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2013高三数学一轮复习 数列的综合应用课件 (理) 新人教A版_图文

时间:2013-05-14

高三总复习

人教A 版 · 数学 (理)

第五节

数列的综合应用

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1.认识数列的函数特性,能结合方程、不等式、 解析几何等知识解决一些数列综合题.

2.能在实际情形中运用数列知识解决实际问题.

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1.在解决数列综合问题时要注意以下方面 (1)用函数的观点和思想认识数列,将数列的通项公式与求和公式 都看作自变量为正整数的函数. (2)用方程思想去处理数列问题,把通项公式与求和公式看作列方 程的等量关系.

(3)用转化思想去处理数学问题,将实际问题转化为等差数列或等
比数列问题.

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(4)用猜想与递推的思想去解决数学问题.

2.数列应用问题

利用数列模型解决的实际问题称为数列应用问题.在实际问题中, 有很多问题都可转化为数列问题进行处理,如经济上涉及的利润、成 本、效益的增减问题,在人口数量的研究中涉及的增长率问题以及金 融中涉及的利率问题,都与数列问题相联系.处理数列应用问题的基 本思想与处理函数应用问题的基本思想是一致的.

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数列应用题的解法一般是根据题设条件,建立目标函数关系(即等

差数列或等比数列模型),然后利用相关的数列知识解决问题.在建模
过程中,首先要分析研究实际问题的对象的结构特点,其次要找出所 含元素的数量关系,从而确定为何种数学模型.解模的过程就是运算 的过程,首先判断是等差数列还是等比数列,确定首项、公差(比)、项 数是什么,能分清an,Sn,然后选用适当的方法求解.最后的程序是

还原,即把数学问题的解客观化,针对实际问题的约束条件合理修正, 使其成为实际问题的解.

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1.某学校高一、高二、高三共计2460名学生,三个年级的学生 人数刚好成等差数列,则该校高二年级的人数是( A.800 C.840 B.820 D.860 )

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解析:由题意可设高一、高二、高三三个年级的人数分别为 a-d,a,a+d. 2460 则 a-d+a+a+d=2460,∴a= =820. 3 故高二年级共有 820 人.

答案:B

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2.数列{an}的通项公式是关于 x 的不等式 x2-x<nx(n∈N*) 的解集中的整数个数,则数列{an}的前 n 项和 Sn=( A.n2 n?n+1? C. 2 B.n(n+1) D.(n+1)(n+2) )

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解析:由 x2-x<nx,得 0<x<n+1(n∈N*), n?n+1? 因此 an=n,Sn= . 2

答案:C

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3.若a,b,c成等比数列,则函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的

交点的个数为(
A.0 C.2

)
B.1 D.不能确定

解析:由题意b2=ac(ac>0),∴Δ=b2-4ac=-3b2<0. 答案:A

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4.已知数列{an}中,a1=2,点(an-1,an)(n>1且n∈N)满足y=2x

-1,则a1+a2+…+a10=________.
解析:an=2an-1-1?an-1=2(an-1-1), ∴{an-1}是等比数列,则 an=2n 1+1. ∴a1+a2+…+a10=10+(20+21+22+…+29) 1-210 =10+ =1033. 1-2


答案:1033

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5.在数列{an}中,a1=1,a2=2,且an+2-an=1+(-1)n(n∈N*),

则S100=________.
解析:由已知,得a1=1, a2=2, a3-a1=0, a4-a2=2, ……

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a99-a97=0, a100-a98=2, 累加得 a100+a99=98+3,同理得 a98+a97=96+3,a2+a1= 0+3, 则 a100+a99+a98+a97+…+a2+a1 50×?98+0? = +50×3=2600. 2

答案:2600

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热点之一

等差、等比数列的综合问题

1.等差数列与等比数列相结合的综合问题是高考考查的重点, 特别是等差、等比数列的通项公式,前n项和公式以及等差中项、等比 中项问题是历年命题的热点. 2. 利用等比数列前n项和公式时注意公比q的取值.同时对两种数

列的性质,要熟悉它们的推导过程,利用好性质,可降低题目的难度, 解题时有时还需利用条件联立方程求解.

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[例1]

已知数列{an}中,a1=1,a2=2,且an+1=(1+q)an-qan-

1(n≥2,q≠0).

(1)设bn=an+1-an(n∈N*),证明{bn}是等比数列; (2)求数列{an}的通项公式;

(3)若a3是a6与a9的等差中项,求q的值,并证明:对任意的n∈N*, an是an+3与an+6的等差中项.

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[思路探究]

[课堂记录]

(1)证明:由题设 an+1=(1+q)an-qan-1(n≥2),

得 an+1-an=q(an-an-1). 即 bn=qbn-1,n≥2.

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又b1=a2-a1=1,q≠0,

所以{bn}是首项为1,公比为q的等比数列.
(2)解:由(1),得 a2-a1=1, a3-a2=q, … an-an-1=qn-2(n≥2).

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将以上各式相加,得 an-a1=1+q+…+qn 2(n≥2). 所以,当 n≥2 时,



? 1-q ?1+ ,q≠1, 1-q an=? ?n, q=1. ?
n-1

上式对 n=1 显然成立.

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(3)解: 由(2)知, q=1 时, 当 显然 a3 不是 a6 与 a9 的等差中项, 故 q≠1. 由 a3-a6=a9-a3,可得 q5-q2=q2-q8, 由 q≠0,得 q3-1=1-q6① 整理得(q3)2+q3-2=0,解得 q3=-2 或 q3=1(舍去). 3 于是 q=- 2.

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另一方面, qn 2-qn 1 qn 1 3 an-an+3= = (q -1), 1-q 1-q qn 1-qn 5 qn 1 an+6-an= = (1-q6). 1-q 1-q 由①得, an-an+3=an+6-an,n∈N*,即 2an=an+3+an+6. 所以对任意的 n∈N*,an 是 an+3 与 an+6 的等差中项.
- + - + - -

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即时训练

设{an}是公比大于1的等比数列,Sn为数列{an}的前n项

和,已知S3=7,且a1+3,3a2,a3+4构成等差数列.
(1)求数列{an}的通项; (2)令bn=lna3n+1,n=1,2,…,求数列{bn}的前n项和Tn.

解:(1)由已知,得

? a1+a2+a3=7 ? ? ?a1+3?+?a3+4? , =3a2 ? 2 ?

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解得 a2=2. 设数列{an}的公比为 q,由 a2=2, 2 可得 a1= ,a3=2q, q 2 又 S3=7,可知 +2+2q=7, q 1 即 2q2-5q+2=0.解得 q1=2,q2= . 2 由题意知 q>1,∴q=2,∴a1=1, 故数列{an}的通项为 an=2n 1.


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(2)由于 bn=lna3n+1,n=1,2,…, 由(1)得 a3n+1=23n,∴bn=ln23n=3nln2. 又 bn+1-bn=3ln2,∴{bn}是等差数列. n?b1+bn? ∴Tn=b1+b2+…+bn= 2 n?3ln2+3nln2? 3n?n+1? = = ln2. 2 2 3n?n+1? 故 Tn= ln2. 2

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热点之二

数列的实际应用问题

数列在实际生活中有着广泛的应用,因而涉及数列的应用问 题非常多,如人口增长问题、银行利率问题、浓度配比问题、分 期付款问题等等.解题时要充分挖掘题中所给条件,建立适当的 数列模型求解. 解数列应用题的基本步骤可用图表示如下:

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[例2]

假设某市2008年新建住房400万平方米,其中有250万平

方米是廉低价房.预计在今后的若干年内,该市每年新建住房面积平
均比上一年增长8%.另外,每年新建住房中,廉低价房的面积均比上一

年增加50万平方米.那么,到哪一年底,
(1)该市历年所建廉低价房的累计面积(以2008年为累计的第一年) 将首次不少于4750万平方米? (2)当年建造的廉低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大 于85%?

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[课堂记录]

(1)设廉低价房面积形成数列{an},由题意可知

n?n-1? {an}是等差数列, 其中 a1=250, d=50, Sn=250n+ 则 ×50 2 =25n2+225n, 令 25n2+225n≥4750. 即 n2+9n-190≥0,而 n 是正整数,∴n≥10.
∴到 2017 年底, 该市历年所建廉低价房的累计面积将首次不 少于 4750 万平方米.

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(2)设新建住房面积形成数列{bn},由题意可知{bn}是等比数列,其

中b1=400,q=1.08.
则bn=400×1.08n-1. 由题意可知an>0.85bn, 有250+(n-1)×50>400×1.08n-1×0.85. 由计算器解得满足上述不等式的最小正整数n=6. ∴到2013年底,当年建造的廉低价房的面积占该年建造住房面积 的比例首次大于85%.

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即时训练

某企业进行技术改造,有两种方案,甲方案:一次性

贷款10万元,第一年便可获利1万元,以后每年比前一年增加30%的利
润;乙方案:每年贷款1万元,第一年可获利1万元,以后每年比前一 年获利增加5000元;两种方案的使用期都是10年,到期一次性归还本 息.若银行两种形式的贷款都按年息5%的复利计算,试比较两种方案 中,哪种获利更多? (取1.0510=1.629,1.310=13.786,1.510=57.665)

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解:甲方案是等比数列,乙方案是等差数列, ①甲方案获利: 1+(1+30%)+(1+30%)2+…+(1+30%)9 1.310-1 = ≈42.62(万元), 0.3 银行贷款本息:10(1+5%)10≈16.29(万元), 故甲方案纯利:42.62-16.29=26.33(万元),

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②乙方案获利: 1+(1+0.5)+(1+2×0.5)+…+(1+9×0.5) 10×9 =10×1+ ×0.5=32.50(万元), 2 银行本息和: 1.05×[1+(1+5%)+(1+5%)2+…+(1+5%)9] 1.0510-1 =1.05× ≈13.21(万元) 0.05 故乙方案纯利:32.50-13.21=19.29(万元); 综上可知,甲方案更好.

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热点之三

数列与函数、不等式、解析几何的综合应用

数列与其他知识的综合问题主要指的是几何方法或函数的解析式
构造数列,用函数或方程的方法研究数列问题,函数与数列的综合问 题主要有以下两类: 一是已知函数的条件,利用函数的性质图象研究数列问题,如恒 成立,最值问题等.二是已知数列条件,利用数列的范围、公式、求 和方法等知识对式子化简变形,从而解决函数问题.

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[例 3] 已知数列{an}的首项 a1=1,且点 An(an,an+1)在函数 x y= 的图象上. x+1 (1)求数列{an}的通项公式; (2)求证:弦 AnAn+1 的斜率随 n 的增大而增大.

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[思路探究]

x (1)将点 An(an,an+1)代入函数 y= 即可得出 x+1

1 数列{ }的性质,从而求得 an; an an+2-an+1 (2)kAnAn+1= ,可用作差比较法证明. an+1-an

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[课堂记录] 1

an (1)∵an+1= 且 a1=1, an+1

1 1 1 ∴ =1+ ,∴ - =1, an an+1 an+1 an 1 ∴{ }是以 1 为首项,1 为公差的等差数列, an 1 1 ∴ =1+(n-1)×1=n,∴an= . an n

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1 1 1 (2)证明:∵an= ,an+1= ,an+2= , n n+1 n+2 ∴弦 AnAn+1 的斜率 1 1 - an+2-an+1 n+2 n+1 n kn= = = , 1 1 an+1-an n+2 - n+1 n n+1 n ∴kn+1-kn= - n+3 n+2 ?n+1??n+2?-n?n+3? 2 = = >0. ?n+3??n+2? ?n+2??n+3? ∴弦 AnAn+1 的斜率随 n 的增大而增大.

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即时训练

已知曲线C:y=x2(x>0),过C上的点A1(1,1)作曲线C

的切线l1交x轴于点B1,再过点B1作y轴的平行线交曲线C于点A2,再过
点A2作曲线C的切线l2交x轴于点B2,再过点B2作y轴的平行线交曲线C 于点A3,…,依次作下去,记点An的横坐标为an(n∈N*). (1)求数列{an}的通项公式; (2)设数列{an}的前n项和为Sn,求证:anSn≤1.

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解:(1)∵曲线 C 在点 An(an,an2)处的切线 ln 的斜率是 2an, ∴切线 ln 的方程是 y-an2=2an(x-an), 由于点 B 的横坐标等于点 An+1 的横坐标 an+1, 1 ∴令 y=0,得 an+1= an, 2 1 ∴数列{an}是首项为 1,公比为 的等比数列, 2 1 ∴an= n-1. 2

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1 1- n 2 1 1 1 (2)∵Sn= =2(1- n),∴anSn=4× n(1- n), 1 2 2 2 1- 2 1 1 令 t= n,则 0<t≤ , 2 2 12 ∴anSn=4t(1-t)=-4(t- ) +1, 2 1 12 当 t= ,即 n=1 时,-4(t- ) +1 有最大值 1, 2 2 即 anSn≤1.

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从近几年的高考试题看,数列的综合应用成为命题的热点,在选 择题、填空题、解答题中都有可能出现.主要是等差、等比数列综合 题,或可转化为等差、等比数列的综合问题,或者与数列有关的应用 题.2009年广东卷第21题.考查直线与曲线相切的充要条件,构造函数 证明不等式等知识,考查运用所学知识综合分析、解决问题的能力, 是高考在知识交汇点命题的典型代表.

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[例 4]

(2009· 广东高考)已知曲线 Cn?x2 -2nx+y2 =0(n=

1,2,…).从点 P(-1,0)向曲线 Cn 引斜率为 kn(kn>0)的切线 ln,切 点为 Pn(xn,yn). (1)求数列{xn}与{yn}的通项公式; (2)证明:x1·3·5· x2n-1< x x …· 1-xn xn < 2sin . yn 1+xn

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[分析]

本小题主要考查函数、数列、不等式、导数等基础

知识,考查推理论证能力,考查函数与方程的思想,化归与转化 思想及放缩法.

[解析] (1)设直线 ln:y=kn(x+1),联立 x2-2nx+y2=0 得(1 +kn2)x2+(2kn2-2n)x+kn2=0, 则 Δ=(2kn2-2n)2-4(1+kn2)kn2=0, n n ∴kn= (- 舍去), 2n+1 2n+1

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kn2 n2 n xn2= = ,即 xn= . 2 2 1+kn ?n+1? n+1 n 2n+1 ∴yn=kn(xn+1)= . n+1 1- n n+1 = n 1+ n+1

(2)证明:∵

1-xn = 1+xn

1 , 2n+1

2n-1 1 3 x1·3·5· x2n-1= × ×…× x x …· 2 4 2n < 2n-1 1 3 × ×…× = 3 5 2n+1 1 , 2n+1

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∴x1·3·5· x2n-1< x x …· xn 由于 = yn 1 = 2n+1

1-xn . 1+xn 1-xn , 1+xn

可令函数 f(x)=x- 2sinx, 则 f′(x)=1- 2cosx, 令 f′(x)=0,得 cosx= 2 π ,给定区间(0, ),则有 f′(x)<0, 2 4

π 则函数 f(x)在(0, )上单调递减, 4

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π ∴f(x)<f(0)=0,即 x< 2sinx 在(0, )上恒成立. 4 又 0< 则有 1 ≤ 2n+1 1 π < , 3 4 1 , 2n+1

1 < 2sin 2n+1 1-xn xn < 2sin . yn 1+xn



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1.(2010·上海高考)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=n-5an -85,n∈N*. (1)证明:{an-1}是等比数列; (2)求数列{Sn}的通项公式.请指出n为何值时,Sn 取得最小值, 并说明理由. (1)证明:当n=1时,a1=S1=1-5a1-85, 解得a1=-14,

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则 a1-1=-15. 当 n≥2 时,Sn-1=(n-1)-5an-1-85, ∴an=Sn-Sn-1=1-5an+5an-1, 5 ∴6an=5an-1+1,即 an-1= (an-1-1), 6 5 ∴{an-1}是首项为-15,公比为 的等比数列. 6

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?5?n-1 ? (2)解:an-1=-15· ? , ?6? ? ?5?n-1? ? ∴Sn=n-5?1-15· ? ?-85 ? ?6? ? ?5?n-1 ? =n+75· ? -90. ?6?

当 n≥2 时,设

?5?n-1 ? Sn-Sn-1=an=1-15· ? >0, ?6?

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?5?n-1 ? 15· ? <1,解得 ?6?

51 n>log +1≈15.85. 615

当 2≤n≤15 时,Sn<Sn-1, 当 n≥16 时,Sn>Sn-1. 故 n=15 时,Sn 取得最小值.


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