于任意 x 和 ?x 均要在定义域内,故奇(偶)函数的定义域一定关于原点对称.所以 我们在判定函数的奇偶性时,首先要确定函数的定义域是否关于原点对称 ③若奇函数的定义域中有零,则其函数图象必过原点,即 f (0) ? 0 . ④函数的单调性是对区间而言,它是“局部”性质;而函数的奇偶性是对整个定义域而言 的,它是“整体”性质 ⑤偶函数在对称区间上的单调性相反,奇函数在对称区间上的单调性相同。 (3)证明和判断函数奇偶性的方法步骤: 利用定义判断函数奇偶性的一般步骤: ① 首先确定函数的定义域,并判断其定义域是否关于原点对称; ② ②确定 f (? x)与f ( x)的关系 ; ③作出相应结论: 若 f (? x) ? f ( x)或f (? x) ? f ( x) ? 0, 则f ( x)是偶函数 ; 若 f (? x) ? ? f ( x)或f (? x) ? f ( x) ? 0, 则f ( x)是奇函数 . (4)奇偶函数图象的性质特点:偶函数的图象关于 y 轴对称;奇函数的图象关于原点对 称. (5)函数 f ( x ? a) 为奇函数可推得: (6)函数 f ( x ? a) 为偶函数可推得: (7)两个函数的定义域的交集非空,则有奇函数与偶函数的乘积是奇函数,奇函数与奇 函数的成绩是偶函数,偶函数与偶函数的乘积是偶函数。 13、函数的图象及其变换、对称性、双对称以及函数的周期性: (1)函数的轴对称: 定理 1: 如果函数 y ? f ? x ? 满足 f ? a ? x ? ? f ?b ? x ? , 则函数 y ? f ? x ? 的图象关于直 线x?

a?b 对称. 2

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推论 1:如果函数 y ? f ? x ? 满足 f ? a ? x ? ? f ? a ? x ? ,则函数 y ? f ? x ? 的图象关于直 线 x ? a 对称. 推论 2: 如果函数 y ? f ? x ? 满足 f ? x ? ? f ? ?x ? , 则函数 y ? f ? x ? 的图象关于直线 x ? 0 (y 轴)对称.特别地,推论 2 就是偶函数的定义和性质.它是上述定理 1 的简化. (2)函数的点对称: 定理 2:如果函数 y ? f ? x ? 满足 f ? a ? x ? ? f ? a ? x ? ? 2b ,则函数 y ? f ? x ? 的图象关 于点 ? a, b ? 对称. 推论 3:如果函数 y ? f ? x ? 满足 f ? a ? x ? ? f ? a ? x ? ? 0 ,则函数 y ? f ? x ? 的图象关于 点 ? a, 0 ? 对称. 推论 4:如果函数 y ? f ? x ? 满足 f ? x ? ? f ? ?x ? ? 0 ,则函数 y ? f ? x ? 的图象关于原点

? 0, 0 ? 对称.特别地,推论 4 就是奇函数的定义和性质.它是上述定理 2 的简化.
(3)函数周期性的性质: 定理 3:若函数 f ? x ? 在 R 上满足 f (a ? x) ? f ? a ? x ? ,且 f (b ? x) ? f ?b ? x ? (其中

a ? b) ,则函数 y ? f ? x ? 以 2 ? a ? b ? 为周期.
定理 4:若函数 f ? x ? 在 R 上满足 f (a ? x) ? ? f ? a ? x ? ,且 f (b ? x) ? ? f ?b ? x ? (其 中a ? b) ,则函数 y ? f ? x ? 以 2 ? a ? b ? 为周期. 定理 5:若函数 f ? x ? 在 R 上满足 f (a ? x) ? f ? a ? x ? ,且 f (b ? x) ? ? f ?b ? x ? (其中

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a ? b) ,则函数 y ? f ? x ? 以 4 ? a ? b ? 为周期.


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