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新课标高考数学易错题解题方法大全(4)

时间:2010-08-19


10 高考数学易错题解题方法大全(4)
一.选择题 【范例 1】掷两颗骰子得两数,则事件“两数之和大于 4”的概率为( 】 A. )

1 6

B.

1 2

C.

2 3

D.

5 6

答案:D 错解分析】 【错解分析】此题主要考查用枚举法计算古典概型。容易错在不细心而漏解。 解题指导】 【解题指导】求古典概型的概率常采用用枚举法,细心列举即可。 【 练习 1】 矩形 ABCD 中, AB = 6, CD = 7 ,在矩形内任取一点 P ,则 ∠APB > π 的概率为 】 2 ( A. 1 )

3π 28

B.

3π 28
0

C.

3π 14

D. 1

3π 14

【范例 2】将锐角为 ∠BAD = 60 且边长是 2 的菱形 ABCD ,沿它的对角线 BD 折成 60°的 】 二面角,则( ) ①异面直线 AC 与 BD 所成角的大小是 . ②点 C 到平面 ABD 的距离是 A.90°, .

3 2

B.90°, 2

C.60°,

3 2

D.60°,2

答案:A 错解分析】 。 【错解分析】此题容易错选为 C,错误原因是对空间图形不能很好的吃透。 【 解 题 指 导 】 设 BD 中 点 为 O , 则 有 BD ⊥ 平面AOC , 则 BD ⊥ AC . 及 平 面

ABD ⊥ 平面AOC .且 AOC 是边长为 3 的正三角形,作 CE ⊥ AO ,则 CE ⊥ 面ABD ,
于是异面直线 BD与AC 所成的角是 90°,点 C 到平面 ABD 的距离是 CE =

3 . 2

【练习 2】长方体 ABCD—A1B1C1D1 中,AB=AA1=2,AD=1,E 为 CC1 的中点,则异面直线 BC1 与 AE 】 所成角的余弦值为( ) C

B

A.

10 10

B.

30 10

C.

60 10

D.

3 10 10

D

A B1

【范例 3】已知 P 为抛物线 y = 】

1 2 x 上的动点,点 P 在 x 轴 2 17 上的射影为 M,点 A 的坐标是 (6, ) ,则 PA + PM 的最小 2
) B 8

C1 D1

A1

值是( A

19 2

C

10

D

21 2

答案:B

-1-

【错解分析】此题容易错选为 C,在解决抛物线的问题时经常需要把到焦点的距离和到准线的 错解分析】 距离互相转化。
2 【 解 题 指 导 】 抛 物 线 x = 2 y 的 焦 点 为 F 0,



1 ,点 P 到准线的距离为 d。则 2

PA + PM = PA + d AF 1 19 = . 2 2

1 1 = PA + PF , 所 以 当 P , A , F 三 点 共 线 时 最 小 为 2 2

【练习 3】 】 已知定点 A(3,4) , P 为抛物线 y 2 = 4 x 上一动点, P 到直线 x = 1 的距离为 d , 点 点 则|PA|+d 的最小值为( A.4 B. 2 5 ) C.6 D. 8 2 3

函数 f ( x) = sin x + 2 sin x , x ∈ [0,2π ] 的图象与直线 y = k 有且仅有两个不同的交 【范例 4】 】 点,则 k 的取值范围是( A. k 1 < k < 3 答案:C 【 错 解 分 析 】 此 题 容 易 错 选 为 A , 错 误 原 因 是 对 函 数 f (x ) 不 能 合 理 的 化 为 )

{

}

B. k 1 ≤ k ≤ 3

{

}

C. k 1 < k < 3

{

}

D. k 1 ≤ k < 3

{

}

3sin x, x ∈ [0, π] f ( x) = sin x + 2 sin x = 。 sin x, x ∈ (π, 2π]
【解题指导】作函数 f (x ) 和直线 y = k 的草图,借助数形结合,可得, 1 < k < 3 . 解题指导】 【练习 4】函数 f ( x ) = sin x 在区间 [a, b ] 上是增函数,且 f ( a ) = 1, f (b) = 1, 则 cos 】 值为( A. 0 ) B.
a+b 的 2

2 C. 1 D. -1 2 【范例 5】平面上有 n 个圆,其中每两个都相交于两点,每三个都无公共点,它们将平面分成 】 f (n) 块区域,有 f (1) = 2, f (2) = 4, f (3) = 8, f (4) =14 ,则 f (n) 的表达式为( )

A、2 n

B、n n + 2
2

C、2 n ( n 1)( n 2)(n 3)

D、n 5n + 10n 4
3 2

答案:B 【错解分析】此题容易错选为 A,错误原因是在作归纳猜想时没有认真审题只看到

f (1) = 2, f (2) = 4, f (3) = 8, 导致结论太片面且不合理。
由 猜想f (n + 1) f (n) = 2n 【解题指导】 f (2) f (1) = 2, f (3) f (2) = 4, f (4) f (3) = 6,L , 解题指导】
2 利用累加法,得 f ( n) = n n + 2 .

-2-

【练习 5】古希腊数学家把数 1,3,6,10,15,21,……叫做三角数,它有一定的规律性, 】 第 30 个三角数与第 28 个三角数的差为( ) A. 20 B. 29 C. 30 D. 59 【范例 6】函数 f(x)=3 (x≤2)的反函数的定义域是( 】 A. (∞,9] 答案:C 【错解分析】此题容易错选为 D,错误原因是对原函数与反函数理解不透。 错解分析】 【解题指导】反函数的定义域即为原函数的值域,所以求原函数的值域即可。 解题指导】 【练习 6】若函数 f(x)的反函数 f 】 A.1 二.填空题 B.-1
1
x



B. [9, +∞)

C. (0, 9]

D. (0, +∞ )

( x) = 1 + x 2 ( x < 0), 则 f (2) = (
D.5



C.1 或-1

x 【范例 7】若 A = {x ∈ Z | 2 ≤ 2 ≤ 8}, B = {x ∈ R | log 2 x > 1} ,则 A ∩ B = 】

.

答案: {3}

, 【错解分析】此题容易错填为 (1 3] ,错误原因是没有看清楚 A 中的元素要是整数。 错解分析】 1 【解题指导】 A = { ,2,3}, B = x x > 2 解题指导】
【练习 7】已知集合 A = x ∈ N | 】 【范例 8】给出下列命题 】 ① 向量 a、 满足 a = b = a b ,则 a与a + b 的夹角为 30 ; b
0

{

}
个.



8 ∈ N ,集合 A 的子集共有 6 x

r r

r

r

r r

r r r

② a b >0,是 a、 的夹角为锐角的充要条件; b ③ 将函数 y = x 1 的图象按向量 a =(-1,0)平移, 得到的图象对应的函数表达式为 y = x ; ④ 若 ( AB+ AC) ( AB AC ) = 0 ,则 ABC 为等腰三角形; 以上命题正确的是 (注:把你认为正确的命题的序号都填上) 答案:③④ 错解分析】 【错解分析】此题容易错选为①②,错误原因是对一些特殊情况考虑不周到。 解题指导】 【解题指导】利用向量的有关概念,逐个进行判断切入, 对于 ① 取特值零向量错误,若前提为非零向量由向量加减法的平行四边形法则与夹角的概 念正确; 对②取特值夹角为直角错,认识数量积和夹角的关系,命题应为 a b >0,是 a、 的夹 b 角为锐角的必要条件; 对于③,注意按向量平移的意义,就是图象向左移 1 个单位,结论正确;
→ →
→ →

r r

r r

-3-

对于④;向量的数量积满足分配率运算,结论正确. 【练习 8】已知 a = ( 】

r

r r r 1 3 , ) , b = (1, 3) ,则 | a + tb | (t ∈ R ) 的最小值等于 2 2

.

2 1 【 范例 9】 已知抛物线 y = 2 px( p > 0)上一点M( ,m) 到其焦点的距离为 5,双曲线 】

x2

y2 = 1 的左顶点为 A,若双曲线一条渐近线与直线 AM 垂直,则实数 a = a
1 4

.

答案:

【错解分析】此题容易错在抛物线不能求对,下面就无法解决了。 错解分析】
2 【解题指导】抛物线为 y = 16 x , m = ±1 ,渐进线为 y = ± a x . 解题指导】

一个酒杯的轴截面是抛物线的一部分, 它的方程是 x 【练习 9】 】

2

= 2 y (0 ≤ y ≤ 20) . 在杯内
. .

放入一个玻璃球,要使球触及酒杯底部,则玻璃的半径 r 的范围为 【范例 10】若 ( x + 】

1 n ) 展开式的二项式系数之和为 64,则展开式的常数项为 x

答案:20 错解分析】 【错解分析】此题容易错在找不对第几项是常数项,对二项展开式的基本性质还要掌握好。 【解题指导】 2 = 64, n = 6, 常数项为C6 = 20 . 解题指导】
n 3

【练习 10】若 ( x 】

1 n ) 的展开式中第三项系数等于 6,则 n 等于 11

.

【范例 11】如果复数 (1 + ai )( 2 + i ) 的实部和虚部相等,则实数 a 等于 】 答案:

.

1 3
2

【错解分析】此题容易错写 1,切记: i = 1 。 错解分析】 【解题指导】 (1 + ai )( 2 + i ) = ( 2 a ) + (1 + 2a )i . 解题指导】 【练习 11】设 z = a + bi, a, b ∈ R z = a + bi ,将一个骰子连续抛掷两次,第一次得到的点数 】 为 a ,第二次得到的点数为 b ,则使复数 z 2 为纯虚数的概率为 .

已知函数 f (x) = mx2 + ln x 2x 在定义域内是增函数,则实数 m 的取值范围为____. 【范例 12】 】
1 答案: m≥ 。 2 1 ' 【错解分析】此题容易错填 m > 等,错误原因是对利用 f > 0 求解。 错解分析】 2

-4-

【解题指导】注意区别不等式有解与恒成立: 解题指导】

a > f ( x ) 恒 成 立 a > f m ax ( x ) ;

a < f ( x)恒成立 a < f min ( x) ;
a < f ( x )有解 a < f max ( x)

a > f ( x )有解 a > f min ( x) ;
f / ( x) = 2mx +
1 所以 m≥ . 2

1 1 1 1 1 2 ≥ 0 在 (0,+∞ ) 上恒成立, m ≥ 2 + , 所以 m ≥ ( 2 + ) max x x x 2x 2x

【 练 习 12 】 已 知 函 数 f ( x ) 的 导 函 数 f ( x ) = 2 x 9 , 且 f (0) 的 值 为 整 数 , 当
'

x ∈ (n, n + 1] (n ∈ N * ) 时, f ( x) 的值为整数的个数有且只有 1 个,则 n =
三.解答题 【 范 例 13 】 设 数 列 {a n } 的 前 n 项 和 为 S n = 2n ,
2

.

{bn } 为 等 比 数 列 , 且

a1 = b1 , b2 (a 2 a1 ) = b1 .
(1)求数列 {a n } 和 {bn } 的通项公式; (2)设 c n =

an ,求数列 {c n } 的前 n 项和 Tn 。 bn

( 【错解分析】 1)求数列 {an } 的通项公式时,容易遗忘对 n=1 情况的检验。 错解分析】 (2)错位相减法虽然是一种常见方法,但同时也是容易出错的地方,一定要仔细。 解: (1)当 n = 1 时, a1 = S1 = 2;

当n ≥ 2时, a n = S n S n 1 = 2n 2 2( n 1) 2 = 4n 2,
故 {a n } 的通项公式为 a n = 4n 2, 即{a n }是a 1 = 2, 公差d = 4 的等差数列. 设 {bn } 的通项公式为 q, 则b1 qd = b1 , d = 4,∴ q = 故 bn = b1 q n 1 2 ×

1 . 4
2 .

1 4
n 1

, 即{bn }的通项公式为 bn =

4 n 1

(2)Q c = a n = 4n 2 = ( 2n 1)4 n 1 , n 2 bn 4 n 1

∴ Tn = c1 + c 2 + L + c n = [1 + 3 × 41 + 5 × 4 2 + L + (2n 1)4 n 1 ], 4Tn = [1 × 4 + 3 × 4 2 + 5 × 4 3 + L + (2n 3)4 n 1 + (2n 1)4 n ]
两式相减得:
-5-

1 3Tn = 1 2(41 + 4 2 + 4 3 + L + 4 n 1 ) + (2n 1)4 n = [(6n 5)4 n + 5] 3 1 ∴ Tn = [(6n 5) 4 n + 5]. 9
【练习 13】设等比数列{ an }的前 n 项和 S n ,首项 a1 = 1 ,公比 q = f (λ ) = 】 (1)证明: S n = (1 + λ ) λ an ;

λ
1+ λ

(λ ≠ 1, 0) .

1 , bn = f (bn 1 )( n ∈ N * , n ≥ 2) ,求数列{ bn }的通项公式; 2 1 (3)若 λ = 1 ,记 cn = an ( 1) ,数列{ cn }的前项和为 Tn ,求证:当 n ≥ 2 时, 2 ≤ Tn < 4 . bn
(2)若数列{ bn }满足 b1 = 已知斜三棱柱 ABC A1 B1C1 的各棱长均为 2, 侧棱 BB1 与底面 ABC 所成角为 【范例 14】 】 且侧面 ABB1 A1 ⊥ 底面 ABC . (1)证明:点 B1 在平面 ABC 上的射影 O 为 AB 的中点; (2)求二面角 C AB1 B 的大小 ; B (3)求点 C1 到平面 CB1 A 的距离. B1 C1

π
3

, A1

O

A

C 错解分析】 ”三个字。 【错解分析】对于立体几何的角和距离,一定要很好的理解“作,证, 你做到了吗?

解: (1)证明:过 B1 点作 B1O⊥BA。∵侧面 ABB1A1⊥底面 ABC ∴A1O⊥面 ABC ∴∠B1BA 是侧面 BB1 与底面 ABC 倾斜角∴∠B1BO= 在 Rt△B1OB 中,BB1=2,∴BO= 又∵BB1=AB,∴BO=

π
3

B1 C1 H M

A1

1 BB1=1 2
B

A 即点 B1 在平面 ABC 上的射影 O 为 AB 的中点. N (2)连接 AB1 过点 O 作 OM⊥AB1,连线 CM,OC, C ∵OC⊥AB,平面 ABC⊥平面 AA1BB1 ∴OC⊥平面 AABB.∴OM 是斜线 CM 在平面 AA1B1B 的射影 ∵OM⊥AB1∴AB1⊥CM ∴∠OMC 是二面角 C—AB1—B 的平面角 在 Rt△OCM 中,OC= 3 ,OM=

1 AB ∴O 是 AB 的中点, 2

O

3 OC ,∴ tan ∠OMC = =2 2 OM

∴∠OMC= arctan 2. ∴二面角 C—AB1—B 的大小为 arctan 2. (3)过点 O 作 ON⊥CM,∵AB1⊥平面 OCM,∴AB1⊥ON ∴ON⊥平面 AB1C。∴ON 是 O 点到平面 AB1C 的距离

-6-

在RtOMC中, OC = 3 , OM = OM OC ∴ ON = = CM 3×

3 3 8 . ∴ CM = 3 + = 2 4 2

3 2 = 15 5 15 2

连接 BC1 与 B1C 相交于点 H,则 H 是 BC1 的中点,∴B 与 C1 到平面 ACB1 的相导。 又∵O 是 AB 的中点 ∴B 到平面 AB1C 的距离是 O 到平面 AB1C 距离的 2 倍 ∴点 C1 到平面 AB1C 距离为

2 15 . 5

【练习 14】如图,在长方体 ABCD—A1B1C1D1 中,AD=AA1=1,AB=2,点 E 在棱 AB 上移动. 】 (1)证明:D1E⊥A1D; (2)当 E 为 AB 的中点时,求点 A 到面 ECD1 的距离; (3)AE 等于何值时,二面角 D1—EC—D 的大小为 【范例 15】设函数 f ( x ) = ln x - px + 1 】 (1)求函数 f ( x ) 的极值点; (2)当 p>0 时,若对任意的 x>0,恒有 f ( x ) ≤ 0 ,求 p 的取值范围;

π
4

.

(3)证明:

ln 2 2 ln 3 2 ln n 2 2n 2 n 1 + 2 +L + 2 < (n ∈ N , n ≥ 2). 2(n + 1) 22 3 n

(1)对于 p 的正负的讨论是容易出错的地方。 【错解分析】 错解分析】 (2)恒成立问题的解决要灵活应用 (3)放缩法在数列中的应用是此题的难点 解: (1)Q f ( x) = ln x px + 1,∴ f ( x)的定义域为(0,+∞) ,

f ′( x) =

1 1 px p= 当 p ≤ 0时,f ′( x) > 0, f ( x)在(0,+∞) 上无极值点 x x 1 ∈ (0,+∞), f ′( x)、f ( x)随x 的变化情况如下表: p 1 p
0

当 p>0 时,令 f ′( x ) = 0, x = ∴

x

(0,

1 ) p

1 ( , +  ) p


f '( x)

+

-7-

f ( x)



极大值



从上表可以看出:当 p>0 时, f ( x ) 有唯一的极大值点 x =

1 p

(2)当 p>0 时在 x=

1 1 1 处取得极大值 f ( ) = ln ,此极大值也是最大值, p p p
1 p 1  0 , p
∴ p 1

要使 f ( x ) 0 恒成立,只需 f ( ) = ln

∴p 的取值范围为[1,+∞ )

Q (3)令 p=1,由(2)知, ln x x + 1 ≤ 0,∴ ln x ≤ x 1, n ∈ N , n ≥ 2
∴ ln n ≤ n 1 ,
2 2



ln n 2 n 2 1 1 ≤ = 1 2 2 2 n n n

ln 2 2 ln 3 2 ln n 2 1 1 1 ∴ 2 + 2 +L + ≤ (1 2 ) + (1 2 ) + L + (1 2 ) 2 2 3 n 2 3 n
= (n 1) ( < (n 1) ( 1 1 1 + 2 +L + 2 ) 2 2 3 n 1 1 1 + +L+ ) 2 × 3 3× 4 n(n + 1)

1 1 1 1 1 1 ) = (n 1) ( + + L + 2 3 3 4 n n +1

1 1 2n 2 n 1 = (n 1) ( )= 2 n +1 2(n + 1)
∴结论成立 【练习 15】设 f ( x ) = 】

1 x e ( 2 x 2 + 4ax + 4a ). 3

(1)求 a 的值,使 f (x ) 的极小值为 0; (2)证明:当且仅当 a=3 时, f (x ) 的极大值为 4。

-8-

练习题参考答案: 1.D 2.B 3.B 4.C 5.D 6.B 7.8 8.

3 2

9. 0 < r

≤1

10. 12

11.

1 6

12. 4

a (1 q ) 13. 解 (1) S n = 1 = 1 q
n

a1[1 ( 1

1+ λ

λ

)n ]

而 an = a1 (

λ
1+ λ

) n 1 = (

λ
1+ λ

1+ λ

λ

= (1 + λ )[1 ( ) n ] = (1 + λ ) λ ( ) n 1 1+ λ 1+ λ

λ

λ

) n 1 所以 S n = (1 + λ ) λ an

(2) f (λ ) =

λ bn 1 1 1 ,∴ bn = ,∴ = +1, 1+ λ 1 + bn 1 bn bn 1

1 1 1 1 . ∴{ } 是首项为 = 2 ,公差为 1 的等差数列,所以 = 2 + ( n 1) = n + 1 ,即 bn = n +1 bn b1 bn
(3)

λ = 1 时, an = ( ) n 1 , ∴ cn = an (

1 2

1 1 1) = n( ) n 1 bn 2

1 1 1 ∴ Tn = 1 + 2( ) + 3( ) 2 + L + n( ) n 1 2 2 2 1 1 1 1 1 ∴ Tn = + 2( ) 2 + 3( )3 + L + n( ) n 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 相减得∴ Tn = 1 + ( ) + ( ) 2 + L + ( ) n 1 n( ) n = 2[1 )] n( ) n ( n 2 2 2 2 2 2 2 1 1 ∴ Tn = 4 ( ) n 2 n( ) n 1 < 4 , 2 2 1 n 1 又因为 cn = n( ) > 0 ,∴Tn 单调递增, ∴ Tn ≥ T2 = 2, 2
故当 n ≥ 2 时, 2 ≤ Tn < 4 . 14. (1)证明:连 AD1 , 在长方体 ABCD—A1B1C1D1 中, AD1 为 D1 E 在平面 AD1 的射影, 而 AD=AA1=1,则四边形 ADD1 A 1 是正方形 A1 D ⊥ AD1 , 由三垂线定理得 D1E⊥A1D (2)解:以点 D 为原点,DA 为 x 轴,DC 为 y 轴建立如图所示的直角坐标系。则 A(1, 0, 0)

uuu r uuu r E (1,1, 0) 、 B (1, 2, 0) 、 C (0, 2, 0) 、 D1 (0, 0,1) 则 AE = (0,1, 0) , EC = (1,1, 0) ,

-9-

uuuu r ur D1C = (0, 2, 1) ,设平面 D1 EC 的法向量为 n1 = ( x, y, z )
ur uuu r ur n1 EC = 0 ∴ ur uuuur x + y = 0 x : y : z = 1:1: 2 ,记 n1 = (1,1, 2) n1 D1C = 0 2 y z = 0 uuu ur r | AE n1 | 1 ∴ 点 A 到面 ECD1 的距离 d = ur = = 6 6 | n1 | 6
(3)解:设 E (1, y0 , 0) 则 EC = ( 1, 2 y0 , 0) ,设平面 D1 EC 的法向量为 n1 = ( x, y, z )

uuu r

ur

ur uuu r ur n1 EC = 0 ∴ ur uuuur x + y(2 y0 ) = 0 x : y : z = (2 y0 ) :1: 2 ,记 n1 = ((2 y0 ),1, 2) n1 D1C = 0 2 y z = 0 uu r ur uu r π 而平面 ECD 的法向量 n2 = (0, 0,1) ,则二面角 D1—EC—D 的平面角 θ =< n1 , n2 >= 4 ur uu r n 2 2 2 ∴ cos θ = ur 1 nuu = r = y0 = 2 3 。 | n1 | | n2 | (2 y0 )2 + 12 + 2 2 1 2

∴ 当 AE= 2

3 时,二面角 D1—EC—D 的大小为
1 3

π
4

.

15.解: (1) f ′( x ) = (4 x + 4a ) e x

1 x e (2 x 2 + 4ax + 4a ) 3

1 = e x [2 x 2 + ( 4a 4) x ], 3
令 f ′( x) = 0解得x = 0或x = 2 2a,当2 2a = 0,即a = 1 时,无极值。 (1)当 2 2a > 0,即a < 1时, f ′( x), f ( x) 的变化情况如下表(一) x (- ∞ ,0) - ↘ 0 0 极小 值 (0,2-2a) + ↗ 2-2a 0 极大值 (2-2a,+ ∞ ) - ↘

f ′(x ) f (x )

此时应有 f ( x) = 0, 得a = 0 < 1 (2)当 2 2a < 0,即a > 1时, f ′( x), f ( x) 的变化情况如下表(二) x (- ∞ ,2- 2a) - ↘ 2-2a 0 极小值 (2-2a,0) + ↗ 0 0 极大值 (0+ ∞ ) - ↘

f ′(x ) f (x )

- 10 -

此时应有 f (2 2a) = 0,即

1 Q e ( 2 2 a ) ≠ 0 3

∴ [2(2 2a ) 2 + 4a (2 2a ) + 4a ] = 0即a = 2 > 1.
综上所述,当 a=0 或 a=2 时, f (x ) 的极小值为 0。 (2)由表(一) (二)知 f (x ) 取极大值有两种可能。 由表(一)应有 f ( 2 2 a ) = 4 , 即 e ( 2 2 a ) [ 2( 2 2 a ) 2 + 4 a ( 2 2 a ) + 4 a ] = 4

1 3

∴ e 2 a 2 (2 a ) = 3, 设g (a ) = (2 a )e 2 a 2 ,
则 g ′( a ) = e 2 a 2 + 2e 2 a 2 ( 2 a ) = e 2 a 2 (3 2a ),

Q a < 1,

∴ g ′( a ) > 0. 此时 g(a)为增函数,

∴ a < 1时, g (a ) < g (1) = 3.即e 2 a 2 (2 a ) = 3 不能成立。
若 a>1,由表(二)知,应有 f (0) = 4,即a = 3. 综上所述,当且仅当 a=3 时, f (x ) 有极大值 4.

- 11 -


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