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2015北京模拟数学试题分类汇编理----解析几何

时间:2016-03-16

2015 年北京高三理科数学试题分类汇编----解析几何
一模理 2. (15 海淀一模理)抛物线 x 2 =4 y 上的点到其焦点的最短距离为() (A)4(B)2(C)1 (D)

1 2

? x ? y ? 0, ? 6. (15 海淀一模理)若 x, y 满足 ? x ? 1, 则下列不等式恒成立的是() ? x ? y ? 0, ?
(A) y ? 1 8. (15 西城一模理) 已知抛物线 所围成的封闭曲线如图所示,给定点A(0,a),若 (B) x ? 2 (C) x ? 2 y ? 2 ? 0 (D) 2 x ? y ? 1 ? 0

在此封闭曲线上恰有三对不同的点, 满足每一对点关于点A 对称, 则实数a 的取值范围是 ( ) A.(1,3) B.(2,4) C. (

3 ,3) 2

D. (

5 ,3) 2

2. (15朝阳一模理)已知点A(1,y0 )( y 0> 0)为抛物线y2 = 2px( p > 0)上一点.若点A到该抛物 线焦点的距离为 3,则y 0 = A. 2 B. 2 C.2 2 D.4

? x ? 2 y ? 1≥ 0, ? (7) ( 15 大兴 一 模理 )已 知 不等 式 组 ? x ≤ 2, 表 示 的平面 区 域为 D ,若 函 数 ? x ? y ? 1≥ 0 ?
y ? x ? 1 ? m 的图像上存在区域 D 上的点,则实数 m 的取值范围是

1 2 3 (C) [?1, ] 2
(A) [0, ]

(B) [?2, ] (D) [ ?2,1]
2 2

1 2

2. (15 房山一模理)双曲线 x ? my ? 1 的实轴长是虚轴长的 2 倍,则 m =( A.4 B.2 C.

) D.

1 2

1 4

? y?x ? 3.(15 房山一模理)设变量 x 、 y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ,则目标函数 z ? 2 x ? y 的最 ? y ? 3x ? 6 ?
小值为( )

A. 2

B. 3

C. 4

D. 9

3. (15 丰台一模理)已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一条渐近线方程是 y ? 3x , a 2 b2

它的一个焦点坐标为(2,0) ,则双曲线的方程为 (A)

x2 y 2 ? ?1 2 6

(B)

x2 y 2 ? ?1 6 2

(C) x ?
2

y2 ?1 3

(D)

x2 ? y2 ? 1 3

8. (15 石景山一模理)如果双曲线的离心率 e ? 以下几个命题: ①双曲线

5 ?1 ,则称此双曲线为黄金双曲线.有 2

x2 y2 2 x2 ? ? 1 是黄金双曲线;②双曲线 y 2 ? ? 1 是黄金双曲线; 2 5 ?1 5 ?1

③在双曲线

x2 y2 ? ? 1 中, F1 为左焦点, A2 为右顶点, B1(0,b) ,若∠F1 B1 A2 ? 90? , a 2 b2

则该双曲线是黄金双曲线; ④在双曲线

x2 y2 ? ? 1 中, 过焦点 F2 作实轴的垂线交双曲线于 M、 N 两点, O 为坐标原点, a 2 b2

若∠MON ? 120? ,则该双曲线是黄金双曲线. 其中正确命题的序号为( A.①和② ) C.③和④ D.①和④

B.②和③

(12) (15 东城一模理)已知 F1 , F2 分别为椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点, P 为 a 2 b2

椭圆上一点,且 PF2 垂直于 x 轴.若 | F 1 F2 |? 2 | PF2 | ,则该椭圆的离心率为.

10. (15西城一模理)已知双曲线

x2 y 2 - ? 1? a ? 0,b ? ? ? 的一个焦点是抛物线y2 = 8x的 a 2 b2
.

焦点,且双曲线C 的离心率为2,那么双曲线C的方程为

13. (15朝阳一模理)设z = 3x + y,实数x,y 满足

其中t > 0,若z 的最大值

为 5,则实数t的值为 _

此时z 的最小值为_____。 (12) (15 大兴一模理) 已知圆 M : 在圆周上随机取一点 P, 则 P 到直线 x ? y ? 2 x2 ? y 2 ? 4 , 的距离大于 2 2 的概率为. (14) (15 大兴一模理)设抛物线 C1 ,双曲线 C2 的焦点均在 x 轴上, C1 的顶点与 C2 的中心 均为原点,从每条曲线上至少取一个点,将其坐标记录于下表中:

x

1
2 2

2

3
2

2 4

3
2 6

y

2

则 C1 的方程是; C2 的方程是.

12. (15 房山一模理)如图所示,圆 O 的割线 PAB交圆 O 于 A 、 B 两点,割 线 PCD 经过圆心. 已知 PA ? 6 , AB =

22 , PO ? 12 .则圆 O 的半径 R ? ____ . 3

? y ? 4 ? 0, ? 11. (15 丰台一模理) 若变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 4 ? 0, 则 z ? 2 x ? y 的最大值是____. ? x ? y ? 0, ?

? y ? 1, ? 11.(15 石景山一模理)设不等式组 ? x ? y ? 0, 表示的平面区域为 D,在区域 D 内随 ?x ? y ? 2 ? 0 ?
机取一点 M,则点 M 落在圆 x ? y ? 1 内的概率为___________.
2 2

19. (15 海淀一模理)

x2 y 2 6 已知椭圆 M : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 过点 (0, ?1) ,且离心率 e ? . a b 3
(Ⅰ)求椭圆 M 的方程; (Ⅱ)是否存在菱形 ABCD ,同时满足下列三个条件:

①点 A 在直线 y ? 2 上; ②点 B , C , D 在椭圆 M 上; ③直线 BD 的斜率等于 1 . 如果存在,求出 A 点坐标;如果不存在,说明理由. (19) (15 东城一模理) 在平面直角坐标系中 xOy 中,动点 E 到定点 (1, 0) 的距离与它到直线 x ? ?1 的距离相 等. (Ⅰ)求动点 E 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)设动直线 l : y ? kx ? b 与曲线 C 相切于点 P ,与直线 x ? ?1 相交于点 Q . 证明:以 PQ 为直径的圆恒过 x 轴上某定点.

19. (15西城一模理)设F 1,F 2分别为椭圆

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? ? ? 的左、右焦点,点P(1, a 2 b2

3 )在椭圆E 上,且点P 和F1关于点 2 3 C(0, )对称。 4
(1)求椭圆E 的方程; (2)过右焦点F2的直线l与椭圆相交于A,B两点,过点P且平行于AB 的直线与椭圆交于另一 点Q ,问是否存在直线l ,使得四边形PABQ的对角线互相平分?若存在,求出l 的方程;若 不存在,说明理由。

19. (15朝阳一模理)已知椭圆C:

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? ? ? 的一个焦点为F(2,0),离心率为 a 2 b2

6 。 3
过焦点F 的直线l 与椭圆C交于A,B两点,线段AB中点为D,O为坐标原点,过O,D的直线交 椭圆于M,N 两点。 (1)求椭圆C 的方程; (2)求四边形AMBN 面积的最大值。 (19) (15大兴一模理)已知椭圆 G :

x2 y 2 6 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0) 的离心率为 ,右焦点为 2 a b 3

过原点 O 的直线 l 交椭圆于 A, B 两点, 线段 AB 的垂直平分线交椭圆 G 于点 M . (2 2, 0) , (Ⅰ)求椭圆 G 的方程;

(Ⅱ)求证:

1 OA
2

?

1 OM
2

为定值,并求 ?AOM 面积的最小值.

19.(15 房山一模理) 动点 P ( x, y ) 到定点 F (1,0) 的距离与它到定直线 l : x ? 4 的距离之比为 (Ⅰ) 求动点 P 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ) 已知定点 A(?2, 0) , B (2, 0) ,动点 Q(4, t ) 在直线 l 上,作直线 AQ 与轨迹 C 的 另一个交点为 M ,作直线 BQ 与轨迹 C 的另一个交点为 N ,证明: M , N , F 三点共线.

1 . 2

19.(15 丰台一模理) 已知椭圆 C :

3 x2 y 2 ,右顶点 A 是抛物线 y 2 ? 8x 的 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 2 a b 2

焦点.直线 l : y ? k ( x ? 1) 与椭圆 C 相交于 P , Q 两点. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)如果 AM ? AP ? AQ ,点 M 关于直线 l 的对称点 N 在 y 轴上,求 k 的值. 19. (15 石景山一模理) 已知椭圆 C:

???? ?

??? ? ????

2 x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 离心率 e ? ,短轴长为 2 2 . 2 2 a b
y P M A O x

(Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ) 如图,椭圆左顶点为 A,过原点 O 的直线(与坐标 轴不重合)与椭圆 C 交于 P,Q 两点,直线 PA,QA 分别 与 y 轴交于 M, N 两点. 试问以 MN 为直径的圆是否经过 定点(与直线 PQ 的斜率无关)?请证明你的结论. 二模理 (6) ( 15 东 城 二 模 理 ) 若 实 数 x, y 满 足 不 等 式 组
Q

N

? x ? 3 y ? 3 ? 0, ? ? x ? y ? 1 ? 0, 则 z ? 2 | x | ? y 的取值范围是 ? y ? ?1, ?
(A) [?1,3] (B) [1,11] (C) [1,3] (D) [?1,11] 3. (15丰台二模理)直线 y ? x ? 4 与曲线 y ? x 2 ? x ? 1 所围成的封闭图形的面积为 (A)

22 3

(B)

28 3

(C)

32 3

(D)

34 3

8. (15 丰台二模理)抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点为 F ,经过 F 的直线与抛物线在 x 轴上方的部

K ⊥ l 于K , 分相交于点 A , 与准线 l 交于点 B , 且A 如果 | AF |?| BF | , 那么 △ AKF 的
面积是 (A)4 (B) 3 3 (C) 4 3 (D) 8

6. (15 朝阳二模理)已知双曲线

与抛物线

有一个公共

的焦点 F,且两曲线的一个交点为 P.若

,则双曲线的渐近线方程为() .

(12) (15 海淀二模理)若双曲线 M 上存在四个点 A, B, C , D ,使得四边形 ABCD 是正方 形,则双曲线 M 的离心率的取值范围是.

(14) (15 海淀二模理)设关于 x , y 的不等式组 ?3x ? 4 ? 0,

? ?( y ? 1)(3x ? y ? 6) ? 0 ??? ? ???? ? ???? ? OA ? OM ? ? OM D, 已知点 O(0, 0), A(1, 0) , 点 M 是 D 上的动点. , 则 ? 的取值范围是.

表示的平面区域为

x2 y 2 2 (12) (15 东城二模理)若双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 截抛物线 y ? 4 x 的准线所得线 a b
段长为 b ,则 a ? .

10. (15西城二模理)双曲线C :

的离心率为

;渐近线的方程

为 . 10. (15 朝阳二模理)已知圆 C 的圆心在直线 x-y=0 上,且圆 C 与两条直线 x+y=0 和 x +y-12=0 都相切,则圆 C 的标准方程是__________. 14.(15 昌平二模理)如图,已知抛物线 x 2 ? 8 y 被直线 y ? 4 分成两个区域 W1 ,W2 (包括 边界) , 圆 C : x2 ? ( y ? m)2 ? r 2 (m ? 0). (1)若 m ? 3 ,则圆心 C 到抛物线上任意一点距离 的最小值是__________; (2)若圆 C 位于 W2 内(包括边界)且与三侧边界 均有公共点,则圆 C 的半径是__________.

(19) (15 海淀二模理)

C:
已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2 上的点到它的两个焦点的距离之和为 4 , 以椭圆 C 的短

轴为直径的圆 O 经过这两个焦点,点 A , B 分别是椭圆 C 的左、右顶点. (Ⅰ)求圆 O 和椭圆 C 的方程; (Ⅱ)已知 P ,Q 分别是椭圆 C 和圆 O 上的动点( P ,Q 位于 y 轴两侧) ,且直线 PQ 与 x 轴平行,直线 AP , BP 分别与 y 轴交于点 M , N .求证:∠ MQN 为定值.

(19) (15 东城二模理) 已知椭圆 C 的中心在原点 O ,焦点在 x 轴上,离心率为 个焦点的距离之和为 4 . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设 A 为椭圆 C 的左顶点,过点 A 的直线 l 与椭圆交于点 M ,与 y 轴交于点 N ,过 原点与 l 平行的直线与椭圆交于点 P .证明: | AM | ? | AN |? 2 | OP | .
2

3 ,且椭圆 C 上的点到两 2

19. (15西城二模理)设

分别为椭圆E:

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点,点A a 2 b2

为椭圆E 的左顶点, 点B 为椭圆E 的上顶点,且|AB|=2. ⑴若椭圆E 的离心率为 ,求椭圆E 的方程;

⑵设P 为椭圆E 上一点,且在第一象限内,直线 直径的圆经过点F1,证明:

与y 轴相交于点Q ,若以PQ 为

18. (15 朝阳二模理) 已知点 M 为椭圆 的右顶点,点 A,B 是椭圆 C 上不同的两点(均异

于点 M) ,且满足直线 MA 与直线 MB 斜率之积为

1 . 4

(Ⅰ)求椭圆 C 的离心率及焦点坐标; (Ⅱ)试判断直线 AB 是否过定点:若是,求出定点坐标;若否,说明理由.

19.(15 昌平二模理) 已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,右焦点 F ( 2,0) ,点 D( 2,1) 在椭圆上. a 2 b2

(I)求椭圆 C 的标准方程; (II) 已知直线 l : y ? kx 与椭圆 C 交于 A, B 两点, P 为椭圆 C 上异于 A, B 的动点. (i)若直线 PA, PB 的斜率都存在,证明: k PA ? k PB ? ?

1 ; 2

(ii) 若 k ? 0 ,直线 PA, PB 分别与直线 x ? 3 相交于点 M , N ,直线 BM 与椭圆 C 相交 于点 Q (异于点 B ) , 求证: A , Q , N 三点共线.

19.(15 丰台二模理)

已知椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1 ( a ? b ? 0) 的焦距为 2 ,其两个焦点与短轴的一个顶点是正 a 2 b2

三角形的三个顶点. (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)动点 P 在椭圆 C 上,直线 l : x ? 4 与 x 轴交于点 N, PM ? l 于点 M ( M , N 不重合) ,试问在 x 轴上是否存在定点 T ,使得 ?PTN 的平分线过 PM 中点,如果存在, 求定点 T 的坐标;如果不存在,说明理由.


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