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数列求和专题(学生版)

时间:2018-02-05


数列求和专题
讲点 1.公式法:用于等差与等比数列,必须记住数列前 n 项和公式

?na1 ?? q ? 1 n(a1 ? a n ) n(n ? 1)d ? Sn ? ? na1 ? ; S n ? ? a1 (1 ? q n ) 2 2 ? 1 ? q ?? q ? 1 ?
例 1. (2014 福建卷) 在等比数列 ?an ? 中,a2=3,a5=81. (1)求 an; (2)设 bn ? log3 an ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Sn.

讲点 2.分组求和 (等差+等比) 把一组需要求和的数列拆分成两组或两组以上的特殊数列来求和 例 2. (2014· 北京卷)已知 ?an ? 是等差数列,满足 a1=3,a4=12,数列 {bn } 满足 b1=4, b4=20,且{bn-an}为等比数列. (1)求数列 ?an ? 和 {bn } 的通项公式; (2)求数列 {bn } 的前 n 项和.

变式 1.求和 S n ? 1 ? (1 ? ) ? (1 ?

1 2

1 1 1 1 1 ? ) ? ? ? ? ? (1 ? ? ? ? ? ? ? n ?1 ) 2 4 2 4 2

1

变式 2.求数列的前 n 项和:1 ? 1,

1 1 1 ? 4, 2 ? 7,? ? ?, n ?1 ? 3n ? 2 ,… a a a

变式 3.在数列 ?an ? 中, an ? n ? ? ?1? ,其前 n 项的和 S n =__________
n

变式 4. 等差数列 {an } 中, 错误!嵌入对象无效。 (1)求数列 的通项公式; 错误!嵌入对象无效。 (2)设数列 是首项为错误!嵌入对象无效。 ,公比为错误!嵌入对 错误!嵌入对象无效。 象无效。的等比数列,求数列错误!嵌入对象无效。的前错误!嵌入对象无效。项和错误! . 嵌入对象无效。

讲点 3.错位相减 (等差×等比) 例 3. (2014· 全国新课标卷Ⅰ)已知 {an } 是递增的等差数列,a2,a4 是方程 x2-5x+6=0 的 根. (1)求 {an } 的通项公式; (2)求数列 {

an } 的前 n 项和. 2n

2

变式 1.设数列 {an } 满足 a1 ? 3a2 ? 3 a3 ? ? ? ? ? 3
2

n ?1

an ?

n (n ? N ? ) 3

(1)求 {an } 的通项公式; (2)设 bn ?

n ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Sn . an

变式 2.已知正项数列 满足:错误!嵌入对象无效。 (错误!嵌入对 错误!嵌入对象无效。 ) ,且错误!嵌入对象无效。 象无效。 (1)求 得通项公式; 错误!嵌入对象无效。 (2)设 ,求数列 的前错误!嵌入对象无效。 错误!嵌入对象无效。 错误!嵌入对象无效。

项和错误!嵌入对象无效。

讲点 4.裂项相消 (分式型) 常用的裂项公式有

1 1 1 1 ? ( ? ) n( n ? k ) k n n ? k 1 n ? n?a ? 1 ( n ? a ? n) a

1 1 1 1 ? ( ? ) n(n ? 1)(n ? 2) 2 n(n ? 1) (n ? 1)(n ? 2)
例 4 . (2014-2015 武汉中学期中)等比数列 ?an ? 的各项均为正数,且 2a1 ? 3a2 ? 1 ,
2 a3 ? 9a2 a6

(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式;
3

(Ⅱ)若 bn ? log3

?1? 1 1 1 ? log3 ? ? ? log3 ,求 ? ? 的前 n 项和. a1 a2 an ? bn ?

变式 1.在数列 {an } 中, an ? 前 n 项和 Sn .

1 2 n 2 ? ? ??? ? ,又 bn ? ,求数列 {bn } 的 n ?1 n ?1 n ?1 an ? an ?1

变式 2.求和 s

? 1?

1 1 1 ? ? ?? 1? 2 1? 2 ? 3 1 ? 2 ? ?? n

变式 3..求数列

1 1 1 1 , , ???, , ??? 的前 n 项和. 1? 4 4 ? 7 7 ?10 (3n ? 2) ? (3n ? 1)

变式 4.求数列

1 1 1 1 , , ???, , ??? 的前 n 项和. 1? 5 3 ? 7 5 ? 9 (2n ? 1) ? (2n ? 3)
1 n ? n ?1
, 前n 项

例 5. (襄阳四中 2011-2012 高一下期中) 数列 {an } 的通项公式是 an ? 和为 9,则错误!嵌入对象无效。等于.

变式 5.求数列 的前错误!嵌入对象无效。项和. 错误!嵌入对象无效。 讲点 5.倒序相加 前后对应项的和为定值 例 6 . 已 知 函 数 f ( x) ?

1 , 4 ?2
x



x1 ? x2 ? 1

时 ,

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?

1 2

, 则

1 2 n ?1 f ( ) ? f ( ) ? …+f ( ) =_________. n n n
变式 1.设 f ( x) ?

1 2 ? 2
x

, 求 f (?5) ? f (?4) ? ? ? f (0) ? ? ? f (5) ? f (6) 的值.

4

例 7.设

,则 的值是( 错误!嵌入对象无效。 错误!嵌入对象无效。 错误!嵌入对象无效。 B.0 C.59 D.



A.

错误!嵌入对象无效。

2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 变式 3. 求 sin 1 ? sin 2 ? sin 3 ? ? ? ? ? sin 88 ? sin 89 的值.

5


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