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浙江省杭州市2014届高三数学命题比赛(12)文

时间:2014-09-08


浙江省杭州市 2014 届高三数学命题比赛(12)文
试卷命题双向细目表 选择题 知识内容 题 次 2,3 分 值 10 填空题 题 次 分 值 解答题 题 次 分 值 考 内 查 容 总 分 值 10 难度 系数

集合、 简易逻辑

集合的运算 充分必要条件 15 16 8 4 基本不等式 线性规划 函数图像性质 求导及应用

0.9+0.7

不等式 函数与方程 9 5

8 9 15

0.6+0.5 0.8+0.6 0.4

14

导数及应用 三角函数

21 18

15 14 图像与性质 解三角形 基向量思想 向量几何意义 19 0.6+0.7

平面向量 数列

8

5

17 11

4 4 19 14

4 18

0.8+0.6 0.95+.0 .6 0.5+0.6 0.6+0.6

等比等差数列 数列求和 三视图、线面 位置、线面角

立体几何

5,6, 15 7

20

14

24

解析几何

10

5

22

15

直线与圆锥曲线

24

0.6+0.5

概率与统计 算法初步 复数 小结

4

5

13 12

4 4

概率,统计 程序框图 复数概念

9 4 5 150

0.9 0.8 0.95 0.7

1 10 题

5 50 分 7题 28 分 5题 72 分

高中数学

2014 年高考模拟试卷文科数学卷 (本卷满分 150 分 考试时间 120 分钟 ) 选择题部分 (共 50 分) 参考公式:
1

球的表面积公式 柱体的体积公式 S=4π R2 V=Sh 球的体积公式 其中 S 表示柱体的底面积,h 表示柱体的高 4 V= 3 π R3 台体的体积公式

1 SS 其中 R 表示球的半径 V= 3 h(S1+ 1 2 +S2) 锥体的体积公式 其中 S1, S2 分别表示台体的上、下底面积, 1 V= 3 Sh h 表示台体的高
其中 S 表示锥体的底面积,h 表示锥体的高 P(A+B)=P(A)+P(B) 如果事件 A,B 互斥,那么

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中 ,只有一项 是符合题目要求的。

z1 ? a ? i, z2 ? a ? i, 若
1、 (原创)已知 i 是虚数单位,若 A.-1 B.0 C.1 D.1 或-l

z1 z2 为纯虚数,则实数 a=

(

)

2 、( 原 题 ) 若 集 合 ( ) A. {x | 1 ? x ? 3}

A ? ?x x 2 ? 4x ? 3 ? 0

?

,

B ? ?x1 ? x ? 2?

, 则 A? B 为

B. {x | 1 ? x ? 2}

C. {x | 2 ? x ? 3} D. {x | x ? 1}

M ? {x |
(改编)已知集合 ( A C )

1 ? 2 x ? 4}, N ? {x | x ? k ? 0}, 若M 2

N ??
,则 k 的取值范围是

[2, ??)
D

B

(2, ??)

(??, ?1)

(??, ?1]

3 、( 原 题 ) 已 知 a , b 是 实 数 , 则 “ | a ? b |?| a | ? | b | ” 是 “ ab ? 0 ” 的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ( ) )

(改编)已知 a , b 是实数,则“ | a ? b |?| a | ? | b | ”是“ ab ? 0 ”的

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 4、 (原题)抛掷一枚骰子两次,两次的点数之和是奇数的概率为 (

2

1 A. 6

1 B. 2

1 C. 3

1 D. 4


(改编)抛掷一枚均匀的硬币二次,结果是“一次正面向上,一次反面向上”的概率是(

A.1

1 B. 2

1 C. 3

1 D. 4


5、 (原创)某几何体的三视图如图所示,则它的体积是(

? A. 12
1?
C.

1?
B.

? 6
1?

? 3

?
12

D.

6、 (原题)已知直线 l∥平面 α ,P∈α ,那么过点 P 且平行于直线 l 的直线 ( (A) 只有一条,不在平面 α 内 (B) 有无数条,不一定在平面 α 内 (C) 只有一条,且在平面 α 内 (D) 有无数条,一定在平面 α 内

)

(改编)若 m 、 n 为两条不重合的直线, ? 、 ? 为两个不重合的平面,则下列命题中的真命题个 数是 ①若 m 、 n 都平行于平面 ? ,则 m 、 n 一定不是相交直线; ②若 m 、 n 都垂直于平面 ? ,则 m 、 n 一定是平行直线; ③已知 ? 、 ? 互相垂直, m 、 n 互相垂直,若 m ? ? ,则 n ? ? ; ④ m 、 n 在平面 ? 内的射影互相垂直,则 m 、 n 互相垂直. A.1 B.2 C.3 D.4 ( )

7、 (原题)把边长为 1 的正方形 ABCD 沿对角线 BD 折起形成直二面角 A ? BD ? C ,三棱锥

C ? ABD 体积为________
(改编) 把边长为 1 的正方形 ABCD 沿对角线 BD 折起形成三棱锥 C-ABD 的主视图与俯视图如 图所示,则左视图的面积为 1 1 A. 4 B. 2
1 C. 6

( 1 1 1 主视图

) 1 俯视图 C

1 D. 8

8、(原题) 如图,在圆 O 中,若弦 AB=3,弦 AC=5,则 AO · BC

的值是 A

O( B (第 8 题)


3

(A) -8

(B) -1

(C) 1

(D) 8 的最小值是

? AG (改编)设点 G 是 ?ABC 的重心,若 ?A ? 120 , AB ? AC ? ?1 ,则

3 A. 4

2 B. 3

2 C. 3
2

3 D. 3

9、 (数学学报改编)已知函数 f ?x ? ? x ? 2a ln x, ?a ? 0? ,令 g ?x ? ? f ?x ? ? 2ax ,若 g ?x ? 有两 个零点,则 a 的取值范围是( )

?1 ? ? ,?? ? ? A. ? 2

?1 ? ? ,1? B. ? 2 ?

1? ? ? ? ?, ? 2? C. ?

?1 ? ? ,1? D. ? 2 ?

x2 y2 ? 2 ?1 2 2 2 b 10、 (原题)若原点到直线 bx ? cy ? bc 的距离等于 c ? b ? 1, 则椭圆 a

?a ? 0, b ? 0? 的实轴的最小值为_________
1 2 x2 y2 2 a ? b ? 1, ? 2 ?1 2 b (改编)若原点到直线 bx ? ay ? ab 的距离等于 3 则双曲线 a

?a ? 0, b ? 0? 的半焦距的最小值为





A.2 B.3 C.5 D.6 非选择题部分 (共 100 分) 二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,满分 28 分。 11 、 (原创)在等差数列

?an ? 中 , a2 ? ?5, a6 ? a4 ? 6, 那 么

开始

a1 ? ________
12、 (引用)右面的程序框图输出的数值为_________ 13、 (引用)某公司有职工 2000 名,从中随机抽取 200 名调查他们 的居住地与上班工作地的距离,其中不超过 1000 米的共有 10 人, 不超过 2000 米的共有 30 人,由此估计该公司所有职工中,居住地 到上班地距离在

n ?1 , S? 0

?1000, 2000? 米的有
2

n ? 6?




人。

输出 S

14 、 ( 原 题 ) 设 奇 函数 f ( x)满足f ( x) ? x ? x ? 6( x ? 0) , 则 满

S ? S ? 2n
结束

f (log1 x) ? 0

2

的 x 的取值范围是_______
2

n ? n ?1

) f( x ?) ( 改 编 ) 设 偶 函 数 f ( x满足

x ?

?x 6 ( ? x, 0则 )
(第 12 题)
4

{x | f ( x ? 2) ? 0} =_________
15、 (引用)若不等式 最小值为 .

x ? 2 xy ? a( x ? y) 对任意的实数 x ? 0, y ? 0 恒成立,则实数 a 的
? x ? y ? 1 ? 0, ? ? x ? 1 ? 0, ?2 x ? y ? 1 ? 0, ?

16、 (原题)平面直角坐标系中,不等式组 所表示的平面区域的面积为

y 满足不等式组 (改编)若实数 x ,
最大值为 9,则实数 m ?

? x ? 3 y ? 3 ? 0, ? ? 2 x ? y ? 3 ? 0, ? x ? my ? 1 ? 0, ?

且 x? y 的

17 、 ( 原 题 ) ?ABC中,G 为 三 角 形 外 心 , 延 长 CG 交 AB 与 D , 若 GC ? xGA ? yGB , 则 ( ) B. x ? y ? 1 C. x ? y ? ?1 A. 0 ? x ? y ? 1 D.

?1 ? x ? y ? 0

, GA ? GB ? GC ? O, CA ? a, CB ? b , (改编)如图, ?ABC中
若 CP ? ma, CQ ? nb, CG ? PQ ? H , CG ? 2CH ,则

1 1 ? m n =________
三、解答题:本大题共 5 小题,满分 72 分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。 18. (本小题满分 14 分) 1 (原题) (1)设函数 f ( x) ? m sin x ? cos x ( x ? R) 的部分图象如图: 求 y ? f ( x) 的解析式,并求函数的最小正周期和单调递增区间

? 2

(2)锐角 ?ABC中, 角 A,B,C 所对的边分别为 a, b, c ,且满足 a sin C ? 3c cos A , c ? 2 ,求

?ABC 面积的最大值。

?π ? ,1? ? ?. (改编)设函数 f ( x) ? m sin x ? cos x ( x ? R) 的图象经过点 ? 2
(Ⅰ)求 y ? f ( x) 的解析式,并求函数的最小正周期和单调递增区间
5

? 3 3 f ( ) ? 2 sin A (Ⅱ)若 12 ,其中 A 是面积为 2 的锐角 ?ABC 的内角,且 AB ? 2 ,
求 AC 和 BC 的长. 19.(本小题满分 14 分) (原题)已知 (1)求数列

?an ?是一个公差大于 0 的等差数列,且满足 a3 a6 ? 55 ,

a2 ? a7 ? 16

?an ?的通项公式:

b1 b2 b3 b ? 2 ? 3 ? ... n (n为正整数) ?a ? S 数列 ?bn ? 满足等式: Sn = 2 2 2 2n (2) 若数列 n 的前 n 项和为 n , ,
求数列

?bn ?的前 n 项和 Tn 。

(改编)已知 (Ⅰ)求数列

?an ?是一个公差大于 0 的等差数列,且满足 a3 a6 ? 55 , ?an ?的通项公式:

a2 ? a7 ? 16

b1 b2 b3 b ? 2 ? 3 ? ... n (n为正整数) ?b ? ?b ? ?a ? a 2 2n (Ⅱ) 若数列 n 和数列 n 满足等式: n = 2 2 , 求数列 n 的
前 n 项和

Sn 。

20. (本小题满分 14 分) (根据金华一中、慈溪中学、学军中学高三试题改编) 如图, 在三棱拄

ABC ? A1B1C1 中, AB ? 侧面 BB1C1C ,已知 AA1=2, AB ? 2 ,

BC ? 1, ?BCC1 ?
(Ⅰ)求证: (Ⅱ)试在棱

?
3

C1B ? 平面ABC ; CC1 (不包含端点 C, C1 ) 上确定一点 E 的位置,使得 EA ? EB1 ; A ? EB1 ? A1 的平面角的正切
A A1

(III)在(Ⅱ)的条件下,求二面角 值.

B C

6
B1 E C1

21.(本小题满分 15 分) (原题)已知函数 f ( x) ? ? x ? x
3 2

(Ⅰ)求 f ( x) 在 [ ?1, e] ( e 为自然对数的底数)上的最大值; (Ⅱ)曲线 y ? f ( x) 上是否存在两点 P, Q ,使得 POQ 是以 O 为直角顶点的直角三角形,且此三角 形斜边中点在 y 轴上?

(改编)已知函数

?? x3 ? x 2 , x ? 1, f ( x) ? ? ?a ln x, x ? 1.

(Ⅰ)求 f ( x) 在 [ ?1, e] ( e 为自然对数的底数)上的最大值; (Ⅱ)对任意给定的正实数 a ,曲线 y ? f ( x) 上是否存在两点 P, Q ,使得 POQ 是以 O 为直角顶点 的直角三角形,且此三角形斜边中点在 y 轴上?

22.(本小题满分 15 分) (选自金华十校模拟卷) 已知顶点在原点、 焦点 F 在 y 轴正半轴上的抛物线 Q1 过点 (2, 1) , 抛物线 (I)求抛物线 Q2 的方程; (II)过点 F 的直线交抛物线 Q1 于点

Q2 与 Q1 关于 x 轴对称.

A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )( x1 ? x2 ) ,过 A、B 分别作 Q1 的切线

l1 , l2 , M (m1 , n1 ), N (m2 , n2 )(m1 ? m2 ) , Q l Q 记直线 1 与 2 的交点为 求证: 抛物线 2 上的点 S ( s, t ) 若
满足条件

m2 s ? 4 ,则 S 恰在直线 l2 上.

7

2014 年高考模拟试卷 数学卷(文科) 答题卷 一、选择题: 本大题共 10 小题, 每小题 5 分, 共 50 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项 是符合题目要求的。 题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

考号

二、填空题: 本大题共 7 小题, 每小题 4 分, 共 28 分。 11 ______ 15______ __ __. 12 ___ 16___ _. _____. _ 13_____ ___ __. 14_____ ___.

线

17________.

姓名

三、解答题: 本大题共 5 小题, 共 72 分。解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤。 18. (本小题 14 分)

?π ? ,1? ? ?. (改编)设函数 f ( x) ? m sin x ? cos x ( x ? R) 的图象经过点 ? 2

(Ⅰ)求 y ? f ( x) 的解析式,并求函数的最小正周期和单调递增区间

班级

? 3 3 f ( ) ? 2 sin A (Ⅱ)若 12 ,其中 A 是面积为 2 的锐角 ?ABC 的内角,且 AB ? 2 ,
求 AC 和 BC 的长.

学校

19. (本小题 14 分) (改编)已知





?an ?是一个公差大于 0 的等差数列,且满足 a3 a6 ? 55 ,

a2 ? a7 ? 16

8

(Ⅰ)求数列

?an ?的通项公式:
b1 ? b2 b3 b ? 3 ? ... n (n为正整数) 2 ?b ? 2 2 2n , 求数列 n 的

?b ? ?a ? a (Ⅱ) 若数列 n 和数列 n 满足等式: n = 2
前 n 项和

Sn 。

20. (本小题满分 14 分) (根据金华一中、慈溪中学、学军中学高三试题改编) 如图, 在三棱拄

ABC ? A1B1C1 中, AB ? 侧面 BB1C1C ,已知 AA1=2, AB ? 2 ,

BC ? 1, ?BCC1 ?
(Ⅰ)求证:

?
3

C1B ? 平面ABC ;

21.(本小题 15 分)

(改编)已知函数

?? x3 ? x 2 , x ? 1, f ( x) ? ? ?a ln x, x ? 1.

(Ⅰ)求 f ( x) 在 [ ?1, e] ( e 为自然对数的底数)上的最大值; (Ⅱ)对任意给定的正实数 a ,曲线 y ? f ( x) 上是否存在两点 P, Q ,使得 POQ 是以 O 为直角顶点 的直角三角形,且此三角形斜边中点在 y 轴上?

9

(22) (本题满分 15 分) (选自金华十校模拟卷)已知顶点在原点、焦点 F 在 y 轴正半轴上的抛物线 Q1 过点(2,1) ,抛 物线

Q2 与 Q1 关于 x 轴对称. A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )( x1 ? x2 ) ,过 A、B 分别作 Q1 的切线

(I)求抛物线 Q2 的方程; (II)过点 F 的直线交抛物线 Q1 于点

l1 , l2 , M (m1 , n1 ), N (m2 , n2 )(m1 ? m2 ) , Q l Q 记直线 1 与 2 的交点为 求证: 抛物线 2 上的点 S ( s, t ) 若
满足条件

m2 s ? 4 ,则 S 恰在直线 l2 上.

浙江省 2014 年高考模拟试卷文科数学参考答案及评分标准 一、选择题(每题 5 分) 1 D 2 A 3 D 4 B 5 D 6 D 7 A 8 C 9 A 10 D

二、填空题(每题 4 分) 11、______-8_____________ 12、____126_____________13、_____200_____________

14、__

?x x ? 4或x ? 0?_ 15、____

?

3 4 __________ 16、____3_______17、___6______
10

三、解答题 (本大题有 5 小题, 共 72 分)

18. (本小题满分 14 分)

?π ? ,1? ? ? 解: (Ⅰ) 函数 f ( x) ? m sin x ? cos x ( x ? R) 的图象经过点 ? 2
? m sin

?
2

? cos

?
2

?1

?m ? 1

????.2 分

? f ( x) ? sin x ? cos x ? 2 sin( x ? ) 4

?

????????.4 分 ????????.5 分

? 函数的最小正周期 T ? 2?
2 k? ?


?
2

? x?

?
4

? 2k? ?

?
2 可得

2 k? ?

3? ? ? ? x ? ? 2 k? ? 4 4 4

? y ? f ( x) 的调递增区间为

[2k? ?

3? ? , 2k? ? ](k ? Z ) 4 4 ??????7 分

f ( ) ? 2 sin A (Ⅱ)因为 12 sin A ? sin


?

f ( ) ? 2 sin ? 2 sin A 3 即 12

?

?

?
3
???????9 分

? 3 3 A? 3 ∵ A 是面积为 2 的锐角 ?ABC 的内角,?
S?ABC ? 1 3 AB AC sin A ? 3 2 2
2 2 2

???????.10 分

? AC ? 3

????????.12 分

由余弦定理得: BC ? AC ? AB ? 2 ? AB ? AC cos A ? 7 ????????.14 分 19.(本小题满分 14 分)

解: (Ⅰ)由题意

?a 3 a 6 ? 55 ? ?a 3 ? a 6 ? 16

?a3 ? 5 ?a6 ? 11 ?? 或? a6 ? 11 ?a3 ? 5 ? , ??3 分

?a 3 ? 5 ?a ? 1 ?? ?? 1 ? 公差大于 0, ?a 6 ? 11, ?d ? 2 ,? an ? 2n ? 1
所以数列

?an ?的通项公式为 an ? 2n ? 1 .??????????7 分
11

b b1 b2 ? 2 ????? n ? an = 2 2 2n (Ⅱ) b ?1 b1 b2 ? 2 ????? n a ? n ? 2时 , n?1 = 2 2 2 n ?1 bn bn ? an ? an?1 = 2 n ,即 2 n =2, bn ? 2 n?1 ??????????10 分

?2, n ? 1 ? bn ? ? n?1 ?2 , n ? 2 ????????11 分 当 n ? 1 时, b1 ? 2 ,

? 当 n ? 1 时, S1 ? 2
n?1 n?2 当n ? 2时 , S n ? 2 ? 8 ? 16 ? ? ? ? ? 2 ? 2 ? 6 ????13 分

S ?2 当 n ? 1 时满足上式,所以 n
20. (本小题满分 14 分) 证(Ⅰ)因为 AB ? 侧面

n?2

? 6 ????????14 分

BB1C1C ,故 AB ? BC1

在△BC 1C 中, 由余弦定理有

BC ? 1, CC1 ? BB1 ? 2, ?BCC1 ?

?
3

BC1 ? BC 2 ? CC12 ? 2 ? BC ? CC1 ? cos ?BCC1 ???? 1 ? 4 ? 2 ? 2 ? cos
故有 而

?
3

? 3

BC 2 ? BC12 ? CC12 ?????????C1B ? BC
BC AB ? B 且 AB, BC ? 平面 ABC

? C1B ? 平面ABC ????????????????????????????4 分
(Ⅱ)由 从而

EA ? EB1 , AB ? EB1, AB

AE ? A, AB, AE ? 平面ABE BE ? B1E
A

z
A1

B1E ? 平面ABE

且 BE ? 平面ABE 故

不妨设

CE ? x ,则 C1E ? 2 ? x ,则 BE 2 ? x 2 ? x ? 1

B

12
C

B1

E

x

C1

y

2 ?B1C1C ? ? 3 又

则 B1 E ? x ? 5x ? 7
2 2
2 2

在直角三角形 BEB1 中有 x ? x ? 1 ? x ? 5x ? 7 ? 4 从而 x ? 1 故E 为

CC1 的中点时, EA ? EB1 ????????????????????????9 分

法二:以 B 为原点 设 CE ? x ,则

BC, BC1 , BA 为 x, y, z 轴,
A M A1

1 B(0, 0, 0), E (1 ? x), B1 (?1, 3, 0), A(0, 0, 2) 2

B

F N D B1

EA ? EB1 得 由

EA ? EB1 ? 0 即
C E

1 3 1 3 ( x ? 1, ? x, 2)( x ? 2, 3 ? x, 0) ? 0 2 2 2 2 1 1 3 ? 3 ? ( x ? 1)( x ? 2) ? x? 3 ? x? ? 0 2 2 2 ? 2 ? ? ?
化简整理得

C1

x 2 ? 3x ? 2 ? 0

x ?1 或 x ? 2

当 x ? 2时E 与 当 x ?1时 E 为 故E 为

C1 重合不满足题意

CC1 的中点

CC1 的中点使 EA ? EB1 ?????????????????????????9 分 EB1 的中点 D , A1E 的中点 F ,

(Ⅲ)取

BB1 的中点 N , AB1 的中点 M
连 DF 则 连 MN 则

DF // A1B1 ,连 DN 则 DN // BE , MN // A1B1

连 MF 则 MF // BE ,且 MNDF 为矩形, MD // AE 又

A1B1 ? EB1 , BE ? EB1

故 ?MDF 为所求二面角的平面角
13

在 RT ?DFM 中,

DF ?

1 2 A1B1 ? ( ?BCE为正三角形) 2 2

MF ?

1 1 1 BE ? CE ? 2 2 2

1 2 ? tan ?MDF ? 2 ? 2 2 2 ??????????????????????????14 分
法二:由已知 所以二面角

EA ? EB1, B1 A1 ? EB1 ,

A ? EB1 ? A1 的平面角 ? 的大小为向量 B1 A1 与 EA 的夹角
EA ? (? 3 1 , ? , 2) 2 2

因为

B1 A1 ? BA ? (0,0, 2)
EA ? B1 A1 EA ? B1 A1 ?

cos ? ?


2 2 ? tan ? ? 2 3

???????????????????14 分

21.(本小题满分 15 分)

解: (Ⅰ)因为

?? x3 ? x 2 , x ? 1, f ( x) ? ? ?a ln x, x ? 1.

ks**5u

? ? ①当 ?1 ? x ? 1 时, f ( x) ? ? x(3x ? 2) ,解 f ( x) ? 0 得到

0? x?

2 3 ;解 f ?( x) ? 0 得到

2
?1 ? x ? 0 或 3

? x ?1

2 2 ( ,1) (0, ) f ( x ) ( ? 1,0) 3 .所以 在 和 上单调递减,在 3 上单调递增,从而 f ( x) 在

x?

2 2 4 f( )? 3 处取得极大值 3 27 .??3 分,

又 f (?1) ? 2, f (1) ? 0 ,所以 f ( x) 在 [ ?1,1) 上的最大值为 2.??4 分 ②当 1 ? x ? e 时, f ( x) ? a ln x ,当 a ? 0 时, f ( x) ? 0 ;当 a ? 0 时, f ( x) 在 [1, e] 上单调递增,所 以 f ( x) 在 [1, e] 上的最大值为 a . 所以当 a ? 2 时, f ( x) 在 [ ?1, e] 上的最大值为 a ; 当 a ? 2 时, f ( x) 在 [ ?1, e] 上的最大值为 2. ??8 分
14

(Ⅱ)假设曲线 y ? f ( x) 上存在两点 P, Q ,使得 POQ 是以 O 为直角顶点的直角三角形,则 P, Q 只
3 2 能在 y 轴的两侧,不妨设 P(t , f (t ))(t ? 0) ,则 Q(?t , t ? t ) ,且 t ? 1 .

??9 分 因为 ?POQ 是以 O 为直角顶点的直角三角形,所以 OP ? OQ ? 0 ,
2 3 2 即: ?t ? f (t ) ? (t ? t ) ? 0 (1)??10 分

是否存在点 P, Q 等价于方程(1)是否有解.
3 2 4 2 若 0 ? t ? 1 ,则 f (t ) ? ?t ? t ,代入方程(1)得: t ? t ? 1 ? 0 ,此方程无实数解.??11 分

1 ? (t ? 1)ln t f ( t ) ? a ln t 若 t ? 1 ,则 ,代入方程(1)得到: a ,??12 分
1 h?x () n l? x ? 0 ? x

设 h( x) ? ( x ? 1) ln x( x ? 1) , 则

在 [1, ??) 上恒成立. 所以 h( x) 在 [1, ??) 上单调递增,

1 ? (t ? 1)ln t 从而 h( x) ? h(1) ? 0 ,所以当 a ? 0 时,方程 a 有解,即方程(1)有解.??14 分
所以,对任意给定的正实数 a ,曲线 y ? f ( x) 上是否存在两点 P, Q ,使得 POQ 是以 O 为直角顶点 的直角三角形,且此三角形斜边中点在 y 轴上.??15 分 ks**5u 已知顶点在原点、 焦点 F 在 y 轴正半轴上的抛物线 Q1 过点 (2, 1) , 抛物线 (I)求抛物线 Q2 的方程; (II)过点 F 的直线交抛物线 Q1 于点

Q2 与 Q1 关于 x 轴对称.

A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )( x1 ? x2 ) ,过 A、B 分别作 Q1 的切线

l1 , l2 , M (m1 , n1 ), N (m2 , n2 )(m1 ? m2 ) , Q l Q 记直线 1 与 2 的交点为 求证: 抛物线 2 上的点 S ( s, t ) 若
满足条件

m2 s ? 4 ,则 S 恰在直线 l2 上.
2 2

22.(本小题满分 15 分) 解: (Ⅰ)设 Q1 ; x ? 2 py( p ? 0) ,因为过(2,1)点,所以 p ? 2 ,所以 Q1 ; x ? 4 y 又因为抛物线 Q2 与 Q1 关于 x 轴对称,所以 Q2 ; x ? ?4 y ????5 分
2

15

? y ? kx ? 1 ? 2 x ? 4y AB : y ? kx ? 1 AB F (Ⅱ)由题意知 的斜率存在且过焦点 ,设 ,联立 ? ,消 y 得,

x 2 ? 4kx ? 4 ? 0 ,根据韦达定理得: x1 ? x2 ? 4k , x1 x2 ? ?4 ????8 分

? 抛物线 Q1 的方程为

y?

x 1 2 1 x ? y ' ? x ? l1 : y ? y1 ? 1 ( x ? x1 ) 4 , 2 , 2
2 2

x x x x 1 2 y1 ? x1 ? l1 : y ? 1 x ? 1 l2 : y ? 2 x ? 2 4 , 2 4 ????11 分 2 4 ,同理可得 ?

? N (m2 , n2 ) 在直线 l1 上,且
? x1 x2 ? ?4, m2 s ? 4 ,

n2 ? ?

m2 m x x ? 2 ? 1 m2 ? 1 2 4 4 ,? 4

2

2

2

? x1 ? ?

4 4 , m2 ? x2 s 代入上式得:

1 1 1 ? ? 2 2 x2 s 4 x2 2 4s
2

2 x2 x s s2 s2 ? ? 2 ? t?? 2 2 2 4 而 4 ,两边同乘以 s x2 , 4

?t ?

x2 x s? 2 2 4 ,点 S ( s, t ) 满足 l2 方程,所以 S 恰在直线 l2 上。????15 分

16


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