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人教A版高中数学必修四课件:3-1-3 二倍角的正弦、余弦、正切公式1

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3.1.3 二倍角的正弦、余弦 、正切公式 sin ?? ? ? ? ? sin ? ? cos ? ? cos ? ? sin ? cos ?? ? ? ? ? cos? ? cos ? ? sin ? ? sin ? tan ?? ? ? ? ? tan ? ? tan ? 1 ? tan ? ? tan ? 探究:你能用以上公式推导出 sin 2?, cos 2?, tan 2? 的公式吗? ?=? 提示:令 得. ,代入上述三式可 1.理解二倍角公式的推导. 2.灵活掌握二倍角公式及其变形公式. (重点) 3.能综合运用二倍角公式进行化简、 计算及证明. (重点、难点) 探究一:二倍角的正弦、余弦、 正切公式 sin (? +?) ? 2sin ? cos ? 即sin 2? ? 2sin ? cos ? . 二倍角的正弦公 式. 简记为 S2? . cos2? ? cos (? ? ? ) ? cos ? ? sin ? ? 2cos ? ?1 2 2 2 ? 1 ? 2sin ? . 2 二倍角的余弦公式. C2? . 简记为 2 tan ? tan 2? ? tan (? ? ? ) ? 2 1 ? tan ? 二倍角的正切公式. 简记为 T2? . 倍角公式 S2? sin 2? ?2sin ? ? cos ? 2 2 cos 2 ? ? cos ? ? sin ? ? 1 ? 2sin2 ? ? 2cos2 ? ?1 C2? 2 tan ? T2? tan 2? ? 1 ? tan 2 ? 这里的“倍角”专指“二倍角”, 遇到“三倍角”等名词时,“三” 字等不能省去. 公式说明 1.角的倍半关系是相对而言的 2? ? , 是 倍, 4? , 2? 的二倍 ? 是 2 ? 的二 4 是 的二倍等; ? ? =k? ? (k ? Z ) 2.当 2 tan ? 时, 的值不存在, 求 tan 2? 的值可利用诱导公式. 【即时练习】 3 4 已知 sinα= ,cosα= ,则 sin2α 等于( D ) 5 5 7 A. 5 12 C. 25 12 B. 5 24 D. 25 24 解析:sin2α=2sinαcosα= . 25 探究二:二倍角公式的应用 1.公式的直接 5 ? ? 应用 例1. 已知 sin 2? ? , ? ? ? , 13 4 2 求 sin 4?, cos 4?, tan 4?的值. 分析:先求 cos 2?的值,再利用公式求值. ? ? ? 解:由 ? ? ? , 得 ? 2? ? ?. 注意2? 的范 4 2 2 围 5 又因为sin 2? ? , 13 5 2 12 2 所以cos 2? ? ? 1 ? sin 2? ? ? 1 ? ( ) ? ? . 13 13 所以sin 4? ? 2sin 2? cos 2? 5 12 120 ? 2 ? ? (? ) ? ? ; 13 13 169 2 cos 4? ? 1 ? 2sin 2? 5 2 119 ? 1? 2? ( ) ? ; 13 169 sin 4? 120 169 120 tan 4? ? ? (? ) ? ? ? . cos 4? 169 119 119 【变式练习】 1 已知 cosα= ,则 cos2α 等于( C ) 3 1 A. 3 7 C.- 9 2 B. 3 7 D. 9 2 2 7 解析:cos2α=2cos α-1= -1=- . 9 9 4 例2.在△ABC中, cos A ? , tan B ? 2,求 tan (2A ? 2B)的值. 5 解法1 在△ABC中, 4 由cos A ? ,0 ? A ? ?, 得 5 42 3 2 sin A ? 1 ? cos A ? 1 ? ( ) ? . 5 5 sin A 3 5 3 所以 tan A ? ? ? ? . cos A 5 4 4 3 2? 2 tan A 24 4 tan 2A ? ? ? . 2 1 ? tan A 1 ? ( 3 )2 7 4 因为 tan B ? 2, 2 tan B 2 ? 2 4 所以 tan 2B ? ? ?? . 2 2 1 ? tan B 1 ? 2 3 tan 2A ? tan 2B 所以 tan(2A ? 2B) ? 1 ? tan 2A tan 2B 24 4 ? 44 7 3 2A ? 2B 还可以把 ? ? . 24 4 117 看作 1 ? ? (? ) 2(A ? B) 7 3 4 解法2 在?ABC中,由cos A ? ,0 ? A ? ?, 得 5 4 2 3 2 sin A ? 1 ? cos A ? 1 ? ( ) ? . 5 5 sin A 3 5 3 所以 tan A ? ? ? ? . cos A 5 4 4 因为 tan B ? 2, 3 ?2 tan A ? tan B 4 11 所以 tan( A ? B) ? ? ?? . 1 ? tan A tan B 1 ? 3 ? 2 2 4 11 2 ? (? ) 2tan( A ? B) 44 2 所以 tan(2 A ? 2B) ? ? ? . 2 1 ? tan ( A ? B) 1 ? (? 11)2 117 2 【变式练习】 10 (2013· 浙江理)已知 α∈R, sinα+2cosα= , 则 tan2α 2 =( C ) 4 A. 3 3 C.- 4 3 B. 4 4 D.- 3 1 或? , 3 2.公式的逆用 例3.求下列各式的值: ? 2? (1)sin15 cos15 . (2)cos ? sin . 8 8 tan 22.5° 2 (3) . (4)2cos 22.5° ? 1. 2 1 ? tan 22.5° 1 1 1 解:(1)sin15°cos15°= ? 2

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