新课标高考数学易错题解题方法大全(2)

10 高考数学易错题解题方法大全（2）
一.选择题 范例1】 【范例 】已知一个凸多面体共有9个面，所有棱长均为1， 其平面展开图如右图所示，则该凸多面体的体积 V = ( A． 1 +
2 6

)

B． 1

C．

2 6

D． 1 +

2 2

答案： A 错解分析】 【错解分析】此题容易错选为 D，错误原因是对棱锥的体积公式记忆不牢。 题指导】 【解题指导】将展开图还原为立体图，再确定上面棱锥的高。 【练习 1】一个圆锥的底面圆半径为 3 ，高为 4 ，则这个圆锥的侧面积为（ 】 A．

）

15π 2

B． 10π
2

C． 15π

D． 20π

设 【范例 2】 f (x ) 是 ( x + 】 则实数 m 的取值范围是（ A． [0,+∞ ) 答案：D

2 1 6 ) 展开式的中间项， f ( x) ≤ mx 在区间 若 , 2 上恒成立， 2x 2
）

B． ,+∞

5 4



C． ,5 4

5

D． [5,+∞ )

【错解分析】此题容易错选为 C，错误原因是对恒成立问题理解不透。 错解分析】 注意区别不等式有解与恒成立：

a > f ( x ) 恒 成 立 a > f m ax ( x ) ；

a < f ( x)恒成立 a < f min ( x) ；
a < f ( x )有解 a < f max ( x)

a > f ( x )有解 a > f min ( x) ；
【解题指导】∵ f ( x) = C 6 ( x ) 解题指导】
3 2 6 3

(

2 1 3 5 3 5 ) = x ，∴ x 3 ≤ mx 在区间 , 2 上恒成立， 2x 2 2 2

即

2 5 2 x ≤ m 在区间 , 2 上恒成立，∴ m ≥ 5 . 2 2
1 n ) 的展开式中第三项系数等于 6，则 n 等于（ 11
）

【练习 2】若 ( x 】

A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 【范例 3】一只蚂蚁在边长分别为 5，12，13 的三角形区域内随机爬行，则其恰在离三个顶点 】 距离都大于 1 的地方的概率为（ ） A.

4 5

B.

3 5

C.

π 60

D.

π 3

答案：C

-1-

【错解分析】此题容易错选为 A，错误原因是没有看清蚂蚁在三角形区域内随机爬行，而不是 错解分析】 在三边上爬。 解题指导】 【解题指导】考查几何概型的计算，满足条件部分的面积与三角形面积之比. 【练习 3】 a 在区间[0， 】 设 5]上随机的取值， 则方程 x + ax +
2

a 1 + = 0 有实根的概率为 （ 4 2

）

A.

4 5

B.

3 5
3

C.

2 5

D. 1 ）

【范例 4】方程 x 3 x m = 0 在[0，1]上有实数根，则 m 的最大值是（ 】 A.0 B.-2 C.

11 8

D. 1

答案：A 错解分析】 【错解分析】此题容易错选为 B，错误原因是不能利用导数准确地求最值。 【解题指导】转化为求函数 m = x 3 x 在[0，1]上的最值问题. 解题指导】
3

【练习 4】已知函数 f ( x) = x 3ax( a ∈ R ) ，若直线 x + y + m = 0 对任意的 m ∈ R 都不是 】
3

曲线 y = f ( x ) 的切线，则 a 的取值范围为（ A. a ≥

） D. a < ） D． 8 3
1 3

1 3

B. a >

【范例 5】已知 】 A．10

4 + mi ∈ R ，则 | m + 6i | =（ 1 + 2i
B．8 C．6

1 3

C. a ≤

1 3

答案：A 错解分析】 【错解分析】此题容易错选为 C，错误原因是对复数的代数形式化简不到位。 【解题指导】 解题指导】

4 + mi (4 + mi )(1 2i ) (4 + 2m) + (m 8)i = = ∈R∴m =8 1 + 2i (1 + 2i )(1 2i ) 5

∴ | m + 6i |=| 8 + 6i |= 82 + 62 = 10 【练习 5】复数 (1 + ) 的值是（ 】
4

A． 4i B． 4i C．4 D．－4 【范例 6】从 2006 名学生中选取 50 名组成参观团，若采用以下方法选取：先用简单随机抽样 】 从 2006 名学生中剔除 6 名，再从 2000 名学生中随机抽取 50 名. 则其中学生甲被剔除和被选 取的概率分别是 （ ） A．

1 i

）

1 3 , 1 003 40

B．

1 3 , 1 000 40

C．

25 3 , 1 003 1 003

D．

25 3 , 1 000 1 003

答案：C 错解分析】 【错解分析】此题容易错选为 B，错误原因是对抽样的基本原则理解不透。

-2-

解题指导】 【解题指导】法（一）学生甲被剔除的概率 P = 1

5 C 2 005 3 = , 则学生甲不被剔除的概率为 6 C 2 006 1 003

1

1000 C149999 25 3 1000 × 50 = = ,所以甲被选取的概率 P2 = , 故选 C. 1003 1003 1003 C2 000 1 003

法（二）每位同学被抽到，和被剔除的概率是相等的，所以学生甲被剔除的概率

P= 1

6 3 50 25 = , 甲被选取的概率 P2 = = . 2006 1 003 2006 1 003

【练习 6】在抽查产品的尺寸过程中，将尺寸分成若干组， [a, b ) 是其中的一组，抽查出的个 】 体在该组上的频率为 m，该组上的直方图的高为 h，则 a b =( A．hm B． )

h m

C．

m h

D． h + m

二.填空题 已知一个棱长为 6cm 的正方体塑料盒子(无上盖)， 上口放着一个半径为 5cm 的钢球， 【范例 7】 】 则球心到盒底的距离为 cm. 答案：10 错解分析】 【错解分析】此题容易错填 11，错误原因是空间想象能力不到位。 解题指导】 【解题指导】作出截面图再分析每个量的关系. 【 练 习 7 】 设 P, A, B, C 是 球 O 表 面 上 的 四 个 点 ， PA, PB, PC 两 两 垂 直 ， 且

PA = PB = PC = 1 ，则球的表面积为

.

【 范例 8 】 已知直线 l1 : x + ay + 6 = 和l 2 : ( a 2) x + 3 y + 2a = 0, 则l1 // l 2 的充要条件是

a=

.

答案： a = 1 错解分析】 【错解分析】此题容易错填为-1，3，主要是没有注意到两直线重合的情况。 【解题指导】 l1 // l 2 的充要条件是 A1 B2 A2 B1 = 0 且 A1C 2 A2 C1 ≠ 0 . 解题指导】 【练习 8】已知平面向量 a = (1, m) ， b = ( m 2,3) ，且 a ⊥ b ，则 m = 】
→ →

r

r

.

2 y2 【范例 9】 】已知双曲线 x 2 2 = 1 (a > 0, b > 0) 的左、右焦点分别为 F1 , F2 , 又点P 是双曲线上 a b

一点，且 PF1 ⊥ PF2 , PF1 PF2 = 4ab ,则双曲线的离心率是

.

答案： 5 错解分析】 【错解分析】此题容易漏掉圆锥曲线定义在解题中的应用。 解题指导】 求圆锥曲线的离心率值或范围时， 就是寻求含 a, c 齐次方程或不等式， 同时注意. 【解题指导】 找全 PF1 , PF2 的几个关系， （1）PF1 ⊥ PF2 ,∴ PF12 + PF22 = F1F22 = 4c2 ,（2） PF1 PF2 = 2a ，

PF （2） 式平方可得 PF12 + PF22 2PF1 PF2 = 4a 2 , 所以 4c2 8ab = 4a 2 , （3） 1 PF2 = 4ab 。 将
-3-

所以 b = 2a 。 【练习 9】若双曲线 】 的离心率为

x2 y2 2 2 － 2 =1 的渐近线与方程为 ( x 2) + y = 3 的圆相切，则此双曲线 2 a b ．
x y

【范例 10】点 ( x, y ) 在直线 x + 3 y 2 = 0 上，则 3 + 27 + 3 最小值为 】

.

答案：9 【错解分析】此题主要考查学生对均值不等式的应用，及指数的四则运算。一定要牢记这些 错解分析】 公式。 【解题指导】 3 + 27 + 3 3 + 27 ≥ 2 3 27 解题指导】
x y

x

y

x

y

= 2 3 x +3 y = 6 .
. .

【练习 10】已知 x > 1, y > 1 且 lg x + lg y = 4 则 lg x lg y 最大值为 】
2 【范例 11】函数 f ( x ) = ax + bx + 6 满足条件 f ( 1) = f (3) ,则 f ( 2) 的值为 】

答案：6 错解分析】 【错解分析】此题主要考查二次函数的性质，主要易错在不能很好的应用性质解题。
2 （ 【解题指导】 一）对称轴 x = 1 所以 b = 2a .∴ f ( x ) = ax 2ax + 6, f (2) = 6. 解题指导】

（二）对称轴 x = 1 所以 f (2) = f (0) = 6. 【练习 11】已知二次函数 f (x ) 满足 f (1 + x ) = f (1 x ) ，且 f ( 0) = 0，f (1) = 1 ，若 f ( x ) 】 在区间 [m, n ] 上的值域是 [m, n ] ，则 m ＝ ，n＝ .

，则向量 OA 与 【范例 12】已知向量 OB = ( 2,0) ，OC = ( 2,2) ，CA =（ 2 cos α , 2 sin α ） 】

OB 的夹角范围为
答案：

.

π 5π 12 , 12

【错解分析】此题主要错在不能认识到点 A 的轨迹是一个圆. 错解分析】 【解题指导】 ∵ OC = ( 2 , 2) , OB = ( 2 , 0) ，∴ B ( 2,0), C ( 2,2) 解题指导】 ∵ CA = ( 2 cos α ,

2 sin α ) ， ∴点 A 的轨迹是以 C （2， 为圆心， 2 为半径的圆. 过 2）

原点 O 作此圆的切线，切点分别为 M，N，连结 CM、CN（∠MOB<∠NOB） ，则向量 OA 与 OB 的 夹 角 范 围 是

∠MOB ≤ 〈 OA, OB 〉 ≤ ∠NOB . ∵ OC = 2 2 ， ∴

1 π π | CM | = | CN | = | OC | 知 ∠COM = ∠CON = ，但 ∠COB = . 2 6 4

-4-

∴ ∠MOB

=

π 5π π 5π , ∠NOB = ，故 ≤ 〈 OA, OB 〉 ≤ . 12 12 12 12
D _ M 为 BC 的中点， N _ C _

【练习 12】如图，在正方形 ABCD 中，已知 AB = 2 ， 】

若 N 为正方形内（含边界）任意一点，则 AM AN 的最大值是 三.解答题 【范例 13】已知数列{ an }的前 n 项和 S n = n + 2n , 】
2

.
A _

M _ B _

（1）求数列的通项公式 an ； （2）设 2bn = an 1 ,且 Tn =

1 1 1 1 + + +L ，求 Tn . b1b2 b2b3 b3b4 bnbn +1

（1）在求通项公式时容易漏掉对 n=1 的验证。 【错解分析】 错解分析】 （2）在裂项相消求数列的和时，务必细心。 解:（1）∵Sn=n +2n ∴当 n ≥ 2 时， a n = S n S n 1 = 2n + 1
2

当 n=1 时，a1=S1=3， a n = 2 × 1 + 1 = 3 ,满足上式. 故 a n = 2n + 1, n ∈ N * （2）∵ 2bn = an + 1 , ∴ bn = ∴

1 1 (an 1) = (2n + 1 1) = n 2 2

1 1 1 1 = = bn bn +1 n(n + 1) n n + 1 1 1 1 1 + + +L b1b2 b2b3 b3b4 bnbn +1

∴ Tn =

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = + + +L+ + 1 2 2 3 3 4 n 1 n n n + 1
已知二次函数 y = f (x ) 的图像经过坐标原点， 其导函数为 f ′( x ) = 6 x 2. 数列{ a n } 【练习 13】 】 的前 n 项和为 S n ，点 ( n, S n )( n ∈ N ) 均在函数 y = f (x ) 的图像上.
*

（1）求数列{ a n }的通项公式； （2）设 bn =

3 m * ， T n 是数列{bn } 的前 n 项和，求使得 Tn < 对所有 n ∈ N 都成立 a n a n +1 20

-5-

的最小正整数 m . 【范例 14】已知函数 f ( x ) = sin x + 2 3 sin x cos x + 3cos x ． 】
2 2

（1）求函数 f ( x ) 的单调增区间； （2）已知 f

(α ) = 3 ，且 α ∈ ( 0, π ) ，求 α 的值．
3 sin 2 x + cos 2 x + 2 ＝ 2 sin(2 x +
π )+2． 6

【错解分析】在利用降幂公式两倍角公式时，本身化简就繁琐，所以仔细是非常重要的。 错解分析】 解： （1） f ( x ) = 由

π π π π π + 2k π ≤ 2 x + ≤ + 2k π ，得 + k π ≤ x ≤ + k π ． 2 6 2 3 6 π π ∴函数 f ( x ) 的单调增区间为 [ + k π , + k π ] (k ∈ Z) ． 3 6 π π 1 （2）由 f (α ) = 3 ，得 2 sin(2α + ) + 2 = 3 ．∴ sin(2α + ) = ． 6 6 2 π π π 5π ∴ 2α + = + 2k1π ，或 2α + = + 2k2 π ( k1 , k2 ∈ Z ) ， 6 6 6 6 π π 即 α = k1π 或 α = + k2 π ( k1 , k2 ∈ Z ) ．∵ α ∈ ( 0, π ) ，∴ α = ． 3 3
【 练 习 14 】 在 △ABC 中 ， a, b, c 依 次 是 角 A, B, C 所 对 的 边 ， 且 4sinBsin ( B + )+cos2B=1+ 3 . 2 (1)求角 B 的度数； (2)若 B 为锐角， a = 4 ， sin C =
2

π 4

1 sin B ，求边 c 的长． 2

【范例 15】某工厂制造甲、乙两种产品，已知制造甲产品 1 kg 要用煤 9 吨，电力 4 kw，劳 力(按工作日计算)3 个；制造乙产品 1 kg 要用煤 4 吨，电力 5 kw，劳力 10 个.又知制成甲产 品 1 kg 可获利 7 万元，制成乙产品 1 kg 可获利 12 万元，现在此工厂只有煤 360 吨，电力 200 kw，劳力 300 个，在这种条件下应生产甲、乙两种产品各多少千克，才能获得最大经济效益？ 错解分析】 【错解分析】对于线性规划的题目，首先要认真审题，列出约束条件，及目标函数，这是本 题的重点及难点。 解：设此工厂应生产甲、乙两种产品 x kg、y kg，利用 z 万元，则依题意可得约束条件：

4x＋5y≤200， 3x＋10y≤300， x≥0， y≥0.
利润目标函数为 z＝7x＋12y. 作出不等式组所表示的平面区域，即可行域(如下图). 作直线 l：7x＋12y＝0，把直线 l 向右上方平移至 l1 位置时，直线 l 经过可行域上的点 M 时，此时 z＝7x＋12y 取最大值.

9x＋4y≤360，

-6-

3x＋10y＝300， 解方程组 4x＋5y＝200

得 M 点的坐标为(20,24).

答：应生产甲种产品 20 千克，乙种产品 24 千克，才能获得最大经济效益. 【练习 15】某养鸡场有 1 万只鸡,用动物饲料和谷物饲料混合喂养.每天每只鸡平均吃混合饲 】 料 0.5kg,其中动物饲料不能少于谷物饲料的

1 .动物饲料每千克 0.9 元,谷物饲料每千克 0.28 5

元,饲料公司每周仅保证供应谷物饲料 50000kg,问饲料怎样混合,才使成本最低.

练习题参考答案： 1．C 2．C 3．B 11. m=0 ，n＝1

4．D 5．D 12. 4

6．C

7． 3π

8． 1 ， 3

9．2

10. 4

13. 解： （1）设这二次函数 f ( x) = ax 2 + bx( a ≠ 0), 则f ′( x) = 2ax + b ， 由于 f ′( x ) = 6 x 2 ，得 a = 3, b = 2, 所以f ( x ) = 3 x 2 2 x . 又因为点 (n, S n )( n ∈ N )均在函数y = f ( x ) 的图像上，所以 S n = 3n 2n.
* 2

当 n ≥ 2时, a n = S n S n 1 = (3n 2n) [3( n 1) 2( n 1)] = 6n 5.
2 2

（2）由（1）得知 bn = 故 Tn =

3 3 1 1 1 = = ( ). a n a n +1 (6n 5)[6(n 1) 5] 2 6n 5 6n + 1

1 1 1 1 1 1 1 1 [(1 ) + ( ) + L + ( )] = (1 ). 2 7 7 13 6n 5 6n + 1 2 6n + 1 1 1 m 1 m )< (n ∈ N * )成立的m ，必须且仅须满足 ≤ , 因此，要使 (1 2 6n + 1 20 2 20
-7-

即 m ≥ 10 ，所以满足要求的最小正整数 m 为 10. 14. 解 ：（ 1 ） 由 4sinB sin
2

π B + + 4 2

cos2B

=

1

+

3

得 ：

2sin B[1 cos(

π
2

+ B )] + cos 2 B = 1 + 3
sin B = 3 2

2sin B(1 + sin B ) + 1 2sin 2 B = 1 + 3 ，
Q0 < B < π ∴B =

π
3

或

2π ． 3

（2）法 1：Q B 为锐角

1 3 sin C = sin B = 3 2 4 1 13 由已知得： c = b < b ，角 C 为锐角 ∴ cos C = 2 4 2π 3( 13 + 1) a c 2 13 2 C) = 由正弦定理 = 得： c = ． 可得： sin A = sin( 3 8 sin A sin C 3 1 法 2：由 sin C = sin B 得： b = 2c ，由余弦定理知： (2c)2 = c 2 + 16 8c cos 60o 2 ∴B =
即： 3c 2 + 4c 16 = 0

π

c=

2 ± 2 13 3

2 13 2 ． 3 15. 解 : 设 每 周 需 用 谷 物 饲 料 x kg, 动 物 饲 料 y kg, 每 周 总 的 饲 料 费 用 为 z 元 , 那 么
Qc > 0

∴c =

x + y ≥ 35000 y ≥ 1 x ,而 z=0.28x+0.9y 5 0 ≤ x ≤ 50000 y ≥ 0
如右图所示,作出以上不等式组 所表示的平面区域,即可行域. 作一组平行直线 0.28x+0.9y =t, 其中经过可行域内的点且和原点最近的直线,经过直线 x+y=35000 和直线 y =

1 x 的交点 5

A(

87500 17500 87500 17500 , ) ,即 x = ,y= 时,饲料费用最低. 3 3 3 3
所以,谷物饲料和动物饲料应按 5:1 的比例混合,此时成本最低.

-8-