10 高考数学易错题解题方法大全(2)
一.选择题 范例1】 【范例 】已知一个凸多面体共有9个面,所有棱长均为1, 其平面展开图如右图所示,则该凸多面体的体积 V = ( A. 1 +
2 6
)
B. 1
C.
2 6
D. 1 +
2 2
答案: A 错解分析】 【错解分析】此题容易错选为 D,错误原因是对棱锥的体积公式记忆不牢。 题指导】 【解题指导】将展开图还原为立体图,再确定上面棱锥的高。 【练习 1】一个圆锥的底面圆半径为 3 ,高为 4 ,则这个圆锥的侧面积为( 】 A.
)
15π 2
B. 10π
2
C. 15π
D. 20π
设 【范例 2】 f (x ) 是 ( x + 】 则实数 m 的取值范围是( A. [0,+∞ ) 答案:D
2 1 6 ) 展开式的中间项, f ( x) ≤ mx 在区间 若 , 2 上恒成立, 2x 2
)
B. ,+∞
5 4
C. ,5 4
5
D. [5,+∞ )
【错解分析】此题容易错选为 C,错误原因是对恒成立问题理解不透。 错解分析】 注意区别不等式有解与恒成立:
a > f ( x ) 恒 成 立 a > f m ax ( x ) ;
a < f ( x)恒成立 a < f min ( x) ;
a < f ( x )有解 a < f max ( x)
a > f ( x )有解 a > f min ( x) ;
【解题指导】∵ f ( x) = C 6 ( x ) 解题指导】
3 2 6 3
(
2 1 3 5 3 5 ) = x ,∴ x 3 ≤ mx 在区间 , 2 上恒成立, 2x 2 2 2
即
2 5 2 x ≤ m 在区间 , 2 上恒成立,∴ m ≥ 5 . 2 2
1 n ) 的展开式中第三项系数等于 6,则 n 等于( 11
)
【练习 2】若 ( x 】
A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 【范例 3】一只蚂蚁在边长分别为 5,12,13 的三角形区域内随机爬行,则其恰在离三个顶点 】 距离都大于 1 的地方的概率为( ) A.
4 5
B.
3 5
C.
π 60
D.
π 3
答案:C
-1-
【错解分析】此题容易错选为 A,错误原因是没有看清蚂蚁在三角形区域内随机爬行,而不是 错解分析】 在三边上爬。 解题指导】 【解题指导】考查几何概型的计算,满足条件部分的面积与三角形面积之比. 【练习 3】 a 在区间[0, 】 设 5]上随机的取值, 则方程 x + ax +
2
a 1 + = 0 有实根的概率为 ( 4 2
)
A.
4 5
B.
3 5
3
C.
2 5
D. 1 )
【范例 4】方程 x 3 x m = 0 在[0,1]上有实数根,则 m 的最大值是( 】 A.0 B.-2 C.
11 8
D. 1
答案:A 错解分析】 【错解分析】此题容易错选为 B,错误原因是不能利用导数准确地求最值。 【解题指导】转化为求函数 m = x 3 x 在[0,1]上的最值问题. 解题指导】
3
【练习 4】已知函数 f ( x) = x 3ax( a ∈ R ) ,若直线 x + y + m = 0 对任意的 m ∈ R 都不是 】
3
曲线 y = f ( x ) 的切线,则 a 的取值范围为( A. a ≥
) D. a < ) D. 8 3
1 3
1 3
B. a >
【范例 5】已知 】 A.10
4 + mi ∈ R ,则 | m + 6i | =( 1 + 2i
B.8 C.6
1 3
C. a ≤
1 3
答案:A 错解分析】 【错解分析】此题容易错选为 C,错误原因是对复数的代数形式化简不到位。 【解题指导】 解题指导】
4 + mi (4 + mi )(1 2i ) (4 + 2m) + (m 8)i = = ∈R∴m =8 1 + 2i (1 + 2i )(1 2i ) 5
∴ | m + 6i |=| 8 + 6i |= 82 + 62 = 10 【练习 5】复数 (1 + ) 的值是( 】
4
A. 4i B. 4i C.4 D.-4 【范例 6】从 2006 名学生中选取 50 名组成参观团,若采用以下方法选取:先用简单随机抽样 】 从 2006 名学生中剔除 6 名,再从 2000 名学生中随机抽取 50 名. 则其中学生甲被剔除和被选 取的概率分别是 ( ) A.
1 i
)
1 3 , 1 003 40
B.
1 3 , 1 000 40
C.
25 3 , 1 003 1 003
D.
25 3 , 1 000 1 003
答案:C 错解分析】 【错解分析】此题容易错选为 B,错误原因是对抽样的基本原则理解不透。
-2-
解题指导】 【解题指导】法(一)学生甲被剔除的概率 P = 1
5 C 2 005 3 = , 则学生甲不被剔除的概率为 6 C 2 006 1 003
1
1000 C149999 25 3 1000 × 50 = = ,所以甲被选取的概率 P2 = , 故选 C. 1003 1003 1003 C2 000 1 003
法(二)每位同学被抽到,和被剔除的概率是相等的,所以学生甲被剔除的概率
P= 1
6 3 50 25 = , 甲被选取的概率 P2 = = . 2006 1 003 2006 1 003
【练习 6】在抽查产品的尺寸过程中,将尺寸分成若干组, [a, b ) 是其中的一组,抽查出的个 】 体在该组上的频率为 m,该组上的直方图的高为 h,则 a b =( A.hm B. )
h m
C.
m h
D. h + m
二.填空题 已知一个棱长为 6cm 的正方体塑料盒子(无上盖), 上口放着一个半径为 5cm 的钢球, 【范例 7】 】 则球心到盒底的距离为 cm. 答案:10 错解分析】 【错解分析】此题容易错填 11,错误原因是空间想象能力不到位。 解题指导】 【解题指导】作出截面图再分析每个量的关系. 【 练 习 7 】 设 P, A, B, C 是 球 O 表 面 上 的 四 个 点 , PA, PB, PC 两 两 垂 直 , 且
PA = PB = PC = 1 ,则球的表面积为
.
【 范例 8 】 已知直线 l1 : x + ay + 6 = 和l 2 : ( a 2) x + 3 y + 2a = 0, 则l1 // l 2 的充要条件是
a=
.
答案: a = 1 错解分析】 【错解分析】此题容易错填为-1,3,主要是没有注意到两直线重合的情况。 【解题指导】 l1 // l 2 的充要条件是 A1 B2 A2 B1 = 0 且 A1C 2 A2 C1 ≠ 0 . 解题指导】 【练习 8】已知平面向量 a = (1, m) , b = ( m 2,3) ,且 a ⊥ b ,则 m = 】
→ →
r
r
.
2 y2 【范例 9】 】已知双曲线 x 2 2 = 1 (a > 0, b > 0) 的左、右焦点分别为 F1 , F2 , 又点P 是双曲线上 a b
一点,且 PF1 ⊥ PF2 , PF1 PF2 = 4ab ,则双曲线的离心率是
.
答案: 5 错解分析】 【错解分析】此题容易漏掉圆锥曲线定义在解题中的应用。 解题指导】 求圆锥曲线的离心率值或范围时, 就是寻求含 a, c 齐次方程或不等式, 同时注意. 【解题指导】 找全 PF1 , PF2 的几个关系, (1)PF1 ⊥ PF2 ,∴ PF12 + PF22 = F1F22 = 4c2 ,(2) PF1 PF2 = 2a ,
PF (2) 式平方可得 PF12 + PF22 2PF1 PF2 = 4a 2 , 所以 4c2 8ab = 4a 2 , (3) 1 PF2 = 4ab 。 将
-3-
所以 b = 2a 。 【练习 9】若双曲线 】 的离心率为
x2 y2 2 2 - 2 =1 的渐近线与方程为 ( x 2) + y = 3 的圆相切,则此双曲线 2 a b .
x y
【范例 10】点 ( x, y ) 在直线 x + 3 y 2 = 0 上,则 3 + 27 + 3 最小值为 】
.
答案:9 【错解分析】此题主要考查学生对均值不等式的应用,及指数的四则运算。一定要牢记这些 错解分析】 公式。 【解题指导】 3 + 27 + 3 3 + 27 ≥ 2 3 27 解题指导】
x y
x
y
x
y
= 2 3 x +3 y = 6 .
. .
【练习 10】已知 x > 1, y > 1 且 lg x + lg y = 4 则 lg x lg y 最大值为 】
2 【范例 11】函数 f ( x ) = ax + bx + 6 满足条件 f ( 1) = f (3) ,则 f ( 2) 的值为 】
答案:6 错解分析】 【错解分析】此题主要考查二次函数的性质,主要易错在不能很好的应用性质解题。
2 ( 【解题指导】 一)对称轴 x = 1 所以 b = 2a .∴ f ( x ) = ax 2ax + 6, f (2) = 6. 解题指导】
(二)对称轴 x = 1 所以 f (2) = f (0) = 6. 【练习 11】已知二次函数 f (x ) 满足 f (1 + x ) = f (1 x ) ,且 f ( 0) = 0,f (1) = 1 ,若 f ( x ) 】 在区间 [m, n ] 上的值域是 [m, n ] ,则 m = ,n= .
,则向量 OA 与 【范例 12】已知向量 OB = ( 2,0) ,OC = ( 2,2) ,CA =( 2 cos α , 2 sin α ) 】
OB 的夹角范围为
答案:
.
π 5π 12 , 12
【错解分析】此题主要错在不能认识到点 A 的轨迹是一个圆. 错解分析】 【解题指导】 ∵ OC = ( 2 , 2) , OB = ( 2 , 0) ,∴ B ( 2,0), C ( 2,2) 解题指导】 ∵ CA = ( 2 cos α ,
2 sin α ) , ∴点 A 的轨迹是以 C (2, 为圆心, 2 为半径的圆. 过 2)
原点 O 作此圆的切线,切点分别为 M,N,连结 CM、CN(∠MOB<∠NOB) ,则向量 OA 与 OB 的 夹 角 范 围 是
∠MOB ≤ 〈 OA, OB 〉 ≤ ∠NOB . ∵ OC = 2 2 , ∴
1 π π | CM | = | CN | = | OC | 知 ∠COM = ∠CON = ,但 ∠COB = . 2 6 4
-4-
∴ ∠MOB
=
π 5π π 5π , ∠NOB = ,故 ≤ 〈 OA, OB 〉 ≤ . 12 12 12 12
D _ M 为 BC 的中点, N _ C _
【练习 12】如图,在正方形 ABCD 中,已知 AB = 2 , 】
若 N 为正方形内(含边界)任意一点,则 AM AN 的最大值是 三.解答题 【范例 13】已知数列{ an }的前 n 项和 S n = n + 2n , 】
2
.
A _
M _ B _
(1)求数列的通项公式 an ; (2)设 2bn = an 1 ,且 Tn =
1 1 1 1 + + +L ,求 Tn . b1b2 b2b3 b3b4 bnbn +1
(1)在求通项公式时容易漏掉对 n=1 的验证。 【错解分析】 错解分析】 (2)在裂项相消求数列的和时,务必细心。 解:(1)∵Sn=n +2n ∴当 n ≥ 2 时, a n = S n S n 1 = 2n + 1
2
当 n=1 时,a1=S1=3, a n = 2 × 1 + 1 = 3 ,满足上式. 故 a n = 2n + 1, n ∈ N * (2)∵ 2bn = an + 1 , ∴ bn = ∴
1 1 (an 1) = (2n + 1 1) = n 2 2
1 1 1 1 = = bn bn +1 n(n + 1) n n + 1 1 1 1 1 + + +L b1b2 b2b3 b3b4 bnbn +1
∴ Tn =
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = + + +L+ + 1 2 2 3 3 4 n 1 n n n + 1
已知二次函数 y = f (x ) 的图像经过坐标原点, 其导函数为 f ′( x ) = 6 x 2. 数列{ a n } 【练习 13】 】 的前 n 项和为 S n ,点 ( n, S n )( n ∈ N ) 均在函数 y = f (x ) 的图像上.
*
(1)求数列{ a n }的通项公式; (2)设 bn =
3 m * , T n 是数列{bn } 的前 n 项和,求使得 Tn < 对所有 n ∈ N 都成立 a n a n +1 20
-5-
的最小正整数 m . 【范例 14】已知函数 f ( x ) = sin x + 2 3 sin x cos x + 3cos x . 】
2 2
(1)求函数 f ( x ) 的单调增区间; (2)已知 f
(α ) = 3 ,且 α ∈ ( 0, π ) ,求 α 的值.
3 sin 2 x + cos 2 x + 2 = 2 sin(2 x +
π )+2. 6
【错解分析】在利用降幂公式两倍角公式时,本身化简就繁琐,所以仔细是非常重要的。 错解分析】 解: (1) f ( x ) = 由
π π π π π + 2k π ≤ 2 x + ≤ + 2k π ,得 + k π ≤ x ≤ + k π . 2 6 2 3 6 π π ∴函数 f ( x ) 的单调增区间为 [ + k π , + k π ] (k ∈ Z) . 3 6 π π 1 (2)由 f (α ) = 3 ,得 2 sin(2α + ) + 2 = 3 .∴ sin(2α + ) = . 6 6 2 π π π 5π ∴ 2α + = + 2k1π ,或 2α + = + 2k2 π ( k1 , k2 ∈ Z ) , 6 6 6 6 π π 即 α = k1π 或 α = + k2 π ( k1 , k2 ∈ Z ) .∵ α ∈ ( 0, π ) ,∴ α = . 3 3
【 练 习 14 】 在 △ABC 中 , a, b, c 依 次 是 角 A, B, C 所 对 的 边 , 且 4sinBsin ( B + )+cos2B=1+ 3 . 2 (1)求角 B 的度数; (2)若 B 为锐角, a = 4 , sin C =
2
π 4
1 sin B ,求边 c 的长. 2
【范例 15】某工厂制造甲、乙两种产品,已知制造甲产品 1 kg 要用煤 9 吨,电力 4 kw,劳 力(按工作日计算)3 个;制造乙产品 1 kg 要用煤 4 吨,电力 5 kw,劳力 10 个.又知制成甲产 品 1 kg 可获利 7 万元,制成乙产品 1 kg 可获利 12 万元,现在此工厂只有煤 360 吨,电力 200 kw,劳力 300 个,在这种条件下应生产甲、乙两种产品各多少千克,才能获得最大经济效益? 错解分析】 【错解分析】对于线性规划的题目,首先要认真审题,列出约束条件,及目标函数,这是本 题的重点及难点。 解:设此工厂应生产甲、乙两种产品 x kg、y kg,利用 z 万元,则依题意可得约束条件:
4x+5y≤200, 3x+10y≤300, x≥0, y≥0.
利润目标函数为 z=7x+12y. 作出不等式组所表示的平面区域,即可行域(如下图). 作直线 l:7x+12y=0,把直线 l 向右上方平移至 l1 位置时,直线 l 经过可行域上的点 M 时,此时 z=7x+12y 取最大值.
9x+4y≤360,
-6-
3x+10y=300, 解方程组 4x+5y=200
得 M 点的坐标为(20,24).
答:应生产甲种产品 20 千克,乙种产品 24 千克,才能获得最大经济效益. 【练习 15】某养鸡场有 1 万只鸡,用动物饲料和谷物饲料混合喂养.每天每只鸡平均吃混合饲 】 料 0.5kg,其中动物饲料不能少于谷物饲料的
1 .动物饲料每千克 0.9 元,谷物饲料每千克 0.28 5
元,饲料公司每周仅保证供应谷物饲料 50000kg,问饲料怎样混合,才使成本最低.
练习题参考答案: 1.C 2.C 3.B 11. m=0 ,n=1
4.D 5.D 12. 4
6.C
7. 3π
8. 1 , 3
9.2
10. 4
13. 解: (1)设这二次函数 f ( x) = ax 2 + bx( a ≠ 0), 则f ′( x) = 2ax + b , 由于 f ′( x ) = 6 x 2 ,得 a = 3, b = 2, 所以f ( x ) = 3 x 2 2 x . 又因为点 (n, S n )( n ∈ N )均在函数y = f ( x ) 的图像上,所以 S n = 3n 2n.
* 2
当 n ≥ 2时, a n = S n S n 1 = (3n 2n) [3( n 1) 2( n 1)] = 6n 5.
2 2
(2)由(1)得知 bn = 故 Tn =
3 3 1 1 1 = = ( ). a n a n +1 (6n 5)[6(n 1) 5] 2 6n 5 6n + 1
1 1 1 1 1 1 1 1 [(1 ) + ( ) + L + ( )] = (1 ). 2 7 7 13 6n 5 6n + 1 2 6n + 1 1 1 m 1 m )< (n ∈ N * )成立的m ,必须且仅须满足 ≤ , 因此,要使 (1 2 6n + 1 20 2 20
-7-
即 m ≥ 10 ,所以满足要求的最小正整数 m 为 10. 14. 解 :( 1 ) 由 4sinB sin
2
π B + + 4 2
cos2B
=
1
+
3
得 :
2sin B[1 cos(
π
2
+ B )] + cos 2 B = 1 + 3
sin B = 3 2
2sin B(1 + sin B ) + 1 2sin 2 B = 1 + 3 ,
Q0 < B < π ∴B =
π
3
或
2π . 3
(2)法 1:Q B 为锐角
1 3 sin C = sin B = 3 2 4 1 13 由已知得: c = b < b ,角 C 为锐角 ∴ cos C = 2 4 2π 3( 13 + 1) a c 2 13 2 C) = 由正弦定理 = 得: c = . 可得: sin A = sin( 3 8 sin A sin C 3 1 法 2:由 sin C = sin B 得: b = 2c ,由余弦定理知: (2c)2 = c 2 + 16 8c cos 60o 2 ∴B =
即: 3c 2 + 4c 16 = 0
π
c=
2 ± 2 13 3
2 13 2 . 3 15. 解 : 设 每 周 需 用 谷 物 饲 料 x kg, 动 物 饲 料 y kg, 每 周 总 的 饲 料 费 用 为 z 元 , 那 么
Qc > 0
∴c =
x + y ≥ 35000 y ≥ 1 x ,而 z=0.28x+0.9y 5 0 ≤ x ≤ 50000 y ≥ 0
如右图所示,作出以上不等式组 所表示的平面区域,即可行域. 作一组平行直线 0.28x+0.9y =t, 其中经过可行域内的点且和原点最近的直线,经过直线 x+y=35000 和直线 y =
1 x 的交点 5
A(
87500 17500 87500 17500 , ) ,即 x = ,y= 时,饲料费用最低. 3 3 3 3
所以,谷物饲料和动物饲料应按 5:1 的比例混合,此时成本最低.
-8-