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高中数学第一轮复习(教师用)第三章三角函数与解三角形之第八节正弦定理和余弦定理的应用

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第三章 三角函数与解三角形 第八节 正弦定理和余弦定理的应用 能够运用正弦定理、 余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题. ◆ 教材通关 ◆ 实际应用中的常用术语 术语 名称 仰角 与 俯角 术语意义 在目标视线与水平视线所成的角 中,目标视线在水平视线上方的叫 做仰角,目标视线在水平视线下方 的叫做俯角 从某点的指北方向线起按顺时针方 图形表示 方位 角 向到目标方向线之间的水平夹角叫 做方位角.方位角的范围是(0° , 360° ) 例: 正北或正南方向线与目标方向线所 成的锐角,通常表达为北(南)偏东 (西)××度 (1)北偏东 m° : (2)南偏西 n° : 方向 角 坡角 坡面与水平面的夹角 h 设坡角为 α,坡度为 i,则 i= = l tan_α 坡度 坡面的垂直高度 h 和水平宽度 l 的 比 [小题诊断] 1.(2018· 潍坊调研)海面上有 A,B,C 三个灯塔,AB=10 n mile,从 A 望 C 和 B 成 60° 视角,从 B 望 C 和 A 成 75° 视角,则 BC=( A.10 3 n mile ) 10 6 B. n mile 3 C.5 2n mile 答案:D D.5 6n mile 2.如图,一艘船上午 9:30 在 A 处测得灯塔 S 在它的北偏东 30° 的方向, 之后它继续沿正北方向匀速航行,上午 10:00 到达 B 处,此时又测得灯塔 S 在 它的北偏东 75° 的方向,且与它相距 8 2 n mile,则此船的航速是________n mile/h. 解析:设航速为 v n mile/h, 1 v 2 1 8 2 在△ABS 中 AB= v,BS=8 2,∠BSA=45° ,由正弦定理得 = ,则 v=32. 2 sin 30° sin 45° 答案:32 3.江岸边有一炮台高 30 m,江中有两条船,船与炮台底部在同一水平面上,由炮台顶 部测得俯角分别为 45° 和 60° ,而且两条船与炮台底部连线成 30° 角,则两条船相距 ________m. 解析:如图,OM=AO· tan 45° =30(m), ON=AO· tan 30° = 3 ×30=10 3(m), 3 在△MON 中,由余弦定理得, MN= 900+300-2×30×10 3× 3 2 = 300=10 3(m). 答案:10 3 ◆ 易错通关 ◆ 易混淆方位角与方向角的概念: 方位角是指北方向线按顺时针转到目标方向线之间的 水平夹角,而方向角是正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角. [小题纠偏] 若点 A 在点 C 的北偏东 30° ,点 B 在点 C 的南偏东 60° ,且 AC=BC,则点 A 在点 B 的( ) A.北偏东 15° C.北偏东 10° 解析:如图所示,∠ACB=90° , B.北偏西 15° D.北偏西 10° 又 AC=BC,∴∠CBA=45° , 而 β=30° , ∴α=90° -45° -30° =15° . ∴点 A 在点 B 的北偏西 15° . 答案:B 授课提示:对应学生用书第 69 页 考点一 距离问题 自主探究 基础送分考点——自主练透 [题组练通] 1.已知 A,B 两地间的距离为 10 km,B,C 两地间的距离为 20 km,现测得∠ABC= 120° ,则 A,C 两地间的距离为( A.10 km C.10 5 km 解析:由余弦定理可得: AC2=AB2+CB2-2AB×CB×cos 120° 1? =102+202-2×10×20×? ?-2?=700. ∴AC=10 7(km),故选 D. 答案:D 2.已知 A 船在灯塔 C 北偏东 80° 处,且 A 到 C 的距离为 2 km,B 船在灯塔 C 北偏西 40° ,A,B 两船的距离为 3 km,则 B 到 C 的距离为________km. 解析:由条件知,∠ACB=80° +40° =120° , 设 BC=x km 则由余弦定理知 9=x2+4-4xcos 120° , ∵x>0,∴x= 6-1. 答案: 6-1 3. 如图所示, A, B 两点在一条河的两岸, 测量者在 A 的同侧, ) B.10 3 km D.10 7 km 且 B 点不可到达,要测出 A,B 的距离,其方法在 A 所在的岸边选定一点 C,可以测出 A, C 的距离 m,再借助仪器,测出∠ACB=α,∠CAB=β,在△ABC 中,运用正弦定理就可以 求出 AB. 若测出 AC=60 m,∠BAC=75° ,∠BCA=45° ,则 A,B 两点间的距离为________m. 解析:∠ABC=180° -75° -45° =60° , 所以由正弦定理得, AB AC = , sin C sin B AC· sin C 60×sin 45° ∴AB= = =20 6(m), sin B sin 60° 即 A,B 两点间的距离为 20 6m. 答案:20 6 求距离问题的 2 个注意事项 (1)选定或确定要创建的三角形, 首先确定所求量所在的三角形, 若其他量已知则直接求解; 若有未知量,则把未知量放在另一确定三角形中求解. (2)确定用正弦定理还是余弦定理,如果都可用,就选择更便于计算的定理. 考点二 高度问题 互动探究 重点保分考点——师生共研 [典例] (2018· 郑州模拟)如图,一栋建筑物 AB 的高为(30-10 3)米,在该建筑物的正 东方向有一个通信塔 CD,在它们之间的点 M(B,M,D 三点共线)处测得楼顶 A,塔顶 C 的 仰角分别是 15° 和 60° , 在楼顶 A 处测得塔顶 C 的仰角是 30° , 则通信塔 CD 的高为________ 米. 解析:在 Rt△ABM 中,AM= 30-10 3 30-10 3 AB = = =20 6,过点 A 作 AN⊥CD sin 15°

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