nbhkdz.com冰点文库

2014年高考数学真题汇编(含答案):平面向量

时间:2015-03-06


2014 年全国高考理科数学试题分类汇编(纯 word 解析版) 五、平面向量(逐题详解)
第 I 部分 1.【2014 年重庆卷(理 04) 】已知向量 a ? (k ,3), b ? (1, 4), c ? (2,1) ,且 (2a ? 3b) ? c , 则实数 k =( )

A. ?

9 2

B.0

C. 3

D.

15 2

【答案】C 【解析】由已知 (2a ? 3b) ? c ? 0 ? 2a ? c ? 3b ? c ? 0 ,即

2(2k ? 3) ? 3(2 ?1 ? 4 ?1) ? 0 ? k ? 3 ,选择 C

2.【2014 年福建卷(理 08) 】在下列向量组中,可以把向量 =(3,2)表示出来的是( A. =(0,0) , =(1,2) B. =(﹣1,2) ,



=(5,﹣2)

C.

=(3,5) ,

=(6,10)

D.

=(2,﹣3) ,

=(﹣2,3)

【答案】B 【解析】 根据 ,

选项 A: (3,2)=λ (0,0)+μ (1,2) ,则 3=μ ,2=2μ ,无解,故选项 A 不能; 选项 B: (3,2)=λ (﹣1,2)+μ (5,﹣2) ,则 3=﹣λ +5μ ,2=2λ ﹣2μ ,解得,λ =2, μ =1,故选项 B 能. 选项 C: (3,2)=λ (3,5)+μ (6,10) ,则 3=3λ +6μ ,2=5λ +10μ ,无解,故选项 C 不能. 选项 D: (3,2)=λ (2,﹣3)+μ (﹣2,3) ,则 3=2λ ﹣2μ ,2=﹣3λ +3μ ,无解,故选 项 D 不能.故选:B

1

3. 【2014 年全国新课标Ⅱ (理 03) 】 设向量 a,b 满足|a+b|= 10 , |a-b|= 6 , 则 a? b = ( A. 1 B. 2 C. 3 D. 5

)

【答案】A 【解析】

?| a + b |= 10, | a - b |= 6,, ∴ a + b + 2ab = 10, a + b - 2ab = 6, 联立方程解得 ab = 1, 故选A.

2

2

2

2

b?c ? 0 , 4. 【2014 年辽宁卷 (理 05) 】 设 a, b, c 是非零向量, 学科 网已知命题 P: 若 a ?b ? 0 ,
则 a ? c ? 0 ;命题 q:若 a / /b, b / / c ,则 a / / c ,则下列命题中真命题是( )

A. p ? q

B. p ? q

C. (?p) ? (?q)

D. p ? (?q )

【答案】A 【解析】若 ? =0, ? =0,则 ? = ? ,即( ﹣ ) ? =0, 则 ? =0 不一定成立,故命题 p 为假命题, 若 ∥ , ∥ ,则 ∥ 平行,故命题 q 为真命题, 则 p∨q,为真命题,p∧q, (¬p)∧(¬q) ,p∨(¬q)都为假命题,故选:A

5.【2014 年全国大纲卷(04) 】若向量 a, b 满足: | a |? 1 , (a ? b) ? a , (2a ? b) ? b ,则

| b |? (
A.2 【答案】B



B. 2

C.1

D.

2 2

【解析】由题意可得, ( + ) ? = (2 + ) ? =2 +

+

=1+
2

=0,∴

=﹣1; ,故选:B

=﹣2+

=0,∴b =2,则| |=

2

6.【2014 年广东卷(理 05) 】已知向量 a ? ?1,0, ?1? , 则下列向量中与 a 成 60 ? 夹角的是 A.(-1,1,0) 【答案】B 【解析】∵ a ? (1, 0, ?1) ,设所求向量为 b ? ( x, y, z) ,由题意得: a ? b ?| a || b | cos 60 , ∴ b ? (1, ?1, 0) .故选 B. B. (1,-1,0) C. (0,-1,1) D. (-1,0,1)

7.【2014 年上海卷(理 16) 】 如图,四个棱长为 1 的正方体排成一个正四棱柱, AB 是一条 侧棱, P i (i ? 1, 2 , 不同值的个数为

, 8) 是上底面上其余的八个点,则 AB ? AP i (i ? 1, 2,
( )

, 8) 的

(A) 1 .

(B) 2 .(C) 4 .

(D) 8 .

【答案】A

AB 乘以 APi 在 AB 方向上的投影, 【解析】 :根据向量数量积的几何意义, AB ? AP i 等于
1 而 APi 在 AB 方向上的投影是定值, AB 也是定值,∴ AB ? AP i 为定值 ,∴选 A

8.【2014 年浙江卷(理 08) 】记 max{x , y} ? ?

? x( x ? y ) ? y( x ? y) , min{x , y} ? ? ,设 ? y( x ? y) ? x( x ? y )

a 、 b 为平面向量,则 A. min{| a ? b | , | a ? b |} ? min{| a | , | b |} B. min{| a ? b | , | a ? b |} ? min{| a | , | b |}
C. min{| a ? b | , | a ? b | } ?| a | ? | b |
2 2 2 2 2 2 2 2

D. min{| a ? b | , | a ? b | } ?| a | ? | b |

【答案】D 【解析】对于选项 A,取 ⊥ ,则由图形可知,根据勾股定理,结论不成立; 对于选项 B,取 , 是非零的相等向量,则不等式左边 min{| + |,| ﹣ |}= , 显然,不等式不成立;
3

对于选项 C,取 , 是非零的相等向量,则不等式左边 max{| + | ,| ﹣ | }=| + | =4
2 2

2

,而不等

式右边=| | +| | =2

2

2

, 显然不成立. 由排除法

可知,D 选项正确.故选:D

9.【2014 年四川卷(理 07) 】平面向量 a ? (1, 2) , b ? (4, 2) , c ? ma ? b ( m ? R ) ,且 c 与 a 的夹角等于 c 与 b 的夹角,则 m ?

A. ?2

B. ?1

C. 1

D. 2

【答案】D 【解析 1】 c ? (m ? 4, 2m ? 2) 因为 cos c, a ? 又 | b |? 2 | a | 所以 2c ? a ? c ? b 即 2[(m ? 4) ? 2(2m ? 2)] ? 4( m ? 4) ? 2(2m ? 2) ? m ? 2

c?a c ?b c?a c ?b , cos c, b ? ,所以 , ? | c |?| a | | c |?| b | | c |?| a | | c |?| b |

【解析 2】由几何意义知 c 为以 ma , b 为邻边的菱形的对角线向量, 又 | b |? 2 | a | 故 m ? 2

10.【2014 年天津卷(理 08) 】已知菱形 ABCD 的边长为 2 , ?BAD ? 120? ,点 E 、 F 分 别在边 BC 、 DC 上, BE ? ? BC , DF ? ? DC .若 AE ? AF ? 1 , CE ? CF ? ?

??? ?
A.

2 ,则 3

1 2

B.

2 3

C.

5 6

D.

7 12

【答案】C 【解析】 建立如图所示的坐标系,则 A(-1,0),B(0,- 3),C(1,0),D(0, 3).设

?x1=λ , E(x1,y1),F(x2,y2).由 BE=λ BC 得(x1,y1+ 3)=λ (1, 3),解得? ?y1= 3(λ -1),

4

即点 E(λ , 3(λ -1)).由=μ 得(x2,y2- 3)=μ (1,- 3),解得?

?x2=μ , ?y2= 3(1-μ ),

即点 F(μ , 3(1-μ )).又∵AE·AF=(λ +1, 3(λ -1))·(μ +1, 3(1-μ ))=1, ① =(λ -1, 3(λ -1))·(μ -1, 2 5 3(1-μ ))=- .②①-②得λ +μ = . 3 6

第 II 部分 11.【2014 年陕西卷(理 13) 】设 0 ? ? ? 若 a // b ,则 tan ? ? _______.

?
2

cos ? ?, b ? ? cos ? , 1? , ,向量 a ? ? sin 2? ,

?

?

【答案】 【解析】

1 2

1 ? a = (sin 2θ, cos θ), b = (cos θ,1)., a // b ∴ sin 2θ = cos 2 θ即2 sin θ cos θ = cos 2 θ, 解得 tan θ = . 2

12.【2014 年湖南卷(理 16) 】在平面直角坐标系中, O 为原点, A(?1 , 0) , B( 0 , 3 ) ,

C (3 , 0) . 动点 D 满足 | CD |? 1 ,则 | OA? OB ? OD | 的最大值是_________.
【答案】 1 ? 7

【解析】动点 D 的轨迹为以 C 为圆心的单位圆,则设为 ? 3 ? cos ? ,sin ? ? ? ? ? 0, 2? ? , 则 OA ? OB ? OD ?

?

?

? 3 ? cos ? ? 1?

2

? sin ? ? 3

?

?

2

? 8 ? 2 7 sin(? ? ? ) ,

所以 OA ? OB ? OD 的最大值为 8 ? 2 7 ?
2 2

7 ? 1 ,故填 1 ? 7 .

或由题求得点 D 的轨迹方程为 ( x ? 3) ? y ? 1 , 数形结合求出 OA ? OB ? OD 的 最大值即为点

(1, ? 3 ) 到轨迹上的点最远距离( 到圆心的距离加半径) .

5

13. 【2014 年全国新课标Ⅰ (理 15) 】 已知 A, B, C 是圆 O 上的三点, 若 AO ? 则 AB 与 AC 的夹角为 【答案】 : 90
0

1 ( AB ? AC ) , 2

.

【解析】 :∵ AO ?
0

1 ( AB ? AC ) ,∴O 为线段 BC 中点,故 BC 为 O 的直径, 2
0

∴ ?BAC ? 90 ,∴ AB 与 AC 的夹角为 90 。

14.【2014 年湖北卷(理 11) 】设向量 a ? (3,3) , b ? (1, ?1) ,若 a ? ? b ? a ? ?b ,则 实数 ? ? ________.

?

? ?

?

【答案】 3 【解析】因为 a ? ? b ? (3 ? ?,3 ? ?) , a ? ? b ? (3 ? ?,3 ? ? ) , 因为 (a ? ? b) ? (a ? ? b) ,所以 (3 ? ? )(3 ? ? ) ? (3 ? ? )(3 ? ? ) ? 0 ,解得 ? ? 3

15. 【 2014 年江西卷(理 14 ) 】已知单位向量 e1 与 e2 的夹角为 ? ,且 cos? ?

1 ,向量 3

a ? 3e1 ? 2e2 与 b ? 3e1 ? e2 的夹角为 ? ,则 cos ? =
rr ab Q cos ? ? r r a b r2 1 a ? 9 ? 4 ? 2 ? 3? 2 ? ? 9 3 r 1 【解析】 b ? 9 ? 1 ? 2 ? 3 ? 1? ? 8 3 rr 1 ab ? 9 ? 2 ? 9 ? 1? 1? ? 8 3 8 2 2 ? cos ? ? ? 3 3? 2 2

【答案】

2 2 3

6

16.【 2014 年江苏卷(理 12 ) 】如图,在平行四边形 ABCD 中,已知 AB ? 8, AD ? 5 ,

CP ? 3PD, AP ? BP ? 2 ,则 AB ? AD 的值是

. P

【答案】22 【 解 析 】 以 AB, AD 为 基 底 , 因 为

D

C

CP ? 3PD, AP ? BP ? 2 ,
AP ? AD ? DP ? AD ?

A

B

1 3 AB , BP ? BC ? CP ? AD ? AB 4 4 2 2 1 3 1 3 AB 则 AP ? BP ? 2 ? ( AD ? AB ) ? ( AD ? AB ) ? AD ? AD ? AB ? 4 4 2 16 3 1 ? 64 ? AB ? AD ,故 AB ? AD ? 22 因为 AB ? 8, AD ? 5 则 2 ? 25 ? 16 2

b 满足 a ? 1 ,b ? ? 2,1? , 17. 【2014 年北京卷 (理 10) 】 已知向量 a 、 且 ? a ?b ? 0 ? ? ? R


?,

? ? ________.

【答案】 【解析】 设 = (x, y) . ∵向量 , 满足| |=1, = (2, 1) , 且 + = (λ ∈R) , ∴ =

λ (x,y)+(2,1)=(λ x+2,λ y+1) ,∴

,化为λ =5.

2

解得

.故答案为:

18.【2014 年安徽卷(理 15) 】已知两个不相等的非零向量 a,b,两组向量 x1,x2,x3,x4, x5 和 y1, y2 , y3 , y 4, y5 均由 2 个 a 和 3 个 b 排列而成. 记 S ? x1· y1 ? x2· y2 ? x3· y 3 ? x4 · y4 ? x 5 · y5,

S min 表示 S 所有可能取值中的最小值.则下列命题的是_______(写出所有正确命题的编
号) . ① S 有 5 个不同的值 ②若 a ? b,则 S min 与|a|无关 ③若 a//b,则 S min 与|b|无关

7

④若|b| ? ⑤若|b| ?

4 |a|,则 S min ? 0 2 |a|, S min ? 8 |a| 2 ,则 a 与 b 的夹角为
? . 4

【答案】②④
2 2 2 2 2 2 2 2 【解析】 S 的所有可能情况是 “有 2 个 a ” : S1 ? a + a + b + b + b ? 2 |a| + 3 |b|

“仅有 1 个 a ” : S 2 ? a + a·b + b·a + b + b ? |a| + 2 |b| + 2 a·b
2 2 2 2 2 2

“无 a ” : S 3 ? 4 a·b + b ? |b| + 4 a·b 因此, S 只有 3 个不同的值,①错误
2 2 2

由上可知: S1 ? S 2 ? ( a—b ) ?| a—b | ? 0 ;
2 2

S 2 ? S3 ? ( a—b ) 2 ?| a— b |2 ? 0 ? S1 ? S 2 ? S3
因此, S min ? S3 ? |b| 与|a|无关,②正确,③错误
2

若|b| ?

4 |a|, Smin ? S3 ? |b| 2 + 4 a·b ? |b| 2 + 4 |a||b| cos ? a,

b ?? |b| 2 ? 4 |a||b| ? |b| ( |b| ? 4 |a| ) ? 0 ,④正确

若|b| ?

2 |a|, Smin ? S3 ? |b| 2 + 4 a·b ? |b| 2 + 4 |a||b| cos ? a,b ?? 8 |a| 2
1 ? ,则 a 与 b 的夹角为 , 3 2

? cos ? a,b ?? ( 8 |a| 2 —|b| 2 )/( 4 |a||b|) ?
⑤错误综上所述,②④正确

第 III 部分 19.【2014 年陕西卷(理 18) 】 (本小题满分 12 分) 在直角坐标系 xOy 中,已知点 A(1,1), B(2,3), C (3,2) ,点 P ( x, y ) 在 ?ABC 三边围成的 区域(含边界)上 (1)若 PA ? PB ? PC ? 0 ,求 OP ; (2)设 OP ? m AB ? n AC(m, n ? R) ,用 x, y 表示 m ? n ,并求 m ? n 的最大值.

8

解(I)解法一 ?

PA ? PB ? PC ? 0,

又 PA? PB ? PC ? (1 ? x, 1- y) ? (2 ? x,3 ? y) ? (3 ? x,2 ? y) =(6-3x,6-3y) ,

?6 ? 3x ? 0, ?? ?6 ? 3 y ? 0,

解得 x=2,y=2,

即 OP ? (2,2),故 OP ? 2 2. 解法二

?

PA ? PB ? PC ? 0,

?? ? 1 2), ? OP ? ?OA ? OB ? OC ? ? (2, 3
? OP ? 2 2.
(II)? OP ? m AB ? n AC,

则 OA ? OP ? OB ? OP ? OC ? OP ? 0,

?

??

? (x,y)=(m+2n,2m+n),
? x ? m ? 2n, ? ? ? y ? 2m ? n,
两式相减得,m-n=y-x, 令 y-x=t,由图知,当直线 y=x+t 过点 B(2,3)时,t 取得最大值 1, 故 m-n 的最大值为 1.

9


2014年高考数学真题汇编(含答案):平面向量_图文.doc

2014年高考数学真题汇编(含答案):平面向量 - 2014 年全国高考理科数学

2014高考平面向量试题汇编(带答案).pdf

2014高考平面向量试题汇编(带答案)_高一数学_数学_高中教育_教育专区。2014 高考试题汇编平面向量 1、 【2014 安徽(文) 】设 a , b 为非零向量, b ? ...

2014年高考数学真题汇编(含答案):平面向量.doc

2014年高考数学真题汇编(含答案):平面向量 - 2014 年全国高考理科数学

2014年高考理科数学真题汇编 5平面向量.doc

2014年高考理科数学真题汇编 5平面向量 - 2014 年高考数学试题汇编 平面向量 一.选择题 1. (2014 大纲)若向量 a, b 满足: a ? 1, a ? b ? a, 2a ...

2014年高考数学试题分类汇编_平面向量_word版含答案.doc

2014年高考数学试题分类汇编_平面向量_word版含答案_高考_高中教育_教育专区。2014年数学高考试题分类:平面向量分类 2014 年高考数学试题汇编 平面向量一.选择题 1....

2014年高考数学真题分类汇编 平面向量.doc

2014年高考数学真题分类汇编 平面向量 - 数 F 单元 平面向量 学 F1 平面向量的概念及其线性运算 5. 、[2014 辽宁卷] 设 a,b,c 是非零向量,已知命题 p...

2014高考数学真题汇编平面向量_图文.doc

2014高考数学真题汇编平面向量 - 2014 高考数学真题汇编平面向量 考点 1 平面向量的概念及其线性运算 1.平面向量 a=(1,2),b=(4,2),c=ma+b(m∈R),且 c...

2014年高考数学真题分类汇编文科-平面向量(文科).doc

2014年高考数学真题分类汇编文科-平面向量(文科) - 一、选择题 1. (2

2014年高考数学试题分类汇编平面向量.doc

2014年高考数学试题分类汇编平面向量 - 平面向量 1、设 a,b,c 是非零

2014年高考数学(理)真题分类汇编:平面向量.doc

一:∵PA+PB+PC=0, →→→又PA+PB+PC=(1-x,1-y)+(2-x,3-y)+(3-x,2-y)=(6-3x,6-3y), 2 2014 年高考数学(理)真题分类汇编:平面向量 ?...

高考数学(文)真题、模拟新题分类汇编:平面向量【含解析】.doc

高考数学()真题、模拟新题分类汇编:平面向量【含解析】 - F 单元 平面向量 F1 平面向量的概念及其线性运算 5. 、[2014辽宁卷] 设 a,b,c 是非零向量,...

...题分类汇编 F单元 平面向量(文科2014年)含答案.doc

2018版高考复习方案(数学)-历年高考真题与模拟题分类汇编 F单元 平面向量(文科2014年)含答案 - 数 F 单元 平面向量 F1 学 平面向量的概念及其线性运算 10.F1 ...

【江苏高考11年】2004-2014年高考数学真题分类汇编(精....doc

【江苏高考11年】2004-2014年高考数学真题分类汇编(精编4)平面向量 - 平面向量 一、选择填空题 1.(江苏 2003 年 5 分)O 是平面上一定点, A、B、C 是平面...

2014年高考数学文科(高考真题+模拟新题)分类汇编:F单元....doc

2014年高考数学文科(高考真题+模拟新题)分类汇编:F单元 平面向量_高考_高中教育_教育专区。数 F 单元 平面向量 学 F1 平面向量的概念及其线性运算 10. [2014...

专题09 平面向量三年高考(2015-2017)数学(文)真题汇编).doc

专题09 平面向量三年高考(2015-2017)数学()真题汇编) - 【2017 年高考题】 n<0”的 1.【2017 北京,文 7】设 m, n 为非零向量,则“存在负数 ? ,...

精美编排-历届高考数学真题汇编专题7_平面向量最新模拟....doc

精美编排-历届高考数学真题汇编专题7_平面向量最新模拟_理-含答案 - 【高考真题与模拟题汇编】 平面向量最新模拟 理 1、 (滨州二模)在△ABC 中,若 AB=1,AC=...

专题5 平面向量-2014届高三名校数学(理)试题解析分项汇编.doc

专题5 平面向量-2014高三名校数学()试题解析分项汇编_数学_高中教育_教育...一.基础题组 1.【河北省唐山市 2013-2014 学年度高三年级摸底考试理科】已知...

【山东8年高考】2007-2014年高考数学真题分类汇编(名师....doc

【山东8年高考】2007-2014年高考数学真题分类汇编(名师整理):平面向量_高考_...( 2、 (07 山东文 5)已知向量 a ? (1 A. 1 答案:C 3.(2009 山东卷...

2016年高考数学文试题分类汇编:平面向量 Word版含答案.doc

2016年高考数学试题分类汇编:平面向量 Word版含答案_高考_高中教育_教育专区。高考数学分类汇编 2016 年高考数学试题分类汇编 平面向量一、选择题 1、(2016 年...

...版数学高考真题与模拟题分类汇编 f单元 平面向量(理....doc

历年全国人教版数学高考真题与模拟题分类汇编 f单元 平面向量(理科2015年) 含答案 - 数 F 单元 平面向量 F1 学 平面向量的概念及其线性运算 13. F1 设向量 a...