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2015-2016学年高中数学 第3章 2.1-2.2古典概型的特征和概率计算公式 建立概率模型课时作业(含解析)

时间:2015-11-16

2015-2016 学年高中数学 第 3 章 2.1-2.2 古典概型的特征和概率计 算公式 建立概率模型课时作业 北师大版必修 3

一、选择题 1.下列对古典概型的说法中正确的是( )

①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个; ②每个事件出现的可能性相等; ③每个基本事件出现的可能性相等; ④基本事件总数为 n,若随机事件 A 包含 k 个基本事件,则 P(A)= . A.②④ C.①④ [答案] B [解析] ②中所说的事件不一定是基本事件, 所以②不正确; 根据古典概型的定义及计 算公式可知①③④正确. 2.下列试验是古典概型的是( ) B.①③④ D.③④

k n

A.在适宜的条件下,种下一粒种子,观察它是否发芽 B.口袋里有 2 个白球和 2 个黑球,4 球颜色除外完全相同,从中任取一球 C.向一个圆面内随机投一点,该点落在圆面内任意一点都是等可能的 D.射击运动员向一靶心进行射击,试验结果为:命中 10 环,命中 9 环,??命中 0 环 [答案] B 1 [解析] 对于 A, 发芽与不发芽概率不同; 对于 B, 摸到白球与黑球的概率相同, 均为 ; 2 对于 C,基本事件有无限个;对于 D,由于受射击运动员水平的影响,命中 10 环,命中 9 环,?,命中 0 环的概率不等.因而选 B. 3.从甲、乙、丙三人中任选两名代表,甲被选中的概率是( A. C. 1 2 2 3 B. 1 3 )

D.1

[答案] C [解析] 列举基本事件, 从甲、 乙、 丙三人中任选两名代表可能的结果是(甲、 乙), (甲、

1

丙),(乙、丙),共 3 种;甲被选中的可能结果是(甲、乙),(甲、丙),共 2 种.所以 P(“甲 2 被选中”)= . 3 4.袋中有 2 个红球,2 个白球,2 个黑球,从里面任意摸 2 个小球,下列不是基本事件 的是( ) B.{正好 2 个黑球} D.{至少一个红球}

A.{正好 2 个红球} C.{正好 2 个白球} [答案] D

[解析] 至少一个红球包含:一红一白或一红一黑或 2 个红球,所以{至少一个红球} 不是基本事件,其他事件都是基本事件,故选 D. 5.将一枚质地均匀的硬币先后抛三次,恰好出现一次正面朝上的概率为( A. C. 1 2 3 8 B. D. 1 4 5 8 )

[答案] C [解析] 总事件数为 8 个,分别为:(正,正,正),(正,正,反),(正,反,正),(正, 反,反),(反,正,正),(反,正,反),(反,反,正),(反,反,反).“恰好出现 1 次 正面朝上”的事件为事件 A,包括(正,反,反),(反,正,反)和(反,反,正)3 个.所以, 3 所求事件的概率为 . 8 6.(2015·广东文,7)已知 5 件产品中有 2 件次品,其余为合格品.现从这 5 件产品中 任取 2 件,恰有 1 件次品的概率为( A.0.4 C.0.8 [答案] B [解析] 5 件产品中有 2 件次品,记为 a,b,有 3 件合格品,记为 c,d,e,从这 5 件 产品中任取 2 件,有 10 种,分别是(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d), (b,e),(c,d),(c,e),(d,e),恰有一件次品,有 6 种,分别是(a,c),(a,d),(a, ) B.0.6 D.1

e),(b,c),(b,d),(b,e),设事件 A=“恰有一件次品”,则 P(A)= =0.6,故选 B.
二、填空题 7.盒中有 1 个黑球和 9 个白球,它们除颜色不同外,其他方面没有什么差别,现有 10 个人依次摸出 1 个球, 设第一个摸出的 1 个球是黑球的概率为 P1, 第十个人摸出黑球的概率 是 P10,则 P1 与 P10 的关系是________.

6 10

2

[答案] P10=P1 1 1 [解析] 第一个人摸出黑球的概率为 ,第 10 个人摸出黑球的概率也是 ,所以 P10 10 10 =P1. 8.先后从分别标有数字 1,2,3,4 的 4 个大小,形状完全相同的球中,有放回地随机抽 取 2 个球,则抽到的 2 个球的标号之和不大于 5 的概率等于________. [答案] 5 8

[解析] 基本事件总数为以下 16 种情况: (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3), (3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4), 其中抽到的 2 个球的标号之和不大于 5 的情况有: (1,1)、 (1,2)、 (1,3)、 (1,4)、 (2,1)、 (2,2)、(2,3)、(3,1)、(3,2)、(4,1),共 10 种, 10 5 所以所求概率为 = . 16 8 三、解答题 9.某班数学兴趣小组有男生三名,分别记为 a1、a2、a3,女生两名,分别记为 b1、b2, 现从中任选 2 名学生去参加校数学竞赛. (1)写出这种选法的基本事件空间; (2)求参赛学生中恰有一名男生的概率; (3)求参赛学生中至少有一名男生的概率. [解析] (1)从 3 名男生和 2 名女生中任选 2 名学生去参加校数学竞赛,其一切可能的 结果组成的基本事件空间为 Ω ={(a1,a2),(a1,a3),(a2,a3),(a1,b1),(a1,b2),(a2,

b1),(a2,b2),(a3,b1)(a3,b2),(b1,b2)}.Ω 由 10 个基本事件组成.
(2)用 A 表示“恰有一名参赛学生是男生”这一事件,则 A={(a1,b1),(a1,b2),(a2,

b1),(a2,b2),(a3,b1),(a3,b2)}.
6 事件 A 由 6 个基本事件组成,故 P(A)= =0.6. 10 (3)用 B 表示“至少有一名参赛学生是男生”这一事件, 则 B={(a1, a2),(a1, a3),(a1,

b1),(a1,b2),(a2,a3),(a2,b1),(a2,b2),(a3,b1),(a3,b2)},事件 B 由 9 个基本事件
9 组成,故 P(B)= =0.9. 10 10.将一颗骰子先后抛掷两次,观察向上点数,问: (1)共有多少种不同的结果? (2)两数之和是 3 的倍数的结果有多少?

3

(3)两数之和是 3 的倍数的概率是多少? [解析] (1)本题试验的可能的结果数可用列表法列出如下:

由图可知,试验共有 36 种结果,且每个结果出现的可能性相同. (2)两数之和是 3 的倍数的结果由上表可知共 12 种. 12 1 (3)记事件 A 表示“两数之和是 3 的倍数”,则 P(A)= = . 36 3

一、选择题 1.古代“五行”学说认为“物质分金、木、水、火、土五种属性,金克木,木克土, 土克水,水克火,火克金”,从五种不同属性的物质中随机抽取两种,则抽取的两种物质不 相克的概率为( A. C. 3 10 1 2 ) B. D. 2 5 3 5

[答案] C [解析] 从五种不同属性的物质中随机抽取两种,出现的情况有(金,木),(金,水), (金,火),(金,土),(木,水),(木,火),(木,土),(水,火),(水,土),(火,土) 共 10 种等可能事件,其中金克木,木克土,土克水,水克火,火克金,即相克的有 5 种, 1 则不相克的也有 5 种,所以抽取的两种物质不相克的概率为 ,故应选 C. 2 2.欲寄出两封信,现有两个邮箱供选择,则两封信都投到一个邮箱的概率是( A. C. 1 2 3 4 B. D. 1 4 3 8 )

[答案] A

4

[解析] 可记两封信为 1、2,两个邮箱为甲、乙,则寄出两封信,有两个邮箱供选择, 有以下几种结果: 1 放在甲中,而 2 放在乙中;2 放在甲中,而 1 放在乙中,1、2 均放在甲中;1、2 均放 在乙中.由上可知,两封信都投到一个邮箱的结果数为 2.所以,两封信都投到一个邮箱的 1 概率为 . 2 二、填空题 3.先后抛掷两粒均匀的骰子(它们的六个面分别标有点数 1、2、3、4、5、6),骰子朝 上的面的点数分别为 x、y,则 log2xy=1 的概率为________. [答案] 1 12

[解析] 要使 log2xy=1, 必须满足 2x=y, 即其中一粒骰子向上的点数是另一粒骰子向 上点数的 2 倍,抛掷两粒均匀的骰子,共有 36 种等可能结果,其中构成倍数关系的点数是 3 1 1 与 2、2 与 4、3 与 6 共三种不同情况,故所求概率为 P= = . 36 12 4.现有 5 根竹竿,它们的长度(单位:m)分别为 2.5,2.6,2.7,2.8,2.9,若从中一次随 机抽取 2 根竹竿,则它们的长度恰好相差 0.3m 的概率为________. [答案] 0.2 [解析] “从中一次随机抽取 2 根竹竿”的所有可能结果为(2.5,2.6)、(2.5,2.7)、 (2.5,2.8) 、(2.5 ,2.9)、 (2.6,2.7)、 (2.6,2.8)、 (2.6,2.9)、 (2.7,2.8)、 (2.7,2.9)、 (2.8,2.9), 共 10 种等可能出现的结果, 又“它们的长度恰好相差 0.3m”包括: (2.5,2.8)、 (2.6,2.9)2 种可能结果,由古典概型的概率计算公式可得所求事件的概率为 0.2. 三、解答题 5.(2014·天津文,15)某校夏令营有 3 名男同学 A,B,C 和 3 名女同学 X,Y,Z,其 年级情况如下表: 一年级 男同学 女同学 二年级 三年级

A X

B Y

C Z

现从这 6 名同学中随机选出 2 人参加知识竞赛(每人被选到的可能性相同). (1)用表中字母列举出所有可能的结果; (2)设 M 为事件“选出的 2 人来自不同年级且恰有 1 名男同学和 1 名女同学”,求事件

M 发生的概率.
[分析] 列举出从 6 个不同元素中选出 2 个的所有可能结果, 找出事件“选出的 2 人来 自不同年级且恰有 1 名男同学和 1 名女同学”对应的基本事件, 由古典概型的概率公式求解. [解析] (1)从 6 名同学中随机选出 2 人,共有{(A,B),(A,C),(A,X),(A,Y),(A,
5

Z),(B,C),(B,X),(B,Y),(B,Z),(C,X),(C,Y),(C,Z),(X,Y),(X,Z),(Y, Z)}共 15 种.
(2)M 含基本事件为{(A,Y),(A,Z),(B,X),(B,Z),(C,X),(C,Y)}共 6 种, 6 2 ∴P(M)= = . 15 5 6.用红、黄、蓝三种不同颜色给图中 3 个矩形随机涂色,每个矩形只涂一种颜色,求:

(1)3 个矩形颜色都相同的概率; (2)3 个矩形颜色都不同的概率. [解析] 读懂题意,研究是否为古典概型,列出所有可能情况,找到事件 A 包含的可能 情况,所有可能的情况共有 27 个,如图所示,据图可得结论.

(1)记“3 个矩形都涂同一颜色”为事件 A,由图知,事件 A 的可能情况有 1×3=3 个, 3 1 故 P(A)= = . 27 9 (2)记“3 个矩形颜色都不同”为事件 B,由图可知,事件 B 的可能情况有 2×3=6 个, 6 2 故 P(B)= = . 27 9 7.(2015·湖南文,16)某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额的商品后即可抽 奖.抽奖方法是:从装有 2 个红球 A1,A2 和 1 个白球 B 的甲箱与装有 2 个红球 a1,a2 和 2 个 白球 b1,b2 的乙箱中,各随机摸出 1 个球.若摸出的 2 个球都是红球则中奖,否则不中奖. (1)用球的标号列出所有可能的摸出结果; (2)有人认为:两个箱子中的红球比白球多,所以中奖的概率大于不中奖的概率.你认 为正确吗?请说明理由. [解析] (1)所有可能的摸出结果是: {A1,a1},{A1,a2},{A1,b1},{A1,b2},{A2,

a1},{A2,a2},{A2,b1},{A2,b2},{B,a1},{B,a2},{B,b1},{B,b2}.
(2)不正确,理由如下: 由(1)知,所有可能的摸出结果共 12 种,其中摸出的 2 个球都是红球的结果为{A1,a1}, 4 1 1 2 {A1,a2},{A2,a1},{A2,a2},共 4 种,所以中奖的概率为 = ,不中奖的概率为 1- = 12 3 3 3

6

1 > ,故这种说法不正确. 3

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