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高中数学选修2-1同步解析版教师用书(含答案)第一章 导数及其应用 精选 改好

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高中数学选修 2-1 同步解析版教师用书(含答案)第一章 导数及其应用 高中数学选修 2-1 第一章 导数及其应用 1.1 1.2 [学习目标] 1.函数平均变化率、瞬时变化率的概念. 2.函数平均变化率的求法. 3.导数的概念,会用导数的定义求简单函数在某点处的导数. 变化率问题 导数的概念 知识点一 函数的平均变化率 1.平均变化率的概念 f?x2?-f?x1? 设函数 y=f(x),x1,x2 是其定义域内不同的两个点,那么函数的变化率可用式子 x2-x1 表示,我们把这个式子称为函数 y=f(x)从 x1 到 x2 的平均变化率,习惯上用 Δx 表示 x2-x1, 即 Δx=x2-x1,可把 Δx 看作是相对于 x1 的一个“增量”,可用 x1+Δx 代替 x2;类似地, Δy Δy=f(x2)-f(x1).于是,平均变化率可以表示为 . Δx 2.求平均变化率 求函数 y=f(x)在[x1,x2]上平均变化率的步骤如下: (1)求自变量的增量 Δx=x2-x1; (2)求函数值的增量 Δy=f(x2)-f(x1); Δy f?x2?-f?x1? (3)求平均变化率 = Δx x2-x1 f?x1+Δx?-f?x1? = . Δx 思考 (1)如何正确理解 Δx,Δy? (2)平均变化率的几何意义是什么? 答案 (1)Δx 是一个整体符号,而不是 Δ 与 x 相乘,其值可取正值、负值,但 Δx≠0;Δy 也是一个整体符号,若 Δx=x1-x2,则 Δy=f(x1)-f(x2),而不是 Δy=f(x2)-f(x1),Δy 可为 正数、负数,亦可取零. (2)如图所示: 1 / 155 高中数学选修 2-1 同步解析版教师用书(含答案)第一章 导数及其应用 y=f(x)在区间[x1,x2]上的平均变化率是曲线 y=f(x)在区间[x1,x2]上陡峭程度的“数量化”, Δy? 曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”, ? ?Δx? 越大,曲线 y = f(x) 在区间 [x1 , x2] 上越 “陡峭”,反之亦然. 平均变化率的几何意义是函数曲线上过两点的割线的斜率,若函数 y = f(x)图象上有两点 A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2)),则 f?x2?-f?x1? =kAB. x2-x1 知识点二 瞬时速度与瞬时变化率 把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.做直线运动的物体,它的运动规律可以用函数 s= s(t)描述,设 Δt 为时间改变量,在 t0+Δt 这段时间内,物体的位移(即位置)改变量是 Δs= s(t0+Δt)-s(t0),那么位移改变量 Δs 与时间改变量 Δt 的比就是这段时间内物体的平均速度 v ,即 v = Δs s?t0+Δt?-s?t0? = . Δt Δt 物理学里,我们学习过非匀速直线运动的物体在某一时刻 t0 的速度,即 t0 时刻的瞬时速度, 用 v 表示,物体在 t0 时刻的瞬时速度 v 就是运动物体在 t0 到 t0+Δt 这段时间内的平均变化 s?t0+Δt?-s?t0? s?t0+Δt?-s?t0? Δs 率 在 Δt→0 时的极限,即 v= lim = lim .瞬时速度就是位移 → → Δt Δt Δt 0 Δt Δt 0 函数对时间的瞬时变化率. 思考 (1)瞬时变化率的实质是什么? (2)平均速度与瞬时速度的区别与联系是什么? 答案 (1)其实质是当平均变化率中自变量的改变量趋于 0 时的值,它是刻画函数值在某处 变化的快慢. (2)①区别:平均变化率刻画函数值在区间[x